1. Funciones Medibles

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1 1. Medibles Medibles simples... Hasta ahora hemos estudiado la medida de Lebesgue definida sobre los conjuntos de R n y sus propiedades. Vamos a aplicar ahora esta teoría al estudio de las funciones escalares de varias variables. Definición ( medibles Lebesgue). Sea R n M, y f : R. Se dice que f es medible Lebesgue si para todo abierto G en R, la imagen inversa f 1 (G) = {x, f(x) G} es un conjunto medible de R n Observaciones: 1. n primer lugar, = f 1 (R) debe ser medible. Sólo tiene sentido hablar de funciones medibles si están definidas en conjuntos

2 2. Son equivalentes: Medibles simples... (a) f medible Lebesgue (b) Para todo conjunto C R cerrado, f 1 (C) M (c) Para todo rectángulo R R, f 1 (R) M n efecto, si f es medible y C es cerrado, el complementario R \ C es abierto, luego f 1 (R \ C), es medible, y por tanto f 1 (C) = \ f 1 (R \ C) también es medible. Así (1) implica (2) Que (2) implica (3) es trivial, porque los rectángulos son cerrados. Por último, supongamos que se verifica la hipótesis (3). Si G es un abierto, se puede poner como unión numerable de rectángulos G = R n, de modo que f 1 (G) = f 1 ( R n ) = n=1 f 1 (R n ) n=1 será medible. Por tanto f es medible. n=1

3 3. Un conjunto A R n es medible si y sólo si su función característica Medibles simples... es medible. χ A : R n R, χ A (x) = { 0 si x / A 1 si x A n efecto, supongamos que A es medible, y sea G un abierto cualquiera en R. Si estudiamos cómo es χ 1 A (G), tenemos χ 1 A (G) = y en cualquier caso es medible. si 0 G, 1 G R \ A si 0 G, 1 G A si 0 G, 1 G R si 0 G, 1 G Recíprocamente, si χ A es medible, tomando como G un abierto que contenga al 1 y no al 0, como G = (1/2, 3/2), se tiene A = χ 1 A (G), y por tanto A es medible.

4 Medibles simples... La familia de las funciones medibles son la base sobre la que construir la integral, como las funciones continuas lo eran para la construcción de la Cauchy. De hecho, lo primero que vamos a ver es que toda función continua es medible: Teorema. Toda función continua definida en un conjunto medible es medible. Demostración: Sea un conjunto medible en R n, y f : R una función continua. Si G es un conjunto abierto en R, sabemos que por las propiedades de las funciones continuas f 1 (G) es abierto en, es decir, existe un conjunto abierto U R n tal que f 1 (G) = U. Así es medible por definición de función medible, y U es medible por ser abierto, luego f 1 (G) es medible. Por tanto f es medible. Además la composición de una función medible con una función continua también es medible (ojo, no la composición de dos funciones medibles); así por ejemplo si f(x) es medible, entonces g(x) = sen(f(x)) también es medible : Teorema. Sea R n, M, f : R una función medible, y g : f() R continua en f(). ntonces g f es medible.

5 Medibles simples... Demostración: Sea G un abierto cualquiera en R. Como g : f() R es continua, g 1 (G) es abierto de f(), es decir, existe una abierto U de R tal que g 1 (G) = U f(). Y entonces (g f) 1 (G) = f 1 (g 1 (G)) = f 1 (U f()) = f 1 (U) es medible. Así pues g f es medible. Vamos a ver también que el ĺımite de una sucesión de funciones medibles es medible, y algunos otros resultados parecidos. Para ello es útil la siguiente caracterización de las funciones medibles: Teorema. Sea R n, M, y f : R. Son equivalentes: 1. f es medible 2. Para todo a R, {x : f(x) < a} M 3. Para todo a R, {x : f(x) a} M 4. Para todo a R, {x : f(x) > a} M 5. Para todo a R, {x : f(x) a} M

6 Demostración: s claro que (1) implica las propiedades (2), (3), (4) y (5) ya que Medibles simples... y {x : f(x) < a} = f 1 (, a) {x : f(x) a} = f 1 (, a] {x : f(x) > a} = f 1 (a, ) {x : f(x) a} = f 1 [a, ) son imágenes inversas por f de conjuntos abiertos o cerrados según el caso. Vamos a ver ahora que las propiedades (2) a (5) son equivalentes entre si. n primer lugar, si suponemos que se verifica (2), es decir que los conjuntos del tipo {x : f(x) < a} son medibles para todo a R, poniendo {x : f(x) a} = {x : f(x) < a + 1 n } n=1 se tiene que los conjuntos del tipo {x : f(x) a} son intersección numerable de conjuntos medibles, y por tanto son medibles, lo que prueba la propiedad (3).

7 n segundo lugar, Medibles simples... {x : f(x) > a} = \ {x : f(x) a} luego (3) implica (4). n tercer lugar, si se verifica (4), razonando como antes y poniendo {x : f(x) a} = {x : f(x) > a 1 n } n=1 se tiene (5). Y en cuarto lugar, si se verifica (5), como {x : f(x) < a} = \ {x : f(x) a} se tiene también (1). Para terminar la demostración, una vez visto que las últimas cuatro propiedades son equivalentes entre si, utilizando las propiedades (3) y (5) se tiene que para todo rectángulo R = [a, b] en R, f 1 [a, b] = {x : a f(x) b} = {x : f(x) < b} {x : f(x) a} será medible, y por tanto f es medible, y se tiene (1).

8 Medibles simples... Corolario 1. Sea R n, M, y sean f n : R funciones ntonces, si existen, las funciones g(x) = sup f n (x) n h(x) = inf n f n(x) j(x) = lim inf n f n(x) k(x) = lim sup f n (x) n l(x) = lim n son f n (x) Y también el producto de un número por una función medible es una función medible. Corolario 2. Sea R n, M, y sea f : R medible. Para todo α R se tiene αf es medible. Observaciones:

9 1. l primer corolario se aplica por supuesto también a familias finitas de funciones: si f 1,..., f k son funciones medibles en un conjunto, las funciones f(x) = max{f i (x), 1 i k} y g(x) = min{f i (x), 1 i k} son 2. Como consecuencia, las funciones f + (x) = max{f(x), 0} y f (x) = min{f(x), 0} = max{ f(x), 0} son f f + Medibles simples... f

10 2. simples Medibles simples... l siguiente objetivo es demostrar que la suma de funciones medibles es medible, pero esto es bastante más difícil. Para llegar a este resultado, vamos a introducir un tipo especial de funciones, que vamos a utilizar también como base para la construcción de la estas funciones medibles: las funciones simples. Definición ( Simples). Sea R n, M; se llama función simple en a una función medible s : R que sólo toma un número finito de valores, es decir, tal que s() = {a 0, a 1,..., a k } es finito. Llamando A i = s 1 ({a i }) = {x : s(x) = a i }, estos conjuntos son medibles (por ser imágenes inversas de cerrados), y verifican A i A j = si i j = k i=0 A i y se puede escribir s(x) de la forma s(x) = características de conjuntos A i, k a i χ Ai (x) combinación lineal de funciones i=1

11 Medibles simples... De hecho, las funciones simples son las combinaciones lineales de funciones características de conjuntos medibles: cualquier combinación lineal de funciones características de conjuntos medibles se puede descomponer como otra combinación lineal respecto a una familia de conjuntos medibles disjuntos dos a dos cuya unión es todo el conjunto s fácil verlo con un ejemplo sencillo: si s(x) = a 1 χ A1 (x) + a 2 χ A2 (x) con A i subconjuntos medibles de, podemos escribir s(x) = a 1 χ A1 \A 2 (x) + a 2 χ A2 \A 1 (x) + (a 1 + a 2 )χ A1 A 2 (x) + 0χ \(A1 A 2 )(x) Una descomposición de este tipo la llamaremos elemental. m Si S 1 y S 2 son dos funciones simples, S 1 = a i χ Ai y S 2 = i=1 k b j χ Bj, j=1 (descomposiciones elementales), se puede conseguir una descomposición elemental de ambas con respecto a la misma familia de conjuntos, {B i A j } i,j

12 a 2 b 2 a 1 A 1 A 2 B 1 B 2 b 1 Medibles simples a 1 a 2 a 2 b 2 b 2... a 1 b 1 b 1 A 1 B 2 A 1 B 1 A 2 B 2 A 2 B 1 A 1 B 2 A 2 B 2 A 1 B 1 A 2 B 1

13 n general, como los conjuntos B j son disjuntos dos a dos y k j=1b j =, entonces Medibles simples... χ (x) = χ k j=1 B j (x) = y podemos poner S 1 (x) = = k χ Bj (x) = 1 j=1 m χ Ai (x) = i=1 m i=1 Y análogamente S 2 (x) = a i m χ Ai (x) ( k χ Bj (x) ) = i=1 k χ Ai (x)χ Bj (x) = j=1 k b j χ Bj (x) = j=1 k,m j=1,i=1 j=1 m,k i=1,j=1 b j χ Bj A i (x) a i χ Ai B j (x) Así es fácil demostrar que la suma de dos funciones simples es una función simple: si S 1 = m i=1 a iχ Ai y s 2 = m i=1 b iχ Ai, la suma S 1 + S 2, es

14 Medibles simples... (S 1 + S 2 )(x) = S 1 (x) + S 2 (x) = a 2 + b 2 a 1 + b 2 a 2 + b 1 a 1 + b 1 A 1 B 2 A 2 B 2 A 1 B 1 A 2 B 1 m (a i + b i )χ Ai i=1 Análogamente S 1 S 2 = m i=1 a i b i χ Ai, y S 1 /S 2 = m i=1 (a i/b i )χ Ai son funciones simples (si S 2 (x) 0 para todo x en el caso del cociente). Y evidentemente, para todo α R, αs 1 = m i=1 α a iχ Ai es también una función simple.

15 l siguiente teorema es fundamental para la construcción de la integral: Medibles simples... Teorema (Aproximación de funciones medibles). Sea R n, M, y f : R una función medible no negativa. xiste una sucesión {s n } n de funciones simples de en R, tales que 1. 0 s n (x) s n+1 (x) para todo x, para todo n N 2. lim n s n (x) = f(x) para todo x Demostración: Sea n N fijo. Se definen los conjuntos y n 0 = {x, f(x) n} n i = {x, (i 1)2 n f(x) < i2 n }; 1 i n2 n que son conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, y se definen las funciones { (i 1)2 n si x i s n (x) = n ; 1 i n2 n n si x 0 (Saltar al final de la demostración)

16 es decir, s n (x) = n2 n i=1 i 1 2 n χ n i (x) + nχ n 0 (x) Veamos un esquema gráfico de la construcción de los conjuntos y de las funciones, para n = 1 y n = 2 Medibles simples...

17 1 1/2 f 2 7/4 6/4 5/4 1 3/4 1/2 1/4 f Medibles simples s 1 (x) n este caso, el conjunto 2 1 es vacío. La idea es dividir el eje vertical en bandas horizontales de anchura 2 n, y construir una funciones escalonadas cuyos escalones están definidos por estas bandas, que estén siempre por debajo de la gráfica de f, pero lo más cerca posible. s evidente por la definición que para todo x y para todo n N, s n (x) 0. s 2 (x)

18 Medibles simples... n segundo lugar, dado n N, poniendo el intervalo [ ] [ ] [ (i 1) i 2(i 1) 2i 2(i 1), =, =, 2i 1 ] 2 n 2 n 2 n+1 2 n+1 2 n+1 2 n+1 se tiene n i = {x, = {x, = {x, = n+1 2(i 2) n+1 2i 1 (i 1) f(x) < i 2 n 2 } = n 2(i 1) f(x) < 2i 2 n+1 2 } = n+1 2(i 1) f(x) < 2i 1 2 n+1 2 } n+1 {x, 2i 1 2 n+1 f(x) < 2i 2 n+1 } = [ ] 2i 1 2, 2i n+1 2 n+1 Así que si x n i, para algún i entre 1 y n2 n, pueden ocurrir dos cosas: O bien x n+1 2(i 1), y entonces s n+1 (x) = 2(i 1) 2 n+1 = i 1 2 n = s n (x)

19 Medibles simples... o bien x n+1 2i 1 y entonces luego s n+1 (x) = 2i 1 2 n+1 > i 1 2 n = s n (x) Y si x n 0, es decir, si f(x) n, también pueden ocurrir dos cosas: O bien f(x) (n + 1), en cuyo caso s n+1 (x) = n + 1 > n = s n (x) O por el contrario n f(x) < n + 1, y entonces f(x) [n, n + 1] = (n+1)2 n+1 k=n2 n+1 +1 s n+1 (x) = k 1 2 n+1 n = s n(x) [ k 1 2, k n+1 2 ] n+1 s decir, siempre s n (x) s n+1 (x) Para terminar la demostración falta ver que lim n s n (x) = f(x), pero esto es claro: dado x, sea n 0 un número natural tal que f(x) < n 0. Por la definición de las funciones s n, para todo n n 0 la distancia f(x) s n (x) es menor que 2 n que es la anchura de los escalones de s n, luego en efecto lim n f(x) s n (x) lim n 2 n = 0

20 (Volver al enunciado) Medibles simples... Como consecuencia: Teorema. Toda función medible es ĺımite puntual de una sucesión de funciones simples. Corolario 3. Sea R n, M, y f, g : R dos funciones ntonces: 1. f + g y f g son medibles 2. f g es medible 3. Si g(x) 0 para todo x, f/g es medible 4. f es medible Una última propiedad de las funciones medibles que utilizaremos con frecuencia es la siguiente: si dos funciones son iguales en casi todos los puntos de, o ambas son medibles, o ninguna de las dos lo es. Proposición. Sea R n, M, y f, g : R dos funciones tales que existe un conjunto Z con m(z) = 0 y f(x) = g(x) para todo x \ Z. ntonces f es medible si y sólo si g es medible.

21 Medibles simples... Demostración: Supongamos que f es medible. Para ver que g es medible, sea U un abierto de cualquiera de R; podemos poner g 1 (U) = ( g 1 (U) ( \ Z) ) ( g 1 (U) Z ) De aquí, el primer conjunto es g 1 (U) ( \ Z) = {x \ Z : g(x) U} = = {x \ Z : f(x) U} = f 1 (U) ( \ Z) que es medible por ser f medible y Z medible. Y el segundo conjunto es un subconjunto de Z, luego también tiene que tener medida cero, como Z, y por tanto es medible. ntonces g 1 (U) es medible. Así pues g es una función medible. Análogamente, cambiando los lugares de f y de g se prueba que si g es medible, f también lo es. n otras palabras, este resultado muestra que si una función f no es medible, no se puede arreglar cambiando los valores de la función en un conjunto de puntos de medida cero; y que, recíprocamente, si f es medible, tampoco se va a estropear si se cambian sus valores en un conjunto de puntos de medida cero. l hecho de que una de propiedad se verifique en casi todos los puntos de un conjunto, es una característica fundamental de la teoría de Lebesgue, y recibe un nombre:

22 Definición (Propiedad en casi todo punto). Sea R n, M. Se dice que una cierta propiedad P se verifica en casi todo punto de si existe un conjunto Z con m(z) = 0, tal que P se verifica para todo x \ Z. Medibles simples...

23 3. Integración de funciones simples Medibles simples... Vamos ahora a construir la Lebesgue de funciones La idea es construir la Lebesgue primero para funciones simples, luego para funciones medibles no negativas, y por último para funciones medibles cualesquiera. n cada caso demostraremos algunas propiedades elementales que son necesarias para el paso siguiente, y que van encaminadas a demostrar las propiedades elementales de cualquier procedimiento de integración: la linealidad y la monotonía de la integral, es decir, que la la suma es la suma de las integrales, que la un número por una función es el producto del número por la la función, y que si una función es mayor que otra en el mismo conjunto, su integral es también mayor. Definición (Integral de una función simple no negativa). Sea R n, M, y sea s : R una función simple no negativa, s = k a i χ Ai, con a i 0 para todo i, 1 i k, A i A j = si i j, y k i=1a i = Se define la s en por s = k a i m(a i ) i=1 con el convenio de que 0 = 0 i=1

24 Observaciones: Medibles simples La definición es correcta, en el sentido de que el resultado de la integral no depende de la descomposición de s como combinación lineal de funciones características, incluso aunque los conjuntos no sean disjuntos dos a dos. Vamos a ver que esto es cierto con un ejemplo sencillo: supongamos que s = aχ A + bχ B, donde A y B son subconjuntos medibles de un conjunto, pero no necesariamente disjuntos. Podemos obtener una descomposición elemental de s de la forma s = aχ A\B + (a + b)χ A B + bχ B\A + 0χ \(A B) Aplicando entonces la definición de la integral s = am(a \ B) + (a + b)m(a B) + bm(b \ A)+ +0m( \ (A B)) = = a (m(a \ B) + m(a B)) + b(m(a B) + m(b \ A)) = = am(a) + bm(b) (utilizando que A y B son medibles)

25 2. La razón de definir la integral sólo para funciones no negativas es asegurar que la suma m i=1 a im(a i ) esté bien definida, que no pueda dar lugar a algo del tipo. Medibles simples La integral será no negativa, pero puede valer infinito 0 s 4. Geométricamente, la s es la suma de los volúmenes, o mejor habría que decir la suma de las medidas, de los prismas de base los conjuntos A i y alturas respectivas a i a 4 a 1 a 2 a 3 A 4 A 3 A 1 A 2

26 Medibles simples... Proposición. Sea R n, M, y sean s 1, s 2 : R funciones simples no negativas. ntonces: 1. (s 1 + s 2 ) = s 1 + s 2 2. Para todo α R, α 0, αs 1 = α s 1 3. Si existe Z con m(z) = 0, tal que s 1 (x) s 2 (x) para todo x \ Z, entonces s 1 Demostración: s 2 Consideremos para s 1 y para s 2 descomposiciones elementales respecto a la misma familia de conjuntos, s 1 = m i=1 a iχ Ai y s 2 = m i=1 b iχ Ai. Las demostraciones de los apartados (1) y (2) son triviales. Para el apartado (3), sea Z un conjunto de medida cero tal que s 1 (x) s 2 (x) para todo x \ Z. ntonces para cada conjunto A i, como Z es medible, se tiene m(a i ) = m(a i Z) + m(a i \ Z) = m(a i \ Z) ya que A i Z tiene medida cero.

27 Medibles simples... Además, si existe algún punto x A i \ Z, s 1 (x) = a i s 2 (x) = b i luego a i m(a i \ Z) b i m(a i \ Z) y si A i \ Z =, también trivialmente a i m(a i \ Z) = 0 = b i m(a i \ Z) Por tanto m m s 1 = a i m(a i ) = a i m(a i \ Z) i=1 i=1 m b i m(a i \ Z) = m b i m(a i ) = s 2 i=1 i=1

28 4. Integral de funciones no negativas Medibles simples... Definición. Sea R n, M, y f : R una función medible con f(x) 0 para todo x. Se define la f en por f = sup{ s, s función simple, 0 s f} Observaciones: 1. Se puede sustituir la condición 0 s f en, por la condición 0 s(x) f(x) en casi todo. 2. La una función medible no negativa será siempre no negativa también, pero puede ser infinita. 3. Geométricamente el significado de esta integral es similar a las sumas inferiores de. La diferencia fundamental está en los conjuntos A i que utilizamos para dividir el conjunto : podemos escoger cualquier clase de conjuntos medibles, no solamente rectángulos.

29 f Medibles simples... a 1 a 2 a 3 a 4 A 1 A 2 A 3 A 4 La proposición siguiente es consecuencia inmediata de las propiedades de la funciones simples no negativas: Proposición. Sea R n, M, y sean f, g : R funciones medibles no negativas. Se tiene: a) Si f g en casi todo, entonces f g b) Si f = g en casi todo, entonces f = g c) Si α > 0, αf = α f

30 Medibles simples Integrables Integral de. Aunque la definición de la Lebesgue es correcta para cualquier función medible no negativa, sólo vamos a llamar a las funciones cuya integral es finita; más exactamente, Definición (Función Integrable Lebesgue). Sea R n, M y f : R. Se dice que f es integrable Lebesgue en si es medible y f <. Se define entonces la integral en de f por f = f + f Observaciones: Obsérvese que f está bien definida, en el sentido de que como 0 f + f, entonces 0 f + f < ; y también 0 f f, así que 0 f f <. Si f es integrable, su integral es un número. Proposición. Sea R n, M, y f : R integrable. ntonces f f

31 Demostración: Medibles simples... De las desigualdades 0 f + f < y 0 f f < se deduce f f + f f luego en efecto f f

32 Medibles simples... Tendremos que demostrar que esta forma de integrar tiene las propiedades fundamentales que debe tener cualquier método de integración, alguna de las cuales hemos ido demostrando en las casos anteriores para funciones simples y funciones medibles no negativas: la linealidad de la integral, y la aditividad con respecto al dominio. Pero vamos a dejar el estudio de estas propiedades hasta el próximo capítulo. Antes vamos a ver que la Lebesgue generaliza a la de, en el sentido de que si es un rectángulo y f : R es integrable, entonces f es medible, integrable Lebesgue, y además las dos integrales coinciden. Llamaremos (R) f a la integral de de f en, y (L) f a la Lebesgue. Teorema ( Integral de ). Sea un rectángulo en R n, y f : R una función integrable. ntonces f es también integrable Lebesgue, y (R) f = (L) (f) Demostración: (Saltar al final de la demostración) Observemos en primer lugar que como es un rectángulo, es un conjunto medible Lebesgue. Vamos a demostrar que f es medible Lebesgue, que es integrable, y que su Lebesgue coincide con su.

33 Medibles simples... Como f es integrable, es acotada, y existe un conjunto Z con m(z) = 0 de modo que la restricción de f a \ Z es continua. Sea G un abierto de R. Podemos poner f 1 (G) = ( f 1 (G) Z ) ( f 1 (G) ( \ Z) ) De estos dos conjuntos f 1 (G) Z Z, luego tiene medida cero y por tanto es medible Lebesgue. Y f 1 (G) ( \ Z) = (f \Z ) 1 (G) que es un abierto de \ Z por la continuidad de f en ese conjunto, luego existe un abierto U de R n de modo que f 1 (G) ( \ Z) = U ( \ Z) que es medible. Así pues, para todo abierto G de R, f 1 (G) es medible, y por tanto f es medible Lebesgue. Por otro lado, de la acotación de F se tiene que existe M > 0 tal que f(x) M para todo x de, o lo que es lo mismo, f Mχ. ntonces por las propiedades de la Lebesgue de funciones medibles no negativas, f Mχ = M m() = Mv() < Para demostrar la igualdad entre las dos integrales, supongamos primero que f es no negativa.

34 Medibles simples... Para cada partición P de, definimos la función simple s(x) = R R P M R (f) χ R (x) sta función verifica 0 f(x) s(x) para todo x, y por las propiedades de la Lebesgue de funciones medibles no negativas, entonces (L) f (L) s = M R (f) m(r) = S(f, P ) R R P Tomando ínfimos entre todas las particiones de, se tiene (L) f (R) f Definimos ahora la función simple k(x) = R R P m R (f) χ R 0(x) sta función verifica que 0 k(x) f(x) para todo x, y por las propiedades de la Lebesgue de funciones medibles no negativas, (L) f (L) k = m R (f) m(r 0 ) = S(f, P ) R R P

35 Medibles simples... Tomando supremos entre todas las particiones de, se tiene (L) f (R) f Para terminar, en el caso general (sin suponer que f es no negativa), basta considerar las funciones f + y f : Si f es integrable, también f + y f son, y además como f = f + f, se tiene (R) f = (R) f + (R) f = (L) f + (L) f = (L) f con lo que queda demostrado el teorema. (Volver al enunciado)

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