Medida de Lebesgue. 16 de diciembre de 2015

Transcripción

1 Medida de Lebesgue 16 de diciembre de 2015 En este capítulo construiremos la Teoría de la Medida de Lebesgue sin ningún tipo de prerequisito, excepto ciertos conocimientos elementales de Análisis Real. El método seguido, en nuestra opinión, es bastante intuitivo ya que se busca la efectividad en el proceso de definición de la medida R N antes que la simple asignación de un número que extiende las propiedades del volumen de productos de intervalos. Hemos optado por incluir también algunas nociones de la Teoría de la Medida de Jordan (contenido), que está intimamente ligada a la integral de Riemann, para poder comparar ambos métodos y asi ver que la Teoría de Lebesgue resulta más satisfactoria. 1. Rectángulos y contenido de Jordan Consideraremos en R N rectángulos generalizados que son conjuntos de la forma R = I 1 I N donde cada I k es un intervalo de R (abierto, cerrado o mixto). El volumen N-dimensional de R que denotaremos vol(r) es el producto de las longitudes de los intervalos I k que lo componen. En el caso de rectángulos no acotados se sigue el convenio 0 = 0. En la utilización de rectángulos es conveniente tener en cuenta que para cada rectángulo acotado R y cada ε > 0 se pueden tomar un rectángulo compacto R 1 y un rectángulo abierto R 2 tales que R 1 R R 2 y vol(r 2 ) vol(r 1 ) < ε. Será cómodo denotar por R el conjunto de los rectángulos. Una pavimentación de un conjunto A es una familia de rectángulos (R i ) R de volumen positivo e interiores disjuntos dos a dos tales que A = i R i. La numerabilidad de la base topológica de R N implica que las pavimentaciones son siempre numerables. Finalmente diremos que una pavimentación de un rectángulo R = I 1 I N es regular si, previamente fijado una partición finita π k de I k, sus elementos 1

2 son de la forma J 1 J N donde J k es un intevalo de π k. El lector puede demostrar fácilmente que cualquier abierto de R N admite una pavimentación. La Teoría del Contenido de Jordan se basa en las siguiente definiciones. Definición 1.1. Sea R R N un rectángulo acotado y A R. El contenido interior de A denotado c (A) y el contenido exterior de A denotado c (A) son los números c (A) = sup{ R i A vol(r i ) : (R i ) pavimentación regular de R}, c (A) = ínf{ R i A vol(r i ) : (R i ) pavimentación regular de R}. Se dice que A es medible Jordan si c (A) = c (A) en cuyo caso este número se llama simplemente contenido de Jordan y se denota c(a). Para que esta definición sea correcta es preciso ver que no depende de la elección de R, cosa que puede ser deducida a partir del lema siguiente que establece la aditividad del volumen para rectángulos. Lema 1.2. Sea (R i ) n i=1 R una pavimentación finita de un rectángulo R, entonces vol(r) = n i=1 vol(r i). Demostración. Se puede de entrada el caso de que alguna de las dimensiones de R sea y sin pérdida de generalidad podemos suponer que todos los rectángulos que intervienen son cerrados. Si la pavimentación de R es regular, la comprobación del resultado se reduce a una sencilla identidad aritmética. En otro caso, es fácil tomar una pavimentación regular (S k ) de R que refina la pavimentación dada, es decir, para cada i = 1,..., n los rectángulos tales que S k R i constituyen una pavimentación de R i por lo que se reduce al caso anterior. Consecuencia inmediata del lema es que las uniones finitas de rectángulos acotados son conjuntos medibles Jordan, y su contenido puede obtenerse sumando los volúmenes de los rectángulos de cualquier pavimentación finita. Por otra parte, es obvio que c (A) + c (R \ A) = vol(r). En particular se deduce que si un conjunto es medible Jordan su complementario también lo es. Si el lector conoce la teoría de la integral de Riemann, podrá comprobar 2

3 sin problemas que A es medible Jordan si y solo si χ A es integrable Riemann, donde la función χ A (x) {0, 1} indica la pertenencia a A valiendo 1. En tal caso c(a) = (Riemann) χ A R Análogamente, los contenidos c (A) y c (A), en caso de que A no sea medible Jordan se relacionan con las integrales inferior y superior de Darboux de la función χ A. 2. Medida exterior Definimos a continuación la medida exterior de Lebesgue Definición 2.1. Sea A R N, la medida exterior de A es el número (posiblemente infinito) m (A) = ínf{ vol(r n ) : (R n ) R, A R n } Desconcierta a primera vista, comparado con el procedimiento de Jordan, que los rectángulos en cada cubrimiento puedan solaparse. El lector puede comprobar que el cubrimiento numerable (R n ) de A puede ser sustituido por una pavimentación numerable (S n ) tal que S n = R n y vol(s n) vol(r n) (proceder por inducción). Comencemos viendo que la medida exterior, al igual que los contenidos, supone una extensión del volumen. Proposición 2.2. Para cada rectángulo R se tiene m (R) = vol(r). Demostración. Supongamos que R es acotado y fijemos ε > 0. Podemos tomar S R compacto tal que vol(s) > vol(r) ε/3, un cubrimiento (R n ) de R tal que vol(r n ) < m (R) ε/3 e rectángulos abiertos S n R n tales que vol(s n ) < vol(r n ) ε/(3 2 n ). Siendo (S n ) un cubrimiento abierto de S, existe m N tal que S m S n. 3

4 El Lema 1.2 implica que vol(s) m vol(s n) y así vol(r) < vol(s) ε 3 < vol(s n ) ε 3 < vol(r n ) 2ε 3 < m (R) ε La arbitrariedad de ε > 0 prueba que vol(r) m siendo la otra desigualdad evidente. Si el rectángulo R es no acotado pero alguna de sus dimensiones es 0 obtenemos m (R) = 0. En caso de tener R volumen infinito podemos proceder como en el caso acotado tomando S R compacto de volumen arbitrariamente grande, obteniendo así m (R) =. La siguiente observación sencilla se basa en que la diferencia de dos rectángulos se puede escribir como unión finita de rectángulos no solapados (naturalmente no se piden que sean cerrados) y será útil más adelante. Lema 2.3. Para cada A R N y R rectángulo se tiene que m (A) = m (A R) + m (A \ R). Las propiedades inmediatas de la medida exterior están recogidas aquí. Proposición 2.4. La medida exterior m propiedades: : P(R N ) [0, ] tiene estas a) es monótona, es decir, si A B entonces m (A) m (B). b) es σ-subaditiva, es decir, m ( A n) m (A n ). c) para A acotado se tiene que c (A) m (A) c (A). Idea de la demostración. a) es obvia. b) basta tomar un cubrimiento (R n,m ) m=1 R de A n aproximando m (A) en menos de ε/2 n y considerar el cubrimiento (R n,m ) n,m=1 de A n. c) si B A admite un pavimentado finito, por la Proposición 2.2 tenemos que c(b) m (B) m (A). Como c (A) es un supremo de números de la forma c(b) se tiene la desigualdad. Por otra parte c (A) es un ínfimo en cierto tipo de cubrimientos finitos, incluidos en particular en la definición de m (A). Que la medida exterior puede ser estrictamente menor que el contenido exterior queda claro con el ejemplo siguiente. 4

5 Ejemplo 2.5. Dado ε > 0 existe un abierto denso A (0, 1) tal que m (A) ε y c (A) = 1. Demostración. Sea (a n ) una enumeración de Q (0, 1). Tomamos R n = (a n ε/2 n+1, a n + ε/2 n+1 ) (0, 1) y A = R n. Como vol(r n ) ε/2 n tenemos que m (A) ε. Por otra parte, si (S n ) es una pavimentación de (0, 1), tenemos que S n A por la densidad de Q (0, 1). La medida exterior es un ínfimo que en ocasiones se alcanza, proporcionando en tales casos una fórmula constructiva para su cálculo. Teorema 2.6. Sea A R N abierto y sea (R n ) una pavimentación de A. Entonces m (A) = vol(r n ) En particular, si A es además acotado, se tiene c (A) = m (A). Demostración. Es obvio que m (A) vol(r n) porque la pavimentación entra en el cómputo de m (A). Para demostrar la igualdad basta limitarse al caso m (A) <. Para cada m N se tiene m m m vol(r n ) = c( R n ) m ( R n ) m (A) luego vol(r n) m (A). Observese que si (U n ) es una sucesión de abiertos disjuntos dos a dos, como un pavimentado en cada uno produce un pavimentado de unión tenemos que m ( U n ) = m (U n ) Es decir, la aditividad numerable de m sobre los abiertos. Uno de los objetivos de lo que sigue es extender esa fórmula a más tipos de conjuntos. Los conjuntos con medida exterior cero se conocen normalmente como conjuntos de medida nula. La σ-subaditividad de la medida exterior implica 5

6 que la unión numerable de conjuntos de medida nula es también de medida nula. Ejemplo 2.7. Conjuntos típicos de medida nula: a) los conjuntos numerables son de medida nula; b) el conjunto ternario de Cantor en R; c) las curvas rectificables en R N ; d) la variedades diferenciables de dimensión menor que N en R N. El lector podrá comprobar que todos los ejemplos anteriores, a excepción del primero, y tomando las versiones acotadas de los dos últimos, son de contenido exterior nulo, ya que cualquier compacto de medida nula es automáticamente de contenido nulo. Proposición 2.8. Un conjunto acotado A R N es medible Jordan si y sólo si su frontera es de medida nula. Demostración. Supongamos que A es medible Jordan, que está contenido en el rectángulo compacto R, y sea A su frontera. Dado ε > 0 podemos encontrar una pavimentación regular (R n ) de R que simultáneamente verifica vol(r n ) > c(a) ε/2; vol(r n ) > c(r \ A) ε/2 R n A R n R\A Como los interiores de los rectángulos R n que intervienen en esas fórmulas no intersectan a A tenemos que A S {R n : R n A, R n R \ A} donde S es una unión finita de rectángulos con alguna dimensión 0 (la malla de la pavimentación). Así se deduce que c ( A) < ε. Recíprocamente, dado ε > 0 es posible cubrir A con una cantidad finita de rectángulos cuyos volúmenes suman menos de ε. Podemos tomar una pavimentación regular (R n ) de R refinando el cubrimiento anterior. Claramente vol(r n ) < ε R n A 6

7 y así para los restantes rectángulos tendremos vol(r) ε vol(r n ) + R n A R n R\A vol(r n ) Siendo ε arbitrario, tenemos que c (A) + c (R \ A) = vol(r). Luego c (A) = c (A) y así A es medible Jordan. El resultado anterior es un caso particular del teorema de Riemann- Lebesgue: Si R es un rectángulo acotado de R N y f : R R es acotada, entonces f es integrable en sentido de Riemann si y sólo si su conjunto de discontinuidades es de medida nula. 3. Medida interior y regularidad La relación que guardan los contenidos exterior e interior de Jordan motiva el siguiente concepto. Definición 3.1. Sea A R N acotado. Su medida interior de un conjunto se define como m (A) = vol(r) m (R \ A) donde R A es un rectángulo acotado. Con lo visto hasta ahora el lector no tendrá dificultad para comprobar que la medida interior no depende de R ni para comprobar estas propiedades. Proposición 3.2. La medida interior tiene estas propiedades: a) m (A) [0, ) (sólo la utizamos en conjuntos acotados); b) es monótona, es decir, si A B entonces m (A) m (B); c) para cada A acotado c (A) m (A) m (A) c (A). Idea de la demostración. b) si A B entonces R \ B R \ A. c) basta tener en cuenta que m (R \ A) c (R \ A). Con ayuda de la medida interior podemos definir la medibilidad según Lebesgue. 7

8 Definición 3.3. Diremos que un conjunto A R N acotado es medible Lebesgue si m (A) = m (A). Más generalmente, si A R N es no acotado, diremos que es medible Lebesgue si A R es medible para cada rectángulo acotado R. Para un conjunto medible A su medida de Lebesgue es el número (posiblemente infinito) m(a) = m (A). Una consecuencia inmediata de la proposición anterior es que los conjuntos medibles Jordan, los abiertos, los abiertos relativos a rectángulos y los conjuntos de medida nula son medibles Lebesgue. Por complementación, es fácil ver que también los compactos son medibles Lebesgue. La consistencia de las definiciones en el caso acotado y general es una consecuencia sencilla del Lema 2.3. También tenemos la siguiente caracterización en términos únicamente de la medida exterior cuya demostración dejamos al lector. Proposición 3.4. Un conjunto A R N es medible Lebesgue si y sólo si para cada rectángulo R se cumple que m (R A) + m (R \ A) = vol(r). La regularidad consiste en la relación entre medida y topología a través de las siguientes fórmulas. Lema 3.5. Para cada A R N se tiene y en caso de ser A acotado m (A) = ínf{m(u) : A U; U m (A) = sup{m(k) : K A; K abierto} compacto}. Demostración. Para la primera basta recordar que la medida exterior se puede calcular con cubrimientos (R n ) de rectángulos abiertos y que m (A) m(u) vol(r n) tomando U = R n. Para la otra tomemos ε > 0. Si R A es un rectángulo compacto y U R \ A es un abierto tal que m(u) < m (R \ A) + ε, entonces K = R \ U es un compacto que verifica m(k) = vol(r) m(r U) > vol(r) m (R \ A) ε = m (A) ε deduciendose la segunda. Este último lema motiva una posible definición de medida interior para conjuntos no acotados tomando m (A) = sup{m(k) : K A; K compacto}. El lector podrá encontrar y demostrar sus propiedades. 8

9 4. Aditividad y medibilidad Hemos establecido la aditividad numerable para conjuntos abiertos. La aditividad finita, de momento, para compactos se deduce del siguiente lema. Lema 4.1. Si K 1, K 2 R N son compactos disjuntos, entonces m(k 1 K 2 ) = m(k 1 ) + m(k 2 ). Demostración. Como ocurre siempre que m(k 1 K 2 ) m(k 1 ) + m(k 2 ) bastará ver la desigualdad en el otro sentido. Para cada ε > 0 se puede tomar (R n ) un cubrimiento por rectángulos abiertos de K 1 K 2 tal que vol(r n) < m(k 1 K 2 ) + ε. Podemos encontrar abiertos U 1 y U 2 disjuntos tales que K 1 U 1, K 2 U 2 y U 1 U 2 R n. Así m(k 1 ) + m(k 2 ) m(u 1 ) + m(u 2 ) = m(u 1 U 2 ) vol(r n ) < m(k 1 K 2 ) + ε quedando probado el resultado. Para poder avanzar necesitamos una caracterización potente de los conjuntos medibles. Teorema 4.2. Sea A R N con m (A) <, entonces A es medible Lebesgue si y sólo si para ε > 0 existe un compacto K y un abierto U de manera que K A U y m(u \ K) < ε. Demostración. Antes de comenzar, supongamos que R es un rectángulo compacto sean K U R compacto y abierto (relativo) respectivamente, entonces U \ K es abierto y por lo tanto medible, mientras que R \ (U \ K) es la unión de los compactos disjuntos K y R \ U. Teniendo todo esto en cuenta vol(r) = m(u \ K) + m(r \ (U \ K)) = m(u \ K) + m(k) + m(r \ U) de donde se deduce que m(u \ K) = m(u) m(k). Supongamos que A es medible y ε > 0. Por el lema anterior podemos tomar un abierto U A tal que m(u) m(a) < ε/3. Tomemos R rectángulo compacto tal que m (A \ R) < ε/3 (basta que R contenga suficientes rectángulos de un cubrimiento de A). Finalmente tomamos K A R tal 9

10 que m(k) > m(a R) ε/3. Una comprobación directa de confirma la elección. Para el recíproco, hay que comprobar que A R es medible para cada rectángulo R. Tomando las trazas, podemos asumir que para cada ε > 0 existen K compacto y U abierto relativo tales que K A U R, con m(u \ K) < ε. Como m(k) m (A) m (A) m(u) deducimos que m (A) = m (A), luego A es medible. Corolario 4.3. Si A R N es tal que m (A) <, entonces A es medible Lebesgue si y sólo si m (A) = m (A). Hasta ahora hemos demostrado propiedades de aditividad de las medidas en casos particulares. El siguiente resultado proporciona una respuesta completamente satisfactoria. Teorema 4.4. Sea (A n ) R N dos, entonces: una sucesión de conjuntos disjuntos dos a a) m ( A n) m (A n ); b) m ( A n) m (A n ). En particular, si los (A n ) son medibles, entonces A n es medible y m( A n ) = m(a n ) Demostración. La propiedad a) es la σ-subaditividad de la medida exterior. Para b) supongamos que la serie es convergente, si no es el caso la idea que usaremos se adapta sin problema. Fijado ε > 0 tomamos m N tal que m+1 m (A n ) < ε/2. Tomemos compactos K n A n tal que m(k n ) > m(a n ) ε/2 n+1. Para cada n N, el conjunto K = n j=1 K j es un compacto tal que K j=1 A j y m(k) = n m(k j ) > j=1 m (A j ) ε j=1 10

11 puesto que (K j ) son compactos disjuntos. La toma de supremos proporciona la desigualdad deseada. En el caso de no ser convergente la serie, las desigualdades se aplican a la intersección de los conjuntos A n con un rectángulo compacto arbitrario. La conclusión para conjuntos medibles es obvia. La estructura de la familia de conjuntos medibles queda aclarada en el siguiente resultado. Teorema 4.5. Sea M N la familia de conjuntos medibles Lebesgue de R N. Entonces, M N es estable por uniones e intersecciones numerables, complementarios y diferencias. Demostración. En lo que sigue A, A 1, A 2,... son conjuntos medibles. Ya sabemos que fijado un rectángulo R, si A R es medible, entonces también es medible R \ A = R A c, donde A c = R N \ A denota el complementario de A. Deducimos que el complementario de un conjunto medible es medible. La unión de dos conjuntos medibles A 1 y A 2 es medible. Fijado R rectángulo compacto y tomando las trazas podemos suponer que A 1 A 2 R. Tomando ε > 0 aproximamos con compactos y abiertos K i A i U i tales que m(u i \ K i ) < ε/2 con i = 1, 2. Teniendo la inclusión obvia (U 1 U 2 ) \ (K 1 K 2 ) (U 1 \ K 1 ) (U 2 \ K 2 ) se deduce que m((u 1 U 2 ) \ (K 1 K 2 )) < ε. Luego A 1 A 2 es medible. Teniendo la unión de dos, podemos pasar a la unión finita sin problema. La intersección se reduce a la unión con complementarios A 1 A 2 = (A c 1 A c 2) c. Como con la unión, no hay problema en pasar a intersecciones finitas. La diferencia de conjuntos se expresa en términos de interseccion y complementación A 1 \ A 2 = A 1 A c 2, luego es medible. Comprobaremos la medibilidad de la unión numerable. Sabemos por el Teorema 4.4 que la unión disjunta y numerable de conjuntos medibles preserva la medibilidad. Pongamos B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, dots, B n = A n \ n 1 i=1 A 1. La sucesión (B n ) está compuesta de conjuntos medibles y disjuntos dos a dos, luego i=1 A n = i=1 B n es medible. Finalmente, la intersección numerable se deduce por complementación como en el caso finito. 11

12 Las propiedades que poseen los conjuntos medibles Lebesgue respecto a las operaciones conjuntistas,, c y \ dan lugar a la noción de σ-álgebra de conjuntos. 5. Más propiedades de los conjuntos medibles Un conjunto que es una unión numerable de cerrados se llama F σ y una intersección numerable de abiertos se llama G δ. Tras los abiertos y cerrados, los conjuntos de tipo F σ y G δ son los más sencillos en la σ-álgebra de Borel, que es la σ-álgebra generada por la topología. Proposición 5.1. Para cada conjunto A M N existe F conjunto de tipo F σ y G conjunto de tipo G δ tales que F A G y m(g \ F ) = 0. Demostración. La mayor dificultad para derivar este resultado del Teorema 4.2 es que la medida de A puede ser infinita. Tomemos R n = [ n, n] N y fijemos ε > 0. Para cada n N podemos encontrar F n A (R n \ R n 1 ) G n cerrados y abiertos de R N tales que m(g n \ F n ) < ε/2 n. El conjunto G ε = G n es abierto obviamente, y el conjunto F ε = F n es cerrado por la elección de los (R n ). Por construcción m(g ε \ F ε ) < ε. Es fácil ver, tomando ahora ε = 1/n, que G = G 1/n y F = F 1/n son el G δ y el F σ buscados. Consecuencia inmediata es la siguiente. Corolario 5.2. Un conjunto A R N es medible Lebesgue si y sólo si A = B V donde B es Borel de primera clase (G δ ó F σ ) y V es de medida nula. En relación con las propiedades geométricas de la medida de Lebesgue, el lector podrá demostrar sin dicultad lo siguiente. Proposición 5.3. Si A, B R N son conjuntos medibles Lebesgue, para cualesquiera x R N y λ R, se tiene que x + A, λa y A + B son también medibles Lebesgue y además m(x + A) = m(a) y m(λa) = λ N m(a) 12

13 Idea de la demostración. Las propiedades son evidentes para el volumen de intervalos. Basta ver que la operación de definición de la medida las conserva. Para terminar hablaremos de los límites de la Teoría de Lebesgue en R. Todos los conjuntos que podemos definir explícitamente son objeto de la Teoría Descriptiva de Conjuntos. Los conjuntos de Borel constituyen un primer escalón en la clasificación de tales conjuntos. Es relativamente sencillo establecer que la cardinalidad de M 1 coincide con la de las partes de R, basta considerar que cualquier subconjunto del conjunto ternario de Cantor es de medida nula y por tanto medible. La demostración de la existencia de un conjunto no medible involucra el uso del Axioma de Elección por lo que tal conjunto no es constructible en forma explícita a partir de intervalos, como todo lo que aparece expuesto en las páginas anteriores. Por otra parte, existe un modelo de la Teoría de Conjuntos en el cual todo subconjunto de R es medible Lebesgue, renunciando al Axioma de Elección, naturalmente. 13