DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Transcripción

1 CONJUNTO UNIVERSAL U A Gráficamente, al conjunto universal se lo representa mediante un rectángulo. Cualquier otro conjunto A es representado por una región cerrada, dentro del rectángulo, A este tipo de gráficos, que nos ayudan a visualizar conjuntos, se los conoce con el nombre de diagramas de Venn, en honor del lógico inglés John Ven ( ).

2 11 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Por Extensión: Se enumeran, entre llaves, los elementos del conjunto. El orden en que se enumeran no importa. Así, los siguientes conjuntos son determinados por extensión: 1. A = {a, e, i, o, u} 2. {1, 2, 3, 8} Por Comprensión: Se expresa el conjunto como el dominio de verdad de una función proposicional que tiene como dominio un conjunto universal. Así, si (U, P(x)) es una función proposicional, entonces A = {x Є U/ P(x)} Define al conjunto formado por todos los elementos de U que hacen a P(x) verdadera

3 12 Cuando el conjunto universal está sobreentendido, la expresión anterior se escribe simplemente así: Ejemplo 1. A = {x / P(x) } P = { x Є R / N tal que x = 2n} es el conjunto de números naturales pares. CONJUNTO VACÍO Definición. Se llama conjunto vacío al conjunto Ф = { x Є U / x x} Podemos definir el conjunto vacío de otras maneras, como Ф = { x Є R / x = x + 1 } ó Ф = { n Є N / n < 0 }

4 13 SUBCONJUNTOS A B ( x)( x Α x B) U B A A B Ejemplo 2. Si A = {1,2,3} y B = {1,2,3,4,5} entonces. A B Observación. Para dar una prueba directa debemos verificar que se cumple con la definición: ( x)( x A x B). Para esto, se sigue el siguiente esquema: Sea x cualquier elemento x A... x B, Por tanto A B.

5 Ejemplo 3. Si 14 A = { x Ιx 3Ι < 1} probar que y A B B = { x R / x 1} De acuerdo a la definición, debemos probar que: ( x)( x A x B). Para esto, representamos con x un elemento cualquiera y procedemos: x A x 3 < 1 Definición del conjunto A 1 < x 3 < 1 propiedad del valor absoluto 2 < x < 4 sumando 3 a las desigualdades x 1 Definición del conjunto B Luego, por la transitividad de la implicación, hemos probado que x A x B Como x es un elemento cualquiera, concluimos que ( x)( x A x B) y, por tanto, A B. c.q.d

6 15 CONJUNTO VACIO Para cualquier conjunto A, el vacío Ф es subconjunto de A. Esto es A. φ A, Demostrarlo.?? Teoremas. La inclusión de conjunto es: 1. Reflexiva: Para todo conjunto a, A A. 2. Transitiva: Si A B y B C, entonces Demostraciones : A C. 1. Sea A cualquier conjunto y x cualquier elemento. La propiedad reflexiva de la implicación nos dice que: x A x A.. Luego A A x A x B 2. porque A B x C porque B C Por tanto A C.

7 16 Definición Diremos que un conjunto A está incluido propiamente en un conjunto B ó que A es subconjunto propio de B, y escribiremos si y sólo si A B y A B. En otras palabras, A es subconjunto propio de B si y sólo si todo elemento de A es también elemento de B y existe al menos un elemento de B que no está en A. Ejemplo. A = {a, b} es un subconjunto propio de B = {a, b, c}. CONJUNTO POTENCIA Definición Sea A un conjunto. El conjunto potencia de A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Esto es ( A) = { X / A}

8 Ejemplo 5. a.- Si A = { a, b}, entonces ( A) = { φ,{ a},{ b},{ a, b}}. b.- Si A = {a, b, c}, entonces ( A) = { φ,{ a},{ b},{ c},{ a, c},{ a, b},{ b, c},{ a, b, c}}. Observación 1. Cuando los conjuntos son elementos de otros conjuntos se tiende a confundir el concepto de pertenencia con el de inclusión. Tener presente que B A significa que el conjunto B es un elemento del conjunto A, mientras que B A significa que todos los elementos de B también son elementos de A. Así, si. A = {{ a, b},{ a, d}, e}, B = { a, b} C = { c, d} B A e A. { e} A B A B (A). 6.- { e} ( A) 7.-φ (A).

9 Teorema 2 : Si A tiene n elementos, entonces (Α) tiene 2 n elementos. Demostración Sean x 1, x 2, x 3, x n los elementos del conjunto A. Esto es, A = {x 1, x 2, x 3, x n } Paso 1. Tomamos el elemento x 1. Este elemento, junto con el vacío nos dan los dos primeros elementos de (Α), que son los subconjuntos: φ, { x1} Paso 2. Tomamos el elemento x 2. Este elemento, agregado a los elementos de los 2 subconjuntos anteriores, nos dan otros 2, {x 2 }, y {x 1, x 2 }. Estos 2 elementos y los antiguos nos dan los 4=2 2 siguientes subconjuntos de A: φ, { x1},{ x2},{ x1, x2}.

10 Paso 3. Tomamos el elemento x 3. Este elemento, agregado a los elementos de los 4 subconjuntos anteriores, nos dan los 4 nuevos subconjuntos de A: {x 3 }, {x 1, x 3 }, {x 2, x 3 }, {x 1, x 2, x 3 } Estos 4 nuevos y los 4 antiguos nos dan los 8 = 2 3 siguientes subconjuntos de A: φ,{ x1}, { x 2}, { x1, x 2}, { x3}, { x1, x3}, { x 2, x3}, { x1, x 2, x3} El proceso termina con el paso n, en el cual tomamos el último elemento x n y obtenemos, al fin de cuentas, 2 n subconjuntos de A. Como los elementos de A se han agotado, estos 2 n subconjuntos son todos los subconjuntos de A. Esto es, tiene 2 n elementos IGUALDAD DE CONJUNTOS Los conjuntos A y B son iguales, y escribiremos A = B, si ambos tienen exactamente los mismos elementos. Este resultado se expresa, mediante la relación de inclusión, del modo siguiente:

11 IGUALDAD DE CONJUNTOS Definición: Sean A y B dos conjuntos. Α = B Α Β y Β Α Teniendo en cuenta la definición de inclusión, esta definición también puede expresarse así: Α = Β ( x)( [ x Α x B ] [ x B x Α ] ) Ó también Α = Β ( x)( x Α x Β) Teorema 3 La relación de inclusión de conjuntos es antisimétrica. Esto es, Α Β y Β Α Α = Β

12 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Determinar la verdad o falsedad de las proposiciones: φ φ φ φ φ {φ } { φ} { φ,{ φ}} Solución: 1. Falso, φ no tiene elementos. 2. Verdadero, φ es subconjunto de todo conjunto A y, en particular de. Α = φ 3. Verdadero,{ φ } es un conjunto unitario cuyo único elemento es φ. 4. Verdadero, φ es un elemento de { φ,{ φ}}, y por tanto, { φ} { φ,{ φ}}.

13 Problema 2. Probar que Α Β ( x)( x Α x Β) Usando la ley del condicional p q ~ p q, en la definición de inclusión tenemos que: Α Β ( ( ) ( x ) [ x Α x Β] ( x) ~ [ x Α] [ x Β] Luego, negando ambos lados, ~ ( Β ), Obtenemos que: Α Β ( Α Β) ~ ( x) ~ [ x Α] [ x ] ( x ) ~ ( ~ [ x Α] [ x Β] ) ( x )( ~~ [ x Α] ~ [ x Β] ) Finalmente : Α Β ( x)( x Α x Β). ( x)( x Α x Β) c.q.d Nota: Recordar leyes del álgebra de proposiciones y Reglas de inferencia y Cuantificadores.

14 UNIÓN E INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS U A B U A B Α U Β = { x U/ x Α x Β} Α I Β = { x U/ x Α x Β} Ejemplo 1. Si A = {a,b,c} y B = {b,c,d,e}, entonces Α U Β = { a, b, c, d, e} Α I Β = { b,c} Definición. Dos conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si Α I Β = φ.

15 Teorema 3 La unión e intersección de conjunto son: 1. Idempotentes: Α U Α = Α y Α I Α = Α, Α 2. Conmutativas: Α U Β = Β U Α y Α I Β = Β I Α, Α, Β 3. Asociativas: Α, Β, C, Α U ( Β U C) = ( Α U Β) U C y Α I ( Β I C) = ( Α I Β) I C Ejemplo 6 Demostrar : x Α U Α U ( Β U C) = ( Α U Β) U C ( Β U C) x Α x ( Β U C) x Α ( x Β x C) ( x Α x Β) x C x x ( Α U Β) x C ( Α U Β) U C Luego Α U ( Β U C) = ( Α U Β) U C Similarmente Α I ( Β I C) = ( Α I Β) I C

16 Teorema 4 : La intersección es distributiva respecto a la unión. Α I ( Β U C) = ( Α I Β) U ( Α I C). Α, Β, C. Teorema 5 : La unión es distributiva respecto a la intersección. Α U ( Β I C) = ( Α U Β) I ( Α U C), Α, Β, C. Demostración teorema 4 : x Α I ( Β I C) x Α x ( Β U C) x Α ( x Β x C) ( x Α x Β) ( x Α x C) x ( Α I Β) x ( Α U C) ( Α I Β) U ( Α ) x I C Luego Α I ( Β U C) = ( Α I Β) U ( Α I C) c.q.d Demostración teorema 5 ( tarea ) :

17 DIFERENCIA, COMPLEMENTO Y DIFERENCIA SIMÉTRICA Definición: Sean A y B dos conjuntos, la diferencia entre A y B es el conjunto Α Β = { x Α/ x Β} Si, el complemento de B con respecto a A es el conjunto Β Α C Α Β = Α B U A B U A U B B Ejemplo 7. A-B C A B C B A. Si a = {1,2,3,4,5,6} y B = {2,4,8,9}, entonces A B = {1,3,5,6} B. Si A = {1,2,3,4,5,6} y B = {2,4,6} entonces C A B = {1,3,5}

18 Las propiedades básicas de la complementación Teorema 6. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces, 1. Α U C A = U, Α I C A = φ 2. C(C A ) = A 3. CU = φ, C φ = U 4. Α Β CB C A TEOREMA 7 Leyes de Morgan para Conjuntos. Si A y B son conjuntos cualesquiera, entonces C( Α U Β) = CΑ I CΒ C( Α I Β) = CΑ U CΒ Demostración Ley 1 C ( Α U Β) x ( Α U Β) ( x Α U Β) x ~ TEOREMA 8 ~ x Luego ( x Α x Β) x Α x Β CΑ x CΒ x CΑ I C C( Α U Β) = CΑ I CΑ Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces Α Β = Α I CB Β

19 DIFERENCIA SIMÉTRICA DEFINICIÓN La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es el conjunto Α Β = ( Α Β) U ( Β Α) U A B También se puede definir como Α Β = Α Β { x U / x Α x Β} Ejemplo 8. Si A = {1,2,3,4,5,6} y B = {4,5,6,7,8,9} entonces A B = {1,2,3}, B A = {7,8,9} y Α Β = ( Α Β) U ( Β Α) = { 1,2,3,7,8,9 }

20 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Relación que hay entre el cálculo proposicional y la teoría de conjuntos. El nexo entre estas dos teorías lo establece el axioma de especificación. Si P(x) y Q(x) son dos funciones proposicionales con dominio un conjunto U, el axioma de especificación nos dice que quedan perfectamente determinados los conjuntos: { x U / P( x) } { } Α = y Β = x U / Q( x) Correspondencias más resaltantes entre el cálculo proposicional y la teoría de conjuntos Ρ ( x) Q( x) Ρ ( x) Q( x) ~ Ρ( x) Ρ Ρ Ρ Ρ ( x ) ~ Q( x) ( x) Q( x) Lógica ( x) Q( x) ( x) Q( x) Conjuntos Α U Β Α I Β C Α Α Β Α Β Α Β Α = Β