Eliminación de cuantificadores

Transcripción

1 Eliminación de cuantificadores Teorema Si una teoría admite eliminación de cuantificadores, y existe un algoritmo que construye ϕ sc a partir de ϕ, entonces es decidible. Cómo se demuestra este teorema? A qué teorías puede aplicarse? IIC2213 Teorías 32 / 59

2 Sea L = {0,s( )} y N s la estructura de L con dominio N y que interpreta 0 y s como la estructura N. Teorema Th(N s ) admite eliminación de cuantificadores. Además, existe un algoritmo que construye ϕ sc a partir de ϕ. Demostración: La demostración es por inducción en ϕ. Si ϕ es una fórmula atómica, entonces ϕ sc = ϕ. Para los conectivos lógicos la propiedad es simple de verificar. IIC2213 Teorías 33 / 59

3 Suponga que ϕ(x 1,...,x k ) = y ψ(x 1,...,x k,y) y que existe fórmula ψ sc (x 1,...,x k,y) sin cuantificadores tal que: Th(N s ) = x 1 x k y (ψ(x 1,...,x k,y) ψ sc (x 1,...,x k,y)). Entonces tenemos que: Th(N s ) = x 1 x k (ϕ(x 1,...,x k ) y ψ sc (x 1,...,x k,y)), y podemos construir ϕ sc (x 1,...,x k ) desde ψ sc (x 1,...,x k,y). IIC2213 Teorías 34 / 59

4 Dado que x (α β) es equivalente a ( x α) ( x β), nos concentramos en el caso: ( m ) ( n ) ψ sc (x 1,...,x k,y) = t i = t i t i t i. donde t i y t i son L-términos. i=1 i=m+1 Sea u una variable o la constante 0. Entonces para j 0: u j = 0 s j (u) = s(s( s (u) )) }{{} j > 0 j símbolos s IIC2213 Teorías 35 / 59

5 Entonces de Th(N s ) es consecuencia lógica: x 1 x k (ϕ(x 1,...,x k ) donde: ( m y s p i (u i ) = s q i (v i ) i=1 n i=m+1 )) s p i (u i ) s q i (v i ), Cada símbolo ui (y cada símbolo v i ) es el símbolo 0 ó una de las variables x 1,..., x k, y. Si vi = y, entonces u i = y. IIC2213 Teorías 36 / 59

6 Para construir ϕ sc, primero generamos la fórmula α sc desde ψ sc considerando las fórmulas de la forma s p i(y) = s q i(y) o s p i(y) s q i(y): Si pi = q i, entonces s pi (y) = s qi (y) es reemplazado por y s pi (y) s qi (y) es reemplazado por Si pi q i, entonces s pi (y) = s qi (y) es reemplazado por y s pi (y) s qi (y) es reemplazado por. IIC2213 Teorías 37 / 59

7 Si y es la única variable libre en ψ sc, entonces ϕ sc es generada desde α sc de la siguiente forma: 1. Si al menos una fórmula en α sc es, entonces ϕ sc =. 2. Si no es mencionado en α sc, entonces: 2.1 Si α sc no menciona una fórmula de la forma s p i (y) = s q i (0), entonces ϕ sc =. 2.2 Si α sc menciona una fórmula de la forma s p i (y) = s q i (0) con p i > q i, entonces ϕ sc =. 2.3 Suponga que ninguno de los casos anteriores se cumple: α sc menciona fórmula s pr (y) = s qr (0) con p r q r. ϕ sc es obtenida eliminando primero el cuantificador y y las fórmulas desde α sc, para luego reemplazar y por s qr pr (0) en las fórmulas restantes. IIC2213 Teorías 38 / 59

8 Suponga ahora que y no es la única variable libre en ψ sc. Si alguna de las fórmulas en α sc es, entonces ϕ sc (x 1,...,x k ) = ( k x i x i ). i=1 En caso contrario, β sc es generada eliminando desde α sc, y el proceso continua como es descrito a continuación. IIC2213 Teorías 39 / 59

9 Suponga ahora que β sc no menciona a ninguna fórmula de la forma s p i(y) = s q i(v i ). Pueden aparecer fórmulas de la forma s p i (y) s qi (v i ). En este caso ϕ sc es generado eliminando desde β sc todos las fórmulas atómicas que mencionan a la variable y. Por qué funciona bien esto? IIC2213 Teorías 40 / 59

10 Antes de continuar, veamos un ejemplo del último paso. Sea β sc (x 1,x 2,y) la fórmula: s(s(y)) s(x 1 ) s(y) s(s(s(x 2 ))) s(x 1 ) = s(s(x 2 )) s(x 2 ) s(0) Para eliminar y desde β sc (x 1,x 2,y), son eliminadas las fórmulas s(s(y)) s(x 1 ) y s(y) s(s(s(x 2 ))): ϕ sc (x 1,x 2 ) = s(x 1 ) = s(s(x 2 )) s(x 2 ) s(0). IIC2213 Teorías 41 / 59

11 Dado que de Th(N s ) es consecuencia lógica: ( x 1 x 2 (ϕ(x 1,x 2 ) y s(s(y)) s(x 1 ) )) s(y) s(s(s(x 2 ))) s(x 1 ) = s(s(x 2 )) s(x 2 ) s(0). Se tiene que de Th(N s ) es consecuencia lógica: ( )) x 1 x 2 (ϕ(x 1,x 2 ) s(x 1 ) = s(s(x 2 )) s(x 2 ) s(0). IIC2213 Teorías 42 / 59

12 Para terminar, suponga que β sc menciona al menos una fórmula de la forma s pr (y) = s qr (v r ). Para eliminar y desde β sc se utiliza la igualdad s pr (y) = s qr (v r ). La fórmula s p i (y) = s qi (v i ) es equivalente a: s pi+pr (y) = s qi+pr (v i ), por lo que usando s pr (y) = s qr (v r ), obtenemos que: s pi+qr (v r ) = s qi+pr (v i ). IIC2213 Teorías 43 / 59

13 De manera precisa, sea γ sc la fórmula generada desde β sc ejecutando los siguientes pasos: Se elimina s p r (y) = s qr (v r ) desde β sc. Se reemplaza cada una de las restantes fórmulas s pi (y) = s qi (v i ) por s pi+qr (v r ) = s qi+pr (v i ). Se reemplaza cada fórmula s p i (y) s qi (v i ) por s pi+qr (v r ) s qi+pr (v i ). Si p r = 0, entonces ϕ sc = γ sc. Pero en caso contrario, hay que agregar algo a γ sc. Por qué no basta con γ sc si p r > 0? IIC2213 Teorías 44 / 59

14 Finalmente, si p r > 0, se tiene que: ϕ sc ( pr 1 ) = γ sc s qr (v r ) s i (0). i=0 En ambos casos, tenemos que: Th(N s ) = x 1 x k (ϕ(x 1,...,x k ) ϕ sc (x 1,...,x k )). IIC2213 Teorías 45 / 59

15 Para concluir, veamos un ejemplo del último paso. Sea β sc (x 1,x 2,x 3,x 4,y) la fórmula: s(s(y)) = s(x 1 ) s(s(y)) = x 2 s(x 2 ) = s(s(x 4 )) s(s(y)) s(s(x 3 )) s(x 3 ) s(s(0)). Para eliminar y desde β sc (x 1,x 2,x 3,x 4,y), primero utilizamos la fórmula s(s(y)) = s(x 1 ): s(s(s(x 1 ))) = s(s(x 2 )) s(x 2 ) = s(s(x 4 )) s(s(s(x 1 ))) s(s(s(s(x 3 )))) s(x 3 ) s(s(0)), y después agregamos la fórmula: s(x 1 ) 0 s(x 1 ) s(0). IIC2213 Teorías 46 / 59

16 Dado que: Th(N s ) = x 1 x 2 x 3 x 4 (ϕ(x 1,x 2,x 3,x 4 ) ( y s(s(y)) = s(x 1 ) s(s(y)) = x 2 s(x 2 ) = s(s(x 4 )) s(s(y)) s(s(x 3 )) )) s(x 3 ) s(s(0)). IIC2213 Teorías 47 / 59

17 Tenemos que: Th(N s ) = x 1 x 2 x 3 x 4 (ϕ(x 1,x 2,x 3,x 4 ) ( s(s(s(x 1 ))) = s(s(x 2 )) s(x 2 ) = s(s(x 4 )) s(s(s(x 1 ))) s(s(s(s(x 3 )))) s(x 3 ) s(s(0)) )) s(x 1 ) 0 s(x 1 ) s(0) IIC2213 Teorías 48 / 59

18 Corolario Th(N s ) es una teoría decidible. Qué otras teorías admiten eliminación de cuantificadores? Vamos a ver que esta es una herramienta muy útil para decidir una teoría. IIC2213 Teorías 49 / 59