Geometría en el plano

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Lucía Bustamante Piñeiro
hace 7 años
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1 1 Geometría en el plano Para empezar Muchas veces nos encontramos con imágenes que parecen una cosa pero en realidad son otra, o que nos confunden y parecen cambiar según cómo se las mire. Imagen 1 Imagen 2 Imagen 3 Responde las siguientes preguntas y explica cómo puedes hacer para verificar tus respuestas. La imagen 1 está compuesta por circunferencias concéntricas o por espirales? En la imagen 2 la curva central es una circunferencia? uántos óvalos y cuántas circunferencias hay en la imagen 3? irunfereni D 6 1 a. Se dibujó una circunferencia de centro y se trazaron varios segmentos. Nombra un radio, un diámetro y una cuerda. b. Juan dice que sin agregar más segmentos a la figura puede nombrar más de un radio y más de una cuerda, pero solo un diámetro. Por qué? uáles pueden ser? Santillana S.. Prohibida su fotocopia. Ley

2 2 Indica cuál es la posición relativa de cada una de las rectas respecto de la circunferencia de esta figura. u r w v r v w u 3 Deduce la posición relativa de una circunferencia de radio r y una recta que se halla a una distancia d de su centro, en los siguientes casos. a. r = 6 cm, d = 4 cm b. r = 6 cm, d = 6 cm c. r = 4 cm, d = 6 cm 4 Lucía encontró esta figura con circunferencias de distintos colores. a. ómo son las circunferencias azules entre sí? Y con respecto a las celestes? b. ómo es la circunferencia anaranjada respecto de las celestes? c. ómo es la circunferencia verde con respecto a la anaranjada? Santillana S.. Prohibida su fotocopia. Ley Mati quiere dibujar dos circunferencias, una de 3 cm de radio y la otra de 4 cm de radio, de manera que la distancia entre sus centros sea de 4 cm. a. Pueden ser tangentes interiores? Y tangentes exteriores? b. Para verificar tu respuesta haz las circunferencias usando GeoGebra o con el compás y la regla. Qué posición relativa ocupan? c. Qué relación hay entre los radios de dos circunferencias tangentes interiores y la distancia entre sus centros? Y si son tangentes exteriores? 7

3 ÁnGuLoS en L irunfereni 6 a. Indica si el ángulo señalado en verde es inscripto o semiinscripto. Si no es ninguno de los dos explica por qué. b. Señala con rojo los arcos de circunferencia que abarcan los ángulos inscriptos o semiinscriptos de la parte anterior. 7 a. En cada una de las siguientes circunferencias se trazó un ángulo inscripto. Traza el ángulo central correspondiente. P T M R N S F E I H J 8 G b. on ayuda de un semicírculo conjetura una relación entre las amplitudes del ángulo inscripto y el central que abarcan el mismo arco. Santillana S.. Prohibida su fotocopia. Ley

4 8 Te proponemos que demuestres la conjetura a la que habrás llegado en el ejercicio anterior en el caso particular de que el centro de la circunferencia pertenezca a uno de los lados de ángulo inscripto. P M N naliza la figura y completa la demostración. (i) El triángulo MN es isósceles pues, en consecuencia ˆ1 =. (ii) omo 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ = pues y 3ˆ + 4ˆ = pues entonces 1ˆ + 2ˆ =. De las igualdades de los pasos (I) y (II) se deduce que el ángulo central MP (el ˆ4 ) es 9 En tu cuaderno demuestra que la relación entre las amplitudes del ángulo inscripto y el central que abarcan el mismo arco es válida en todos los casos. Para ello puedes usar las siguientes figuras de análisis T 3 4 R 1 2 Santillana S.. Prohibida su fotocopia. Ley S 9

5 10 Halla la amplitud del ángulo a en cada caso sin usar el semicírculo. β α β α α β β=124º β=65º β=105º 11 Halla la amplitud del ángulo a 2 en cada caso. a. α 1 = 15 ; ω + ω =. b. α = 1 20 ; ω = 2 ω D D 12 Halla la amplitud del ángulo a. Usa los datos de la figura El triángulo es isósceles con =. Halla la amplitud del ángulo a. 80º Santillana S.. Prohibida su fotocopia. Ley

6 14 a. Traza un diámetro de la circunferencia. Llama y a sus extremos. Marca otro punto de la circunferencia y llámalo P. Dibuja el ángulo con vértice en P cuyos lados pasan por y. Es un ángulo inscripto? uál es su amplitud? b. Si hubieras marcado cualquier otro punto de la circunferencia (diferente de y ), ocurriría lo mismo? Explica. c. ompleta. ualquier ángulo inscripto en una circunferencia que abarque un diámetro 15 PQ es un diámetro de la circunferencia de centro. El ángulo SRQ es de 64º alcula la amplitud de los ángulos señalados con a y b. P S α R 64º β Q Santillana S.. Prohibida su fotocopia. Ley Halla el valor de x y la amplitud de cada ángulo del triángulo. onsidera que = ( x + 20 ) y = ( 2x + 10 ) y que es un diámetro de la circunferencia. 11

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