Gramáticas independientes del contexto AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES LENGUAJES INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO Y AUTÓMATAS DE PILA. Otras definiciones I

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1 Gramáticas independientes del contexto UTÓMTS Y LENGUJES FORMLES LENGUJES INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO Y UTÓMTS DE PIL Francisco Hernández Quiroz Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, UNM Página Web: Posgrado en Ciencia e Ingeniería de la Computación Una gramática G = Σ, Γ, S, es independiente del contexto sii todas las reglas de producción tienen una de las dos siguientes formas donde Γ. α ɛ, CFG designará el conjunto de gramáticas independientes del contexto. El lenguaje generado por G se denotará con L(G). Un lenguaje L es independiente del contexto sii existe una gramática G CFG tal que L = L(G). CFL es el conjunto de lenguajes independientes del contexto. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 1 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 2 / 36 Ejemplos Otras definiciones I Considérese una derivación 1 Lenguaje de palindromas. Sea G P = {a, b}, {S}, S, P, donde S P asa bsb ɛ. α 0 α 1 α n. Esta derivación presupone reglas de producción 2 Lenguaje de paréntesis. Sea Sea G D = {(, )}, {S}, S, D, con las siguientes reglas S D (S) SS ɛ. tales que 1 β 1... n β n α i = γ i i η i α i+1 = γ i β i η i. Esta derivación será por la izquierda sii para todo i n γ i γ i+1 γ i Σ Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 3 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 4 / 36

2 Otras definiciones II Otras definiciones III y será por la derecha sii η i η i+1 η i Σ. Una gramática es no ambigua sii α L(G), α tiene exactamente una derivación por la izquierda (o por la derecha). Un lenguaje es no ambiguo sii existe una gramática no ambigua que lo genere. De lo contrario, será inherentemente ambiguo. Una gramática es pulcra sii Una producción es terminal sii no contiene símbolos no terminales del lado derecho. Una producción es una regla-ɛ sii su lado derecho es ɛ. Una producción es unitaria sii es de la forma de la forma B, con, B Γ. Una gramática es propia sii no contiene regla-ɛ ni reglas unitarias. (a) Γ. L() ; (b) Γ. α, β Σ. S αβ o S =. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 5 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 6 / 36 Paréntesis balanceados Lenguajes de Dyck La gramática G D genera el lenguaje de paréntesis balanceados, es decir, α L(G D ) sii 1 (α) = C(α); 2 C(β) (β) β. γ. α = βγ; donde (α) y C(α) son el número de paréntesis que abren y cierran que aparecen en α, respectivamente. Demostración. Por inducción en la derivación de S α. El lenguaje de paréntesis se puede generalizar a los lenguajes de Dyck. Sea un alfabeto de símbolos no terminales y sea Ā una copia de, es decir: (i) Ā = (ii) existe una biyección de a Ā. Por ejemplo, si = {(}, entonces Ā = {)}. El lenguaje de Dyck sobre es el lenguaje generado por las reglas de producción: S a 1 Sā 1 a n Sā n SS ɛ, donde = {a 1,..., a n } y ā i Ā es la copia de a i. Este lenguaje se denotará con D. Si = n, una notación alternativa es D n. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 7 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 8 / 36

3 Formas normales de Chomsky y de Greibach Ejemplos Sea G = Σ, Γ, S, un gramática. G tiene forma normal de Chomsky (CNF) sii todas las producciones tiene la forma donde, B, C Γ y a Σ. BC a, En cambio, G tiene forma normal de Greibach (GNF) sii todas las producciones tienen la forma con 0 k, b Σ y B 1,..., B k Γ. bb 1 B k Los conjuntos de producciones siguientes tienen forma normal de Chomsky y de Greibach (respectivamente) S B C SS C SB ( B ) S (B (SB (BS (SBS B ) y generan el lenguaje de paréntesis balanceados. Las producciones siguientes generan el lenguaje de palindromas S BB C BD C S D SB a B b S a as bb bsb a B b Con excepción en ambos casos de ɛ. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 9 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 10 / 36 Todas las CFG tienen equivalente en CNF o GNF Lema de gramáticas propias I Sea G CFG. Entonces, existe una gramática propia G tal que Teorema. Sea G CFG. Entonces existen G C, G G CFG tales que tienen forma normal de Chomsky y de Greibach, respectivamente, y L(G C ) = L(G G ) = L(G) {ɛ}. L(G ) = L(G) {ɛ}. Demostración. Sea la relación mínima que (i) contiene a ; (ii) si αbβ y B ɛ, entonces αβ (iii) si B y B γ, entonces γ. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 11 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 12 / 36

4 Lema de gramáticas propias II Transformación a forma normal de Chomsky Y sea G CFG como G, pero con las reglas de producción. Entonces L(G) = L(G ) Obviamente, L(G) L(G ). Para L(G ) L(G), baste observar que toda derivación en G se puede realizar en G, salvo tal vez en dos pasos. Sea ahora G como G pero con la relación que prescinde de las producciones unitarias y -ɛ que existan en. Entonces L(G ) = L(G ) {ɛ} = L(G) {ɛ}. Esta última afirmación se demuestra considerando que las derivaciones de longitud mínima en G prescinden de producciones-ɛ y unitarias. Una vez que contamos con una gramática propia G, podemos construir la FNC: 1 Para cada a Σ, introducimos nuevos no terminales a y reglas de producción a a. 2 Sustituimos los terminales por los no terminales del punto anterior en todas las reglas de G que no tengan FNC todavía. 3 Dada una regla B 1... B k (K > 2), introducimos un nuevo terminal C 1 y las reglas B 1 C 1 C 1 B 2... B k. 4 Repetimos este procedimiento hasta tener sólo reglas con dos no terminales del lado derecho. 5 Eliminamos las reglas del punto anterior que no tengan FNC. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 13 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 14 / 36 Transformación a forma normal de Greibach Sea G C una gramática en FNC. Para convertirla a FNG: 1 Para cada X Γ, considérese el lenguaje R X,x = {β Γ X L xβ}. Este lenguaje es regular. Sea G X,x una gramática lineal por la derecha que lo genere. Sea S X,x el símbolo inicial de esta gramática. 2 Entonces, sustituimos las reglas por reglas XY xs X,x Y, y agregamos las producciones y símbolos no terminales de G X,x a nuestra gramática. 3 Eliminamos las reglas-ɛ. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 15 / 36 Ejemplos I Lenguaje de paréntesis. Empezamos con forma normal de Chomsky: S B C SS C SB ( B ). Tenemos ahora los siguientes lenguajes R X,x R S,( = (B + C)S R C,( = (B + C)S B R,( = {ɛ} R B,) = {ɛ} Estas producciones nos generan los lenguajes anteriores: S S,( BX CX X SX ɛ S C,( BY CY Y SY BZ Z ɛ S,( ɛ S B,) ɛ Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 16 / 36

5 Ejemplos II Entonces, tenemos las reglas nuevas S (S,( B (S,( C (S S,( S C (S S,( B ( S S,( )S B,) X (S C,( X X (S S,( X ɛ B ) S C,( )S B,) Y (S C,( Y Y (S S,( Y )S B,) Z Z ɛ S,( ɛ S B,) ɛ Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 17 / 36 Teorema del bombeo I Sea L CFL. Entonces, existe k N tal que para toda α L, si k α, entonces α = βγηθφ y γθ ɛ y para toda i N Demostración. βγ i ηθ i φ L. Sea G CFG en FNC y L(G) = L ɛ. Sea Γ el alfabeto de símbolos no terminales de G, con Γ = n y sea k = 2 n+1. Entonces, el árbol sintáctico de toda cadena de longitud igual o superior a k debe tener profundidad de n + 1 al menos. Entonces en un camino de longitud máxima de la raíz a las hojas debe aparecer dos veces, al menos, el mismo no terminal. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 18 / 36 Teorema del bombeo II Ejemplo Considérense los siguientes árboles de derivación: S Este no terminal puede usarse para definir las cadenas γ y θ. B V W g h X e f a b c d Árbol de la cadena βγηθφ = abcdefgh Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 19 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 20 / 36

6 S plicaciones B Como con los lenguajes regulares, este teorema se puede utilizar para demostrar que un lenguaje dado no es independiente del contexto. Ejemplos: V W g h {a n b n c n }, X e f por una aplicación directa del teorema, y V W c d {αα} X e f pues los CFL y los regulares son cerrados bajo intersección y {a n b m a n b m } = {αα} L(a b a b ) a b c d y, obviamente, {a n b m a n b m } no es independiente del contexto Árbol de la cadena βγ 2 ηθ 2 φ = abcdefcdefgh Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 21 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 22 / 36 utómatas de pila Lenguajes aceptados por NPD Una configuración de un autómata NPD es una terna (q, α, β) donde Un autómata de pila no determinista está formado por un conjunto de estados Q; un alfabeto de entrada Σ; un alfabeto de pila Γ; una relación de transición δ (Q (Σ {ɛ}) Γ) (Q Γ ) un estado inicial s; un símbolo inicial de la pila ; un subconjunto de estados finales F Q. Llamaremos NPD a los autómatas de pila no deterministas. q Q α Σ β Γ La configuración inicial es (s, α, ). Definiremos ahora una relación entre configuraciones: si δ((q, a, B), (r, η)) entonces (q, aα, Bβ) (r, α, ηβ) si δ((q, ɛ, B), (r, η)) entonces (q, α, Bβ) (r, α, ηβ) El lenguaje aceptado por un NPD es L() = {α Σ f F. (s, α, ) (f, ɛ, β)} Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 23 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 24 / 36

7 ceptación por pila vacía Teorema de equivalencia entre CFG y NPD I (a) Sea G CFG. Entonces, existe NPD tal que Una definición alternativa del lenguaje aceptado por un NPD es L() = {α Σ (s, α, ) (q, ɛ, ɛ)} mbas definiciones son equivalentes y puede construirse un NPD que acepte por pila vacía el mismo lenguaje que un NPD que acepte por estado final (y viceversa). L(G) = L(). (b) Sea NPD. Entonces, existe G CFG tal que L(G) = L(). Demostración (a) Sea G = Σ, Γ, S en FNG. Sea = ({q}, Σ, Γ, δ, q, S, q), donde δ((q, a, ), (q, B 1 B k )) sii ab 1 B k. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 25 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 26 / 36 Teorema de equivalencia entre CFG y NPD II Si puede demostrar por inducción en la longitud de las derivaciones (por la izquierda) que Entonces (q, αβ, ) n (q, β, γ) sii n G αγ. α L(G) sii S G α sii (q, α, S) (q, ɛ, ɛ) sii α L(). (b) Se demuestra primero que para todo NPD existe un NPD con un solo estado tal que L() = L( ) y una vez construido, los argumentos del caso (a) se pueden aplicar en sentido inverso. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 27 / 36 Determinismo diferencia de los lenguajes regulares, la clase CFL no determinista es estrictamente mayor que la determinista (DCFL). Un autómata determinista de pila D = (Q, Σ, Γ, δ,,, s, F) incluye el símbolo especial que sirve para indicar el final de la cadena de entrada. Las transiciones están indicadas por la función δ : Q Σ {ɛ, } Q Γ. δ no puede eliminar de la pila a, es decir δ(q, a, ) = (r, α ). La aceptación es por estados finales. La aceptación por pila vacía define un conjunto de lenguajes diferente. Un ejemplo de un lenguaje en CFL pero no en DCFL es {a, b} {αα α {a, b} } Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 28 / 36

8 El teorema de Chomsky y Schützenberger I Sea L CFL. Entonces existen n N, R REG y un homomorfismo h tal que L = h(d n R). Nota: un homomorfismo h : Σ Γ es una función tal que h(αβ) = h(α)h(β). Demostración. Sea G = Σ, Γ, S, en FNC. signaremos letras griegas minúsculas a las producciones de G: Definiremos nuevas producciones = 1 1 ], ρ, σ,... 1 B 1 ] 2 C 2 ] 2 2 ] si = BC si = a Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 29 / 36 El teorema de Chomsky y Schützenberger II y sean Σ = {, ],, ] } = { } G = Σ, Γ, S, Se puede definir fácilmente un isomorfismo con un lenguaje D n (con un par de tipos de paréntesis por cada regla en ). Obviando el isomorfismo, es claro que L(G ) D n. L(G ) cumple además con las siguientes restricciones adicionales: 1 Para toda, el símbolo 1 ] está seguido de 2. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 30 / 36 El teorema de Chomsky y Schützenberger III El teorema de Chomsky y Schützenberger IV 2 Ningún 2 ] está seguido de n ρ. 3 Si = BC entonces 1 está seguido de 1 ρ, con ρ = B β. nálogamente para 2. 4 Si = a, entonces 1 está seguido por la cadena ] ]. 5 Si G α, entonces α comienza con 1 para alguna = γ. Considérese el siguiente lenguaje regular: R = {α Σ α satisface 1 5} Lema. G α sii α D n R. Suponiendo que el lema anterior es verdadero, entonces definimos el homomorfismo h : Σ Σ. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 31 / 36 Si = BC entonces Si = a entonces h( ) = h( ] ) = h( ) = h( ] ) = ɛ h( ) = a y h( ] ) = h( ) = h( ] ) = ɛ. El teorema se sigue directamente de esta definición. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 32 / 36

9 Lema G α sii α D n R lgoritmo de Cocke, Kasami y Younger Demostración. Por inducción en n para la dirección. Para el caso inverso, por inducción en la longitud de las cadenas en D n R. Basta considerar que α = β ] γ ] y analizar los dos casos posibles para, a saber, BC o bien a. En el primer caso, por hipótesis inductiva, B G β y C G γ y además β y γ satisfacen las condiciones 1 5. El segundo caso es aún más simple. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 33 / 36 Es un algoritmo para decidir de manera eficiente si una cadena pertenece a un CFL. Sea L un CFL y sea G = ΣΓ, S, una CFG en forma normal de Chomsky tal que L(G) = L. Sea α L con longitud n. Sean 0 i < j n y sea α i,j la subcadena de α que va de la posición i + 1 a la j. Sea T i,j Γ el conjunto de no terminales que generaron α i,j. El algoritmo calcula el valor de todos los T i,j de manera inductiva. En particular, S T 0,n si S G α. El algoritmo es O(pn 3 ), p el número de producciones en G. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 34 / 36 for i := 0 to n 1 do T i,i+1 := ; for a G do if a = α i,i+1 then T i,i+1 := T i,i+1 {} for m := 2 to n do for i := 0 to n m do T i,i+m := ; for j := i + 1 to i + m 1 do for BC G do if B T i,j C T j,i+m then T i,i+m := T i,i+m {} El teorema de Parikh Sean Σ = {a 1,..., a n }, α Σ y a Σ. Sea #a(α) es el número de apariciones del símbolo a en α. El mapa de Parikh es la función ψ : Σ N n definida por Sea =(0,..., 0). ψ(α) = (#a 1 (α),..., #a n (α)). Entonces, N n y + : N n N n N (suma por coordenadas) forman un monoide, i.e., un conjunto con una operación binaria asociativa y un elemento neutro de esta operación, a saber, 0. demás, Σ y también forman un monoide. ψ es un homomorfismo entre Σ y N n. Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 35 / 36 Francisco Hernández Quiroz utómatas y Lenguajes Formales Leng. independientes del contexto 36 / 36

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