Conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos. Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por. a R. se entiende que a pertenece a R.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos. Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por. a R. se entiende que a pertenece a R."

Transcripción

1 Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos. Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por se entiende que a pertenece a R. a R Normalmente, podremos definir a un conjunto de dos maneras: Por extensión: Se enumeran en forma expĺıcita los elementos que pertenecen al conjunto. Por ejemplo, A = {a, e, i, o, u} Esta forma de definir conjuntos funciona bien si el conjunto que queremos definir tiene un número finito de elementos. Por comprensión: Un conjunto se define por comprensión de la siguiente manera: {x P (x)}, Jorge Baier Aranda, PUC 1

2 es decir, al conjunto pertenecen todos los elementos x que cumplen con la propiedad P. Alternativamente, podemos usar: Ejemplos: 1. {n n N y n es par}. 2. {p N p es primo}. {x A P (x)} Es preciso observar que en la primera definición, la propiedad P no puede ser cualquier cosa. De hecho, la definición acepta definir conjuntos como el siguiente: R = {x x x}, es decir, el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Esta definición es contradictoria puesto que al hacernos la pregunta R R? no obtenemos una respuesta. Jorge Baier Aranda, PUC 2

3 Supongamos que la respuesta es sí. Luego, por definición del conjunto, R R. Supongamos que la respuesta es no. Luego, R R, y, por la definición de R, R debe pertenecer al conjunto R, es decir, R R! Esto nos deja la lección de que hay que ser cuidadoso con las propiedades que se escogen. La segunda definición de conjuntos es completamente segura cuando A es un conjunto fijo. Jorge Baier Aranda, PUC 3

4 Definiciones Elementales Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B, diremos que A está contenido en (o es subconjunto de) B. Esto se anota como A B, o B A. Dos conjuntos A y B (A = B) son iguales si y sólo si contienen los mismos elementos. Un conjunto A es subconjunto propio de B si y sólo si: que frecuentemente se escribe como: A B y A B, A B Jorge Baier Aranda, PUC 4

5 Operaciones Elementales A B, es la unión de A y B, y se define por: {x x A o x B} A B, es la intersección de A y B, y se define por: {x x A y x B} A B, es la diferencia de A y B, y se define por: {x x A y x B} A B, es el producto cartesiano de A y B, y se define por: {(x, y) x A y y B} Jorge Baier Aranda, PUC 5

6 2 A, es el conjunto potencia de A y define por: {x x A} Jorge Baier Aranda, PUC 6

7 Relaciones Una relación binaria R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B, es decir, R A B. Si el par (a, b) R, normalmente se acostumbra a decir que arb. Si (a, b) R, entonces decimos que (a, b) R (o a Rb). Definición 1. de A A. Una relación binaria R sobre un conjunto A es un subconjunto Nos interesarán algunas propiedades de las relaciones. Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. R podría tener alguna de las siguientes propiedades: Jorge Baier Aranda, PUC 7

8 Refleja: R es refleja si y sólo si: ara, para todo a A. Simetría: R es simétrica si y sólo si: arb entonces bra, para todo a, b A. Asimetría: R es asimétrica si y sólo si: arb entonces b Ra, para todo a, b A. Antisimetría: R es antisimétrica si y sólo si: arb y bra implica que a = b, para todo a, b A. Transitividad: R es transitiva si: arb y brc implica que arc, para todo a, b, c A. Una relación de equivalencia es una relación simétrica, refleja y transitiva. Jorge Baier Aranda, PUC 8

9 Clausuras de Relaciones Si P representa una propiedad o una colección de propiedades de relación, entonces, la clausura-p de una relación binaria R sobre un conjunto A, es el subconjunto más pequeño de A A, que cumple la propiedad y que contiene a R. Normalmente, la clausura refleja y transitiva de una relación R sobre un conjunto cualquiera A, se anota como R y se puede construir a partir de R siguiendo las siguientes reglas: Si (a, b) R, entonces (a, b) R (a, a) R, para todo a A. Si (a, b) R y (b, c) R, entonces (a, c) R. Nada más pertenece R Jorge Baier Aranda, PUC 9

10 Sea R = {(1, 3), (1, 1), (1, 4), (3, 2)}, definida sobre S = {1, 2, 3, 4}. Siguiendo las reglas de construcción de arriba se obtiene que: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3), (1, 2), (1, 4), (3, 2)}. Jorge Baier Aranda, PUC 10

11 Conjuntos Infinitos No tiene mucho sentido hablar del tamaño de un conjunto infinito. Sin embargo, es razonable cuestionarse algunas cosas. Como por ejemplo: Hay más racionales que naturales? Son más los múltiplos de 2 que los de 4? Quienes son más, los reales o los naturales? Para poder comparar tamaños de conjuntos infinitos se de define la noción de equinumeroso, con la idea intuitiva que dos conjuntos equinumerosos tienen la misma cantidad de elementos. Definición 2. [Conjuntos equinumerosos] Dos conjuntos A y B son equinumerosos si es que es posible definir una función biyectiva f : A B Jorge Baier Aranda, PUC 11

12 Ejemplo: El conjunto de múltiplos de 2 y el de múltiplos de 4 son equinumerosos. La función biyectiva está dada por: f(2k) = 4k. Ejercicio: Demuestre que Z y N son equinumerosos. Ejercicio: Demuestre N y N N son equinumerosos. Si A es un conjunto infinito, entonces se dice que A es contable si es que A y N son equinumerosos. Jorge Baier Aranda, PUC 12

13 Conjuntos incontables Hay muchos conjuntos que son incontables. El ejemplo más clásico es el caso de 2 N (Teorema de Cantor). Demostración: En efecto, supongamos que 2 N es contable. Esto significa que los elementos de 2 N pueden ser enumerados como: 2 N = {S 0, S 1, S 2,...} Si esta construcción es válida entonces podríamos formar el siguiente conjunto: D = {n N n S n } Debido a que D es un conjunto de naturales entonces debería ser igual a S k para algún k. La pregunta que nos hacemos es k D? Sólo hay dos posibilidades: Jorge Baier Aranda, PUC 13

14 1. Supongamos que la respuesta es sí. Entonces k S k, pero por la definición de D, k D, es decir k S k. 2. Supongamos que la respuesta es no. Entonces k S k y luego, dado que la propiedad de D se verifica, tenemos que k D y por lo tanto k S k.. Podemos concluir que tal enumeración para 2 N no existe y por lo tanto 2 N es incontable. Jorge Baier Aranda, PUC 14

15 Inducción El principio de inducción matemática es esencial para demostrar propiedades de los números naturales. Sin embargo, este principio se puede usar en general para demostrar cualquier propiedad de conjuntos de elementos que se pueden construir inductivamente. Nos referiremos al principio de inducción en los naturales y a definciones inductivas. Jorge Baier Aranda, PUC 15

16 Inducción en los Naturales Sea P (n) una propiedad acerca de un número natural arbitrario n, por ejemplo: n i = i=0 n(n + 1) 2 Si se logra establecer: 1. P (0). (caso base) 2. Si se cumple P (n) implica que se cumple P (n+1), para n 1 (paso inductivo). Una vez demostrados estos dos puntos, es posible concluir que la P (n) se cumple para cualquier natural n. Ejercicio: Demuestre que n i=0 i = n(n+1) 2. Jorge Baier Aranda, PUC 16

17 El principio de inducción completa establece que para demostrar una propiedad P sobre los naturales, basta con demostrar: 1. P (0). (caso base) 2. Si se cumple P (0), P (1),..., P (n) implica que se cumple P (n+1), para n 1 (paso inductivo). Jorge Baier Aranda, PUC 17

18 Definiciones Inductivas Las definiciones inductivas están inspiradas en el principio de inducción. Para definir una función (o propiedad) en forma inductiva se definen los casos básicos y luego los casos inductivos. En el caso básico se define la función (o propiedad) para los entes u objetos más simples 1. El (o los) casos inductivos tienen como característica que las definiciones de la función (propiedad) de un ente se hace en función de el valor de la función (propiedad) para entes más sencillos. La siguiente es una definición inductiva para la función factorial sobre los naturales: fact(n) = { 1 si n = 0 n fact(n 1) en otro caso 1 Los que no se definen en términos de otros Jorge Baier Aranda, PUC 18

19 La serie de los números de Fibonacci también se puede definir de esta manera: 0 si n = 0 f n = 1 si n = 1 f n + f n 1 en otro caso El principio de inducción es especialmente adecuado para demostrar propiedades de funciones definidas en forma inductiva. Ejemplo: Demuestre que para todo natural n 1 f 2 n = f n 1 f n+1 + ( 1) n+1, Jorge Baier Aranda, PUC 19

20 Grafos Un grafo finito no dirigido G = (V, E) es un par formado por: V : Un conjunto de vértices, o nodos. E: Un conjunto de pares no ordenados de vértices llamados aristas, o arcos. Ejemplo: V = {1, 2, 3, 4} E = {(i, j) i j = 1 o i = j} Corresponde a la siguiente representación gráfica: Un camino en un grafo G = (V, E) es una secuencia de vértices v 1, v 2,..., v n tal que cada par (v i, v i+1 ) E para cada 1 i < n. Jorge Baier Aranda, PUC 20

21 Un grafo dirigido es un grado en el cual las aristas tienen un sentido. Formalmente, es un par (V, E) donde V es un conjunto de vértices. E es un conjunto de pares ordenados de elementos de V. Ejemplo: V = {1, 2, 3, 4} E = {i j i j = 2 o i = j} Si el arco u v E, entonces se dice que u es el antecesor de v y que u es el sucesor de v. Jorge Baier Aranda, PUC 21

22 Árboles Un árbol es un tipo especial de grafo dirigido, que cumple las siguientes propiedades: 1. Hay un nodo v que no tiene predecesores y desde el cual hay un camino a cada nodo del grafo. (Tiene una raíz). 2. Exceptuando a la raíz, cada vértice tiene exactamente un predecesor. (Un nodo tiene a lo más un padre). En la jerga de árboles, se acostumbra decir padre en vez de antecesor e hijo en vez de sucesor. Adicionalmente, se puede suponer que los hijos de un mismo nodo están ordenados de izquierda a derecha. Jorge Baier Aranda, PUC 22

23 Símbolos, Alfabetos y Palabras Un símbolo es una entidad abstracta que no definiremos formalmente. Una definción del diccionario de la RAE: Tipo de abreviación de carácter científico o técnico, constituida por signos no alfabetizables o por letras, y que difiere de la abreviatura en carecer de punto Los símbolos que utilizaremos en este curso son dígitos y letras. Un alfabeto es un conjunto finito de símbolos. Ejemplos: Alfabeto binario = {0, 1} Alfabeto romano = {a, b, c, d, e,...} Alfabeto griego = {α, β, γ, δ,...} Frecuentemente, usaremos la letra Σ para referirnos a alfabetos. Jorge Baier Aranda, PUC 23

24 Una palabra es una secuencia finita de símbolos yuxtapuestos de algún alfabeto. La palabra ε es una palabra con 0 símbolos. Se acostumbra llamarla palabra vacía El conjunto de las palabras sobre un alfabeto Σ puede ser definido por: ε es una palabra. Si w es una palabra, entonces wa es una palabra, para todo a Σ. Ejercicio: Demuestre que aba es una palabra sobre Σ = {a, b, c}. Un lenguaje formal sobre un alfabeto Σ es un conjunto (posiblemente infinito) de palabras sobre Σ. Jorge Baier Aranda, PUC 24

25 Por ejemplo, si Σ = {a, e, i, o, u}, los siguientes son lenguajes: L 1 = {auu, eae, a} L 2 = L 3 = {ε, a, oa} Es importante notar la diferencia entre los lenguajes y {ε}. Jorge Baier Aranda, PUC 25

26 Convenciones Frecuentemente usaremos letras para designar tanto a símbolos como palabras. Para distinguirlos usamos las siguientes convenciones: Las letras minúsculas a, b, c y d serán usadas normalmente para designar símbolos. Las letras minúsculas u, v, w, x, y, z y w son usadas para designar palabras. Las letras mayúsculas L, R y S son usadas para designar lenguajes. Jorge Baier Aranda, PUC 26

27 Largo El largo de una palabra w corresponde al número de símbolos que ésta tiene y se anota como w. Ejemplo: abaco = 5. Podemos definir inductivamente la función largo por: ε = 0, wa = 1 + w, donde w es una palabra. Ejercicio: Usando la definición, demuestre que abaco = 5 Jorge Baier Aranda, PUC 27

28 Concatenación Es posible concatenar dos palabras a través de la operación de concatenación. De esta manera, si w 1 = ca y w 2 = sa, w 1 w 2 = casa La función de concatenación se puede definir inductivamente mediante: x ε = x, para toda palabra x. x wa = (x w)a, donde a es un símbolo y x y w son palabras. Ejemplo: Demuestre que ε x = x. Hacemos la demostración por inducción en el largo de x. Jorge Baier Aranda, PUC 28

29 Caso base. x = ε ( x = 0). ε x = ε ε = ε (por definición de largo) = x Paso inductivo. Supongamos que la propiedad se cumple para toda palabra w, de largo k. Demostraremos que, entonces, la propiedad se cumple para cualquier palabra de largo k + 1. (Hipótesis inductiva: ε w = w.) Demostración: ε wa = (ε w)a (por definición de concatenación) = wa (por hipótesis inductiva) Ejercicio: Demuestre que x y = x + y. Ejercicio: Demuestre que (x y) z = x (y z). Jorge Baier Aranda, PUC 29

30 Reverso Frecuentemente interesa obtener el reverso de una palabra w. El reverso de una palabra w, escrito por w r, es una palabra que contiene los mismos elementos que w, pero con los sus símbolos en secuencia inversa. La función reverso se define de la siguiente manera: ε r = ε. (xa) r = ax r, donde a Σ y x es una palabra sobre Σ. Ejercicio: Demuestre que (x y) r = y r x r. Jorge Baier Aranda, PUC 30

31 Concatenación de Lenguajes También es posible definir la función de concatenación para lenguajes. De esta manera: L 1 L 2 = {x y x L 1, y L 2 } Por ejemplo, si L 1 = {aa, bda, ɛ} y L 2 = {a, bb}, L 1 L 2 = {aaa, aabb, bdaa, bdabb, a, bb} Nótese que L = y que L {ε} = L ( por qué?). La notación L i se ocupa para denotar al lenguaje que resulta de la concatenación de L i veces consigo mismo. L i se puede definir inductivamente por: L 0 = {ɛ} L i+1 = L i L Jorge Baier Aranda, PUC 31

32 Clausura de Kleene La clausura de Kleene de un lenguaje L, que se anota como L, está definida por, L = L i. i=0 Ejemplo: Si L = {a}, L = {ε, a, aa, aaa, aaaa, aaaaa,...} Si L = {0, 1}, L = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...} Generalizando, si Σ es un alfabeto cualquiera, entonces Σ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ. Normalmente, se utiliza la notación L + como una abreviación de L L. Jorge Baier Aranda, PUC 32

33 Sufijos, Prefijos y Subpalabras Una palabra x es prefijo de una palabra w, si existe una palabra y tal que xy = w. Una palabra x es prefijo propio de una palabra w, si existe una palabra y, con y > 0 tal que xy = w. Una palabra x es sufijo de una palabra w, si existe una palabra y tal que yx = w. Una palabra x es sufijo propio de una palabra w, si existe una palabra y, con y > 0 tal que yx = w. Una palabra y es subpalabra de una palabra w, si existen palabras x y z tales que xyz = w. Jorge Baier Aranda, PUC 33

Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad

Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean

Más detalles

Inducción en definiciones y demostraciones AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES PRELIMINARES MATEMÁTICOS. Números naturales. Inducción matemática

Inducción en definiciones y demostraciones AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES PRELIMINARES MATEMÁTICOS. Números naturales. Inducción matemática Inducción en definiciones y demostraciones AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES PRELIMINARES MATEMÁTICOS Francisco Hernández Quiroz Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, UNAM E-mail: fhq@ciencias.unam.mx

Más detalles

Tema 2. Fundamentos de la Teoría de Lenguajes Formales

Tema 2. Fundamentos de la Teoría de Lenguajes Formales Departamento de Tecnologías de la Información Tema 2. Fundamentos de la Teoría de Lenguajes Formales Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Índice 2.1. Alfabeto 2.2. Palabra 2.3. Operaciones

Más detalles

Lenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos

Lenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos Lenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos Departamento de Informática e Ingeniería de Sistemas C.P.S. Universidad de Zaragoza Última revisión: Febrero. 2004 11/02/2004 1 Índice Alfabetos, palabras y

Más detalles

5 Autómatas de pila 5.1 Descripción informal. 5.2 Definiciones

5 Autómatas de pila 5.1 Descripción informal. 5.2 Definiciones 1 Curso Básico de Computación 5 Autómatas de pila 5.1 Descripción informal Un autómata de pila es esencialmente un autómata finito que controla una cinta de entrada provista de una cabeza de lectura y

Más detalles

Capítulo 6. Relaciones. Continuar

Capítulo 6. Relaciones. Continuar Capítulo 6. Relaciones Continuar Introducción Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en base de datos,

Más detalles

Recordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos.

Recordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos. Capítulo 1 Preliminares Vamos a ver en este primer capítulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre

Más detalles

Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.

Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto

Más detalles

1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS.

1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. UNIDAD 1.- CONCEPTOS REQUERIDOS CONJUNTOS. AXIOMAS DE PERTENENCIA, PARALELISMO, ORDEN Y PARTICIÓN. 1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. 1.1 Determinaciones de un conjunto. Un conjunto queda determinado

Más detalles

PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS

PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un

Más detalles

Semana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones

Semana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones Semana05[1/14] 28 de marzo de 2007 Introducción Semana05[2/14] Ya en los capítulos anteriores nos acercamos al concepto de relación. Relación Dados un par de conjuntos no vacíos A y B, llamaremos relación

Más detalles

Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica

Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 1: Fundamentos:

Más detalles

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también

Más detalles

1. Sucesiones y redes.

1. Sucesiones y redes. 1. Sucesiones y redes. PRACTICO 7. REDES. Se ha visto que el concepto de sucesión no permite caracterizar algunas nociones topológicas, salvo en espacios métricos. Esto empieza con algunas definiciones

Más detalles

En general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia que cumplen una determinada propiedad.

En general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia que cumplen una determinada propiedad. nidad 3: Conjuntos 3.1 Introducción Georg Cantor [1845-1918] formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas

Más detalles

Lenguajes Regulares. Antonio Falcó. - p. 1

Lenguajes Regulares. Antonio Falcó. - p. 1 Lenguajes Regulares Antonio Falcó - p. 1 Cadenas o palabras I Una cadena o palabra es una sucesión finita de símbolos. cadena {c, a, d, e, n}. 10001 {0, 1} El conjunto de símbolos que empleamos para construir

Más detalles

Lenguajes y Gramáticas

Lenguajes y Gramáticas Lenguajes y Gramáticas Teoría de Lenguajes Fernando Naranjo Introduccion Se desarrollan lenguajes de programación basados en el principio de gramática formal. Se crean maquinas cada vez mas sofisticadas

Más detalles

Semana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones

Semana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,

Más detalles

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:

Más detalles

Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos

Más detalles

Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión

Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Alberto Rodríguez Casal 25 de septiembre de 2015 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si A es cerrada

Más detalles

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia

Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 8 Relaciones de Equivalencia

Más detalles

Expresiones regulares, gramáticas regulares

Expresiones regulares, gramáticas regulares Expresiones regulares, gramáticas regulares Los LR en la jerarquía de Chomsky La clasificación de lenguajes en clases de lenguajes se debe a N. Chomsky, quien propuso una jerarquía de lenguajes, donde

Más detalles

John Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn

John Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn Georg Cantor Matemático Alemán creador de la teoría de conjuntos John Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn August De Morgan Matemático ingles creador de leyes que llevan

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2014 Universidad Nacional de Colombia

Más detalles

Matemáticas Discretas TC1003

Matemáticas Discretas TC1003 Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p.

Más detalles

Espacios topológicos. 3.1 Espacio topológico

Espacios topológicos. 3.1 Espacio topológico Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes

Más detalles

CAPÍTULO II TEORÍA DE CONJUNTOS

CAPÍTULO II TEORÍA DE CONJUNTOS TEORÍ DE ONJUNTOS 25 PÍTULO II TEORÍ DE ONJUNTOS 2.2 INTRODUIÓN Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas, si un elemento p pertenece a un conjunto escribiremos

Más detalles

Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación.

Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. NÚMEROS REALES Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. Un conjunto es una colección bien definida

Más detalles

Cardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.

Cardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable. Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de

Más detalles

Sumario: Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Capítulo 2: Lenguajes Formales. Capítulo 2: Lenguajes Formales

Sumario: Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Capítulo 2: Lenguajes Formales. Capítulo 2: Lenguajes Formales Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales Capítulo 2: Lenguajes Formales Holger Billhardt holger.billhardt@urjc.es Sumario: Capítulo 2: Lenguajes Formales 1. Concepto de Lenguaje Formal 2. Operaciones sobre

Más detalles

RELACIONES Y FUNCIONES. M.C. Mireya Tovar Vidal

RELACIONES Y FUNCIONES. M.C. Mireya Tovar Vidal RELACIONES Y FUNCIONES M.C. Mireya Tovar Vidal IDEA INTUITIVA DE RELACIÓN Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones

Más detalles

Pablo Cobreros Tema 6. El tamaño del infinito

Pablo Cobreros Tema 6. El tamaño del infinito Lógica II Pablo Cobreros pcobreros@unav.es Tema 6. El tamaño del infinito Introducción Introducción La noción de cardinal Afirmaciones acerca del tamaño La noción de cardinal El tamaño del infinito Introducción

Más detalles

Introducción a los códigos compresores

Introducción a los códigos compresores Introducción a los códigos compresores Parte I de la Lección 2, Compresores sin pérdidas, de CTI Ramiro Moreno Chiral Dpt. Matemàtica (UdL) Febrero de 2010 Ramiro Moreno (Matemàtica, UdL) Introducción

Más detalles

Autómatas de Pila y Lenguajes Incontextuales

Autómatas de Pila y Lenguajes Incontextuales Autómatas de Pila y Lenguajes Incontextuales Elvira Mayordomo Universidad de Zaragoza 5 de noviembre de 2012 Contenido de este tema 1. Introducción a los autómatas de pila 2. Definiciones 3. Equivalencia

Más detalles

Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales

Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales Alvaro E. Campos Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería Departamento de Ciencia de la Computación Marzo 1995 Contents 0 PROLOGO 5 0.1 Qué

Más detalles

Tema: Los Grafos y su importancia para la optimización de redes.

Tema: Los Grafos y su importancia para la optimización de redes. Tema: Los Grafos y su importancia para la optimización de redes. Qué son los Grafos? Un grafo es una dupla G= {X,U}, donde X es un conjunto finito y no vacio de elementos llamados vértices y U es el conjunto

Más detalles

CURSOS DE MATEMÁTICAS

CURSOS DE MATEMÁTICAS CURSOS DE MATEMÁTICAS Relaciones de equivalencia FERNANDO REVILLA http://www.fernandorevilla.es Jefe del Departamento de Matemáticas del IES Santa Teresa de Madrid y profesor de Métodos Matemáticos de

Más detalles

Grupos libres. Presentaciones.

Grupos libres. Presentaciones. S _ Tema 12.- Grupos libres. Presentaciones. 12.1 Grupos libres. En el grupo Z de los enteros vimos una propiedad (cf. ejemplos.5), que lo caracteriza como grupo libre. Lo enunciamos al modo de una Propiedad

Más detalles

Fundamentos de Ciencias de la Computación Trabajo Práctico N 2 Lenguajes Libres del Contexto y Sensibles al Contexto Segundo Cuatrimestre de 2002

Fundamentos de Ciencias de la Computación Trabajo Práctico N 2 Lenguajes Libres del Contexto y Sensibles al Contexto Segundo Cuatrimestre de 2002 Departamento de Cs. e Ingeniería de la Computación Universidad Nacional del Sur Ejercicios Fundamentos de Ciencias de la Computación Trabajo Práctico N 2 Lenguajes Libres del Contexto y Sensibles al Contexto

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º ESO SEMEJANZA Y TEOREMA DE THALES

MATEMÁTICAS 2º ESO SEMEJANZA Y TEOREMA DE THALES MATEMÁTICAS º ESO SEMEJANZA Y TEOREMA DE THALES S1 SEMEJANZA DE FIGURAS. RAZÓN DE SEMEJANZA O ESCALA. Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque quizá distinto tamaño. La razón de semejanza

Más detalles

SISTEMA DE NUMEROS REALES

SISTEMA DE NUMEROS REALES SISTEMA DE NUMEROS REALES 1.1 Conjuntos Es una agrupación de objetos distintos (pero con algunas características en común), los que reciben el nombre de elementos. Generalmente se nombra a un conjunto

Más detalles

Espacios conexos. Capítulo Conexidad

Espacios conexos. Capítulo Conexidad Capítulo 5 Espacios conexos 1. Conexidad En este capítulo exploraremos el concepto de conexidad en un espacio métrico, y estudiaremos algunas de sus aplicaciones. Definición 5.1. Decimos que el espacio

Más detalles

Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Probabilidad y Estadística Probabilidad Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización. Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad: Quizá llueva mañana

Más detalles

CAPÍTULO 2 NOCIONES BÁSICAS DE TEORÍA DE CONJUNTOS

CAPÍTULO 2 NOCIONES BÁSICAS DE TEORÍA DE CONJUNTOS CAPÍTULO 2 NOCIONES BÁSICAS DE TEORÍA DE CONJUNTOS 2.1. NOCIONES PRIMITIVAS Consideraremos tres nociones primitivas: Conjunto, Elemento y Pertenencia. Conjunto Podemos entender al conjunto como, colección,

Más detalles

GRAMATICAS LIBRES DEL CONTEXTO

GRAMATICAS LIBRES DEL CONTEXTO GRMTICS LIBRES DEL CONTEXTO Estas gramáticas, conocidas también como gramáticas de tipo 2 o gramáticas independientes del contexto, son las que generan los lenguajes libres o independientes del contexto.

Más detalles

Máquinas Secuenciales, Autómatas y Lenguajes. Tema 3.1: Autómatas Finitos Deterministas

Máquinas Secuenciales, Autómatas y Lenguajes. Tema 3.1: Autómatas Finitos Deterministas Tema 3.1: Autómatas Finitos Deterministas Luis Peña luis.pena@urjc.es http://www.ia.urjc.es/cms/es/docencia/ic-msal Sumario Tema 3.1: Autómatas Finitos Deterministas. 1. Concepto de AFD 2. Equivalencia

Más detalles

1 Números reales. Funciones y continuidad.

1 Números reales. Funciones y continuidad. 1 Números reales. Funciones y continuidad. En este tema nos centraremos en el estudio de la continuidad de funciones reales, es decir, funciones de variable real y valor real. Por ello es esencial en primer

Más detalles

Autómatas de Pila. Descripciones instantáneas o IDs. El Lenguaje de PDA. Equivalencia entre PDAs y CFGs INAOE (INAOE) 1 / 50

Autómatas de Pila. Descripciones instantáneas o IDs. El Lenguaje de PDA. Equivalencia entre PDAs y CFGs INAOE (INAOE) 1 / 50 INAOE (INAOE) 1 / 50 Contenido 1 2 3 4 (INAOE) 2 / 50 Pushdown Automata Las gramáticas libres de contexto tienen un tipo de autómata que las define llamado pushdown automata. Un pushdown automata (PDA)

Más detalles

Definición matemática de Relación y de Función

Definición matemática de Relación y de Función Fecha: 05/0 Versión: DOCENTE: ANTONIO ELI CASTILLA Definición matemática de Relación de Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto,

Más detalles

TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas

TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas Código: MAT-31114 AUTORES Ing. Daniel Zambrano Ing. Viviana Semprún UNIDADES DE LA ASIGNATURA» UNIDAD I. Relaciones» UNIDAD II. Estructuras Algebraicas» UNIDAD III.

Más detalles

Límite superior y límite inferior de una sucesión

Límite superior y límite inferior de una sucesión Límite superior y límite inferior de una sucesión Objetivos. Definir las nociones de los límites superior e inferior de una sucesión y estudiar sus propiedades básicas. Requisitos. Supremo e ínfimo de

Más detalles

Funciones integrables en R n

Funciones integrables en R n Capítulo 1 Funciones integrables en R n Sean un subconjunto acotado de R n, y f : R una función acotada. Sea R = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] un rectángulo que contenga a. Siempre puede suponerse que f está

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo

Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo Capítulo 2 Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo En el conjunto Z se ha visto cómo la relación ser congruente módulo m para un entero m > 1, es compatible con las operaciones suma y producto.

Más detalles

MATEMATICAS DISCRETAS

MATEMATICAS DISCRETAS MTEMTICS DISCRETS Propiedad reflexiva Sea R una relación binaria R en, ( ). Definición: Diremos que R es reflexiva si a, a R a Ejemplo: 1) En N la relación R definida por: x R y x divide a y es reflexiva

Más detalles

Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte

Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 2: Inducción y Recursión 1 / 20 Motivación

Más detalles

TEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS

TEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS TEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS Policarpo Abascal Fuentes TEMA II Teoría intuitiva de conjuntos p. 1/4 TEMA II 2. TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS 2.1 CONJUNTOS 2.1.1 Operaciones con conjuntos 2.2 RELACIONES

Más detalles

Conjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

Conjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO El estudio de los conjuntos infinitos se inicia con Las Paradojas del Infinito, la última obra del matemático checo Bernard Bolzano, publicada

Más detalles

Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades

Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades En álgebra es esencial manejar símbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Debido a que

Más detalles

Parte II CALCULO DIFERENCIAL.

Parte II CALCULO DIFERENCIAL. Parte II CALCULO DIFERENCIAL. 165 En esta parte veremos el Cálculo diferencial en forma precisa. 167 168 Capítulo 1 Axiomas Para los Números Reales. En este capítulo daremos las bases en las cuales se

Más detalles

Lenguajes (gramáticas y autómatas)

Lenguajes (gramáticas y autómatas) Lenguajes (gramáticas y autómatas) Elvira Mayordomo Universidad de Zaragoza 19 de septiembre de 2013 Elvira Mayordomo (Universidad de Zaragoza) Lenguajes (gramáticas y autómatas) 19 de septiembre de 2013

Más detalles

Expresiones Regulares y Derivadas Formales

Expresiones Regulares y Derivadas Formales y Derivadas Formales Las Derivadas Sucesivas. Universidad de Cantabria Esquema 1 2 3 Derivadas Sucesivas Recordemos que los lenguajes de los prefijos dan información sobre los lenguajes. Derivadas Sucesivas

Más detalles

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 1

Matemáticas I: Hoja 1 Matemáticas I: Hoja 1 1. Números complejos Hasta ahora, hemos visto que los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal y que podemos representar en una recta infinita. No obstante, para

Más detalles

Axiomas de separación

Axiomas de separación CAPíTULO 6 Axiomas de separación Tema 1. Axiomas de separación: conceptos básicos El objetivo de este capítulo es considerar ciertas propiedades topológicas que comparten algunos espacios topológicos y

Más detalles

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)

Más detalles

El Autómata con Pila: Transiciones

El Autómata con Pila: Transiciones El Autómata con Pila: Transiciones El Espacio de Configuraciones Universidad de Cantabria Esquema Introducción 1 Introducción 2 3 Transiciones Necesitamos ahora definir, paso por paso, como se comporta

Más detalles

Operaciones con conjuntos (ejercicios)

Operaciones con conjuntos (ejercicios) Operaciones con conjuntos (ejercicios) Ejemplo: Definición de la diferencia de conjuntos. Sean y conjuntos. Entonces \ := { x: x x / }. Esto significa que para todo x tenemos la siguiente equivalencia:

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto

Más detalles

Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones.

Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones. Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones. En este tema expondremos nociones y notaciones fundamentales que se emplearán cotidianamente en cualquier desarrollo matemático.

Más detalles

Conjuntos y relaciones

Conjuntos y relaciones Conjuntos y relaciones Introducción Propiedades de las relaciones Sobre un conjunto Reflexivas Simétricas y transitivas Cerradura Relaciones de equivalencia Órdenes parciales Diagramas de Hasse Introducción

Más detalles

Teoría de Conjuntos. Conjunto es: colección de cosas, o una colección determinada de objetos.

Teoría de Conjuntos. Conjunto es: colección de cosas, o una colección determinada de objetos. Teoría de Conjuntos Apuntes Fernando Toscano tomados por A.Diz-Lois La teoría de conjuntos es una herramienta formal semántica que trata de dotar de significado, o lo que es lo mismo dotar de interpretación.

Más detalles

NOCIÓN DE PUNTO, RECTA Y PLANO

NOCIÓN DE PUNTO, RECTA Y PLANO NOCIÓN DE PUNTO, RECT Y PLNO Si les das una imagen de una figura o un objeto, como un mapa con las ciudades y los caminos marcados en él, Cómo podrías explicar la imagen geométricamente? Después de completar

Más detalles

Introducción a Autómatas Finitos

Introducción a Autómatas Finitos Introducción a e. Universidad de Cantabria Esquema 1 Introducción 2 3 Grafo de λ Transiciones Eliminación de las λ-transiciones 4 El Problema Podemos interpretar un autómata como un evaluador de la función

Más detalles

Un autómata con pila no determinista (APND) es una septupla Q A B F en la que

Un autómata con pila no determinista (APND) es una septupla Q A B F en la que AUTÓMATAS CON PILA Un autómata con pila no determinista (APND) es una septupla Q A F en la que δ q 0 Q es un conjunto finito de estados A es un alfabeto de entrada es un alfabeto para la pila δ es la función

Más detalles

Clase 03: Alfabetos, símbolos y cadenas

Clase 03: Alfabetos, símbolos y cadenas Solicitado: Ejercicios 01: Cadenas M. en C. Edgardo Adrián Franco Martínez http://computacion.cs.cinvestav.mx/~efranco @efranco_escom edfranco@ipn.mx 1 Contenido Alfabetos, símbolos y cadenas Operaciones

Más detalles

Sucesiones Introducción

Sucesiones Introducción Temas Límites de sucesiones. convergentes. Sucesiones divergentes. Sucesiones Capacidades Conocer y manejar conceptos de sucesiones convergentes y divergentes. Conocer las principales propiedades de las

Más detalles

Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3

Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Objetivos. Definir el conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades de las operaciones aritméticas en

Más detalles

Caracterización de los números reales

Caracterización de los números reales Grado 11 Matematicas - Unidad 1 Operando en el conjunto de los números reales Tema Caracterización de los números reales Nombre: Curso: Breve historia de los reales A continuación se da una brevísima historia

Más detalles

Integrales múltiples

Integrales múltiples ntegrales múltiples Cálculo (2003) El objetivo de este capítulo es definir y aprender a calcular integrales de funciones reales de varias variables, que llamamos integrales múltiples. Las motivación más

Más detalles

Una cadena sobre Σ es cualquier secuencia de elementos de longitud finita sobre Σ.

Una cadena sobre Σ es cualquier secuencia de elementos de longitud finita sobre Σ. Alfabetos, Cadenas y Lenguajes Definición 1 Un Alfabeto es cualquier conjunto finito, no vacío. Ejemplo 1 Sea Σ = {0, 1, 2, 3,..., 9} donde 0 Σ Definición 2 Una cadena sobre Σ es cualquier secuencia de

Más detalles

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas

Más detalles

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por

Más detalles

COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE LA BUENA ESPERANZA

COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE LA BUENA ESPERANZA COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE L UEN ESPERNZ signatura: NÁLISIS MTEMÁTICO 11º Profesor: Lic. EDURDO DURTE SUESCÚN TLLER OPERCIONES CON CONJUNTOS OPERCIONES CON CONJUNTOS En aritmética se suma, resta y multiplica,

Más detalles

Tema 3: Conjuntos y Funciones

Tema 3: Conjuntos y Funciones Tema 3: Conjuntos y Funciones Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica y Computabilidad Curso 2008 09 LC, 2008 09 Conjuntos y Funciones 3.1 Conjuntos Escribimos

Más detalles

Límites Laterales. El límite por la derecha se denota. x 2 + x 2 = 1. x 2. x + x 2. x = x + x 2. El límite por la izquierda se denota

Límites Laterales. El límite por la derecha se denota. x 2 + x 2 = 1. x 2. x + x 2. x = x + x 2. El límite por la izquierda se denota Límites Laterales Denición. Si f : D R R y x 0 es un punto de D, decimos que l d es ite de f en x 0 por la derecha si ɛ > 0 δ ɛ > 0 f(x) l d < ɛ si 0 < x x 0 < δ ɛ ɛ > 0 δ ɛ > 0 f(x) l d < ɛ si x 0 < x

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales.

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3, 3 5, e,

Más detalles

Tema 2. Grupos. 3. El conjunto de matrices de orden 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma es un grupo conmutativo.

Tema 2. Grupos. 3. El conjunto de matrices de orden 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma es un grupo conmutativo. Tema 2. Grupos. 1 Grupos Definición 1 Un grupo es una estructura algebraica (G, ) tal que la operación binaria verifica: 1. * es asociativa 2. * tiene elemento neutro 3. todo elemento de G tiene simétrico.

Más detalles

Índice Proposiciones y Conectores Lógicos Tablas de Verdad Lógica de Predicados Inducción

Índice Proposiciones y Conectores Lógicos Tablas de Verdad Lógica de Predicados Inducción Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 5. Lógica y Formalismo Matemático Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Proposiciones y Conectores Lógicos 2 Tablas de Verdad

Más detalles

11. MOSAICOS. El ángulo interior de un polígono regular de n lados es

11. MOSAICOS. El ángulo interior de un polígono regular de n lados es 11. MOSAICOS Cuando una o varias piezas recubren un plano sin solaparse tenemos un recubrimiento o mosaico. Los mosaicos más sencillos son los que solo utilizan una pieza de una única forma y tamaño. Aun

Más detalles

En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen.

En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen. 1. Conjuntos numéricos Los conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como en Enseñanza Media, se van ampliando a medida que se necesita resolver ciertas problemáticas de la

Más detalles

Números naturales, principio de inducción

Números naturales, principio de inducción , principio de inducción. Conjuntos inductivos. Denotaremos por IN al conjunto de números naturales, IN {,,, 4, 5, 6,...}, cuyos elementos son suma de un número finito de unos. Recordemos que IN es cerrado

Más detalles

Capítulo 1 Lenguajes formales 6

Capítulo 1 Lenguajes formales 6 Capítulo 1 Lenguajes formales 6 1.8. Operaciones entre lenguajes Puesto que los lenguajes sobre Σ son subconjuntos de Σ, las operaciones usuales entre conjuntos son también operaciones válidas entre lenguajes.

Más detalles

Sucesiones, inducción y sumatorias

Sucesiones, inducción y sumatorias Capítulo 3 Sucesiones, inducción y sumatorias 3.. Sucesiones Definición Una sucesión es una función definida de N R que se acostumbra a denotar por a n en lugar de fn), costumbre que también adoptaremos

Más detalles

BLOQUE 1. LOS NÚMEROS

BLOQUE 1. LOS NÚMEROS BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números

Más detalles

Introducción. El uso de los símbolos en matemáticas.

Introducción. El uso de los símbolos en matemáticas. Introducción El uso de los símbolos en matemáticas. En el estudio de las matemáticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en particular, sus símbolos. Algunos símbolos, que reciben el nombre

Más detalles

Introducción a los números reales

Introducción a los números reales Grado en Matemáticas Curso 2010-2011 Índice Conjuntos numéricos 1 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas 2 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración 3 4 Objetivos Objetivos

Más detalles