Sentido de recorrido. q i

Transcripción

1 Sentido de recorrido σ Cinta Cabeza de lectura γ Pila i Unidad de control de estados Componentes básicos de un autómata con pila.

2 σ i 1 σ i j σ i j+1 σ i p Z (a) γ l 1 γ l 2 γ l σ i 1 σ i j σ i j+1 σ i p γ k 1 γ k m γ l 2 γ l σ i 1 σ i j σ i j+1 σ i p (b) (c) σ i 1 σ i j σ i j+1 σ i p σ i 1 σ i j σ i j+1 σ i p γ h 1 γ h t f (d) (e) Fases de un autómata con pila: (a) configuración inicial, (b) y (c) transición intermedia, (d) configuración final por estado final y (e) configuración final por pila vacía.

3 Existen dos criterios para definir el lenguaje reconocido por un autómata con pila: El lenguaje ue reconoce un autómata con pila P según el criterio de estado final se denota por F(P) y se define como: F(P) = {x x Σ (,x,z ) ( f,ǫ,α) f F} (1) El lenguaje ue reconoce un autómata con pila P según el criterio de la pila vacía se denota por V(P) y se define como: V(P) = {x x Σ (,x,z ) (,ǫ,ǫ)} (2)

4 Considérese el autómata con pila P = (Q,Σ,Γ,δ,,Z,F) donde: Q = {, 1, 2, 3 } F = { 3 } Σ = {a,b,c,$} Γ = {a,b,z } y la función de transición es (1) δ(,a,z ) = {( 1,aZ )} (2) δ(,b,z ) = {( 1,bZ )} (3) δ( 1,a,a) = {( 1,aa)} (4) δ( 1,a,b) = {( 1,ab)} (5) δ( 1,b,a) = {( 1,ba)} (6) δ( 1,b,b) = {( 1,bb)} (7) δ( 1,c,a) = {( 2,a)} (8) δ( 1,c,b) = {( 2,b)} (9) δ( 2,a,a) = {( 2,ǫ)} (1) δ( 2,b,b) = {( 2,ǫ)} (11) δ( 2,$,Z ) = {( 3,ǫ)} (a, Z, az ) 1 2 (b, Z, bz ) (c, a, a) (c, b, b) ($, Z, ε) 3 (a, a, aa) (a, b, ab) (b, a, ba) (b, b, bb) (a, a, ε) (b, b, ε) (,abcba$,z ) 1 ( 1,bcba$,aZ ) 5 ( 1,cba$,baZ ) 8 ( 2,ba$,baZ ) 1 ( 2,a$,aZ ) 9 ( 2,$,Z ) 11 ( 3,ǫ,ǫ) Como 3 F, la palabra abcba$ F(P).

5 Considérese un autómata con pila, ue reconoce según el criterio de la pila vacía, P = (Q,Σ,Γ,δ,,Z, ) cuya función de transición δ es: (1) δ(,,z ) = {(,Z )} (2) δ(,1,z ) = {( 1,1Z )} (3) δ(,,) = {(,),( 1,ǫ)} (4) δ(,,1) = {(,1)} (5) δ(,1,) = {(,1)} (6) δ(,1,1) = {(,11),( 1,ǫ)} (7) δ( 1,,) = {( 1,ǫ)} (8) δ( 1,1,1) = {( 1,ǫ)} (9) δ(,ǫ,z ) = {( 1,ǫ)} (1) δ( 1,ǫ,Z ) = {( 1,ǫ)} (,, ε ) (1, 1, ε ) ( ε, Z, ε) 1 (, Z, Z ) (1, Z, 1Z ) (,, ) (, 1, 1) (1,, 1) (1, 1, 11) (,, ε ) (1, 1, ε ) ( ε, Z, ε ) V(P) = {ww R w L((+1) )}. Este lenguaje se denomina palíndromo par. (,11,Z ) 1 (,11,Z ) (o 9 (,11,ǫ)) 5 (,1,1Z ) 6b ( 1,,Z ) (o 6a ( 1,,11Z )) 7 ( 1,ǫ,Z ) 1 ( 1,ǫ,ǫ)

6 Transformación de una autómata con pila ue utiliza el criterio del estado final en otro ue utiliza el criterio de la pila vacía. Dado P = (Q,Σ,Γ,δ,,Z,F) ue reconoce por el criterio del estado final, sepuedeconstruirunautómataconpilap euivalenteuereconoceporelcriterio de la pila vacía. Se define P = (Q,Σ,Γ,δ,,X, ) donde Q = Q {, v } (, v / Q) Γ = Γ {X } X / Γ es el nuevo estado inicial. X es el nuevo símbolo inicial de la pila. y δ se define como: 1. δ (,ǫ,x ) = {(,Z X )} 2. δ(,σ,γ) δ (,σ,γ) Q σ Σ {ǫ} γ Γ. 3. ( v,ǫ) δ( f,ǫ,γ) f F γ Γ = Γ {X }. 4. ( v,ǫ) δ( v,ǫ,γ) γ Γ = Γ {X }. (a) Autómata original ( ε, X, Z X ) (ε, γ, ε) 1 ( ε, Z, ε ) ( ε, X, ε ) (b) Autómata transformado (ε, γ, ε) 1 ( ε, Z, ε ) ( ε, X, ε) v (ε, γ, ε) 1 ( ε, Z, ε ) ( ε, X, ε)

7 Sea P el autómata con pila de la siguiente figura: (a, Z, az ) 1 2 (b, Z, bz ) (c, a, a) (c, b, b) ($, Z, ε) 3 (a, a, aa) (a, b, ab) (b, a, ba) (b, b, bb) (a, a, ε) (b, b, ε) Se define como P = (Q,Σ,Γ,δ,,X, ) donde Q = Q {, v} = {, v,, 1, 2, 3 } Σ = {a,b,c}, Γ = Γ {X } = {a,b,z,x } es el nuevo estado inicial. X es el nuevo símbolo inicial de la pila. y δ se define como: Transición inicial (1) δ (,ǫ,x ) = {(,Z X )} Transiciones del autómata con pila P: (2) δ (,a,z ) = {( 1,aZ )} (3) δ (,b,z ) = {( 1,bZ )} (4) δ ( 1,a,a) = {( 1,aa)} (5) δ ( 1,a,b) = {( 1,ab)} (6) δ ( 1,b,a) = {( 1,ba)} (7) δ ( 1,b,b) = {( 1,bb)} (8) δ ( 1,c,a) = {( 2,a)} (9) δ ( 1,c,b) = {( 2,b)} (1) δ ( 2,a,a) = {( 2,ǫ)} (11) δ ( 2,b,b) = {( 2,ǫ)} (12) δ ( 2,$,Z ) = {( 3,a)} Transiciones ue pasan al estado ue va a vaciar la pila de P : (13) δ ( 3,ǫ,a) = {( v,ǫ)} (14) δ ( 3,ǫ,b) = {( v,ǫ)} (15) δ ( 3,ǫ,Z ) = {( v,ǫ)} (16) δ ( 3,ǫ,X ) = {( v,ǫ)}

8 Transiciones del estado ue vacía la pila de P : (13) δ ( v,ǫ,a) = {( v,ǫ)} (14) δ ( v,ǫ,b) = {( v,ǫ)} (15) δ ( v,ǫ,z ) = {( v,ǫ)} (16) δ ( v,ǫ,x ) = {( v,ǫ)} ( ε, X, Z X ) (a, Z, az ) (c, a, a) (b, Z, bz ) 1 (c, b, b) 2 (a, a, aa) (a, b, ab) (b, a, ba) (b, b, bb) (a, a, ε) (b, b, ε) ($, Z, ε) 3 ( ε, a, ε ) ( ε, Z, ε) ( ε, b, ε ) ( ε, X, ε) v ( ε, a, ε ) ( ε, b, ε ) ( ε, Z, ε ) ( ε, X, ε ) El análisis de la cadena abcba$ utilizando el autómata P es: (,ǫabcba$,x ) 1 (,abcba$,z X ) 2 ( 1,bcba$,aZ X ) 6 ( 1,cba$,baZ X ) 9 ( 2,ba$,baZ X ) 11 ( 2,a$,aZ X ) 1 ( 2,$,Z X ) 12 ( 3,ǫ,X ) 16 ( v,ǫ,ǫ) Como la pila está vacía, la palabra abcba$ V(P ).

9 Transformación de una autómata con pila ue utiliza el criterio de la pila vacía en otro ue utiliza el criterio del estado final. Dado P = (Q,Σ,Γ,δ,,Z, ) ue reconoce por el criterio de la pila vacía, sepuedeconstruirunautómataconpilap euivalenteuereconoceporelcriterio del estado final. Se define P = (Q,Σ,Γ,δ,,X,F) donde Q = Q {, f} (, f / Q), Γ = Γ {X } X / Γ, es el nuevo estado inicial, X es el nuevo símbolo inicial de la pila, F = { f } y δ se define como: 1. δ (,ǫ,x ) = {(,Z X )} 2. δ (,σ,γ) = δ(,σ,γ) Q σ Σ {ǫ} γ Γ. 3. ( f,ǫ) δ (,ǫ,x ) Q. (a) Autómata original ( ε, X, Z X ) ( ε, X ε, ) ( ε, X ε, ) f ( ε, X ε, ) (b) Autómata transformado ( ε, X ε, )

10 Sea P el autómata con pila de la siguiente figura: (,, ε ) (1, 1, ε ) ( ε, Z, ε) 1 (, Z, Z ) (1, Z, 1Z ) (,, ) (, 1, 1) (1,, 1) (1, 1, 11) (,, ε ) (1, 1, ε ) ( ε, Z, ε ) Se define como P = (Q,Σ,Γ,δ,,X,F) donde Q = Q {, f} = {, f,, 1 }, Σ = {,1}, Γ = Γ {X } = {,1,Z,X }, es el nuevo estado inicial, X es el nuevo símbolo inicial de la pila, F = { f } es el conjunto de estado finales y δ se define como: Transición inicial (1) δ (,ǫ,x ) = {(,Z X )} Transiciones del autómata con pila P: (2) δ(,,z ) = {(,Z )} (3) δ(,1,z ) = {( 1,1Z )} (4) δ(,,) = {(,),( 1,ǫ)} (5) δ(,,1) = {(,1)} (6) δ(,1,) = {(,1)} (7) δ(,1,1) = {(,11),( 1,ǫ)} (8) δ( 1,,) = {( 1,ǫ)} (9) δ( 1,1,1) = {( 1,ǫ)} (1) δ(,ǫ,z ) = {( 1,ǫ)} (11) δ( 1,ǫ,Z ) = {( 1,ǫ)}

11 Transiciones ue pasan al estado final de P : (12) δ (,ǫ,x ) = {( f,ǫ)} (13) δ ( 1,ǫ,X ) = {( f,ǫ)} ( ε, X, ε ) (,, ε) ( ε, X, Z X ) (1, 1, ε ) ( ε, X, ε ) ( ε, Z, ε) 1 f (, Z, Z ) (1, Z, 1Z ) (,, ) (, 1, 1) (1,, 1) (1, 1, 11) (,, ε ) (1, 1, ε ) ( ε, Z, ε ) El análisis de la cadena 11$ utilizando el autómata P es: (,11,Z ) 1 (,11,Z X ) 2 (,11,Z X ) (o 1 (,11,X )) 6 (,1,1Z X ) 7b ( 1,,Z X ) (o 7a ( 1,,11Z X )) 8 ( 1,ǫ,Z X ) 11 ( 1,ǫ,X ) 13 ( 3,ǫ,ǫ) Como f F, la palabra 11$ F(P ).

12 Dado un autómata a pila P ue utilice el criterio de la pila vacía, se puede construir una gramática de contexto libre G euivalente, es decir, ue verifiue: V(P) = L(G) Si P = (Q,Σ,Γ,δ,,Z, ) entonces se define la gramática de contexto libre G = (V N,V T,P,S) donde: V N = {[,γ, ], Q,γ Γ} {S}, donde S / Γ, V T = Σ, y el conjunto de reglas de producción se define mediante la aplicación de las siguientes transformaciones: 1. Reglas de producción iniciales: Q (S [,Z,] P) (3) 2. Reglas de producción obtenidas a partir de transiciones ue desapilan el símbolo situado en la cima de la pila:, Q σ Σ {ǫ} γ Γ Si (,ǫ) δ(,σ,γ) entonces [,γ, ] σ P (4) 3. Reglas de producción obtenidas a partir de transiciones ue insertan símbolos en la pila:,, i1, i2,, ik Q σ Σ {ǫ} γ,γ j1,γ j2,,γ jk Γ Si (,γ j1 γ j2 γ jk ) δ(,σ,γ) entonces [,γ, ik ] σ[,γ j1, i1 ][ i1,γ j2, i2 ][ ik 1,γ jk, ik ] P (5) Se ha de tener en cuenta ue se generará una regla de producción diferente para cada la elección de los estados i1, i2,, ik. Dicha elección puede considerar ue todos los estados son iguales, diferentes o cualuier otra combinación posible.

13 Sea el autómata con pila P = (Q,Σ,Γ,δ,,Z, ) donde Σ = {,1,$}, Γ = {Z,} y la función de transición es: (1) δ(,,z ) = {( 1,Z )} Empezar (2) δ( 1,,) = {( 1,)} Apilar (3) δ( 1,1,) = {( 2,ǫ)} Cambiar (4) δ( 2,1,) = {( 2,ǫ)} Desapilar (5) δ( 2,$,Z ) = {( 2,ǫ)} Terminar (, Z, Z ) (1,, ε) 1 2,, ) (1,, ε) ($, Z, ε) Este autómata reconoce el lenguaje V(P) = { n 1 n $ n 1}. Por ejemplo, el análisis de la cadena 11$ es el siguiente: (,11$,Z ) 1 ( 1,11$,Z ) 2 ( 1,11$,Z ) 3 ( 2,1$,Z ) 4 ( 2,$,Z ) 5 ( 2,ǫ,ǫ) La gramática de contexto libre euivalente a P es G = (V N,V T,P,S) donde V N = { [,Z, ],[,Z, 1 ],[,Z, 2 ] [,, ],[,, 1 ],[,, 2 ] [ 1,Z, ],[ 1,Z, 1 ],[ 1,Z, 2 ] [ 1,, ],[ 1,, 1 ],[ 1,, 2 ] [ 2,Z, ],[ 2,Z, 1 ],[ 2,Z, 2 ] [ 2,, ],[ 2,, 1 ],[ 2,, 2 ] }

14 V T = Σ = {,1,$} y el conjunto de reglas de producción es: Reglas iniciales S [,Z, ] S [,Z, 1 ] S [,Z, 2 ] Reglas obtenidas a partir de transiciones ue desapilan un símbolo Regla generada por la transición número 3: [ 1,, 2 ] 1 Regla generada por la transición número 4: [ 2,, 2 ] 1 Regla generada por la transición número 5: [ 2,Z, 2 ] $ Reglas obtenidas a partir de transiciones ue apilan símbolos Reglas generadas por la transición número 1: [,Z, ] [ 1,, ][,Z, ] [,Z, ] [ 1,, 1 ][ 1,Z, ] [,Z, ] [ 1,, 2 ][ 2,Z, ] [,Z, 1 ] [ 1,, ][,Z, 1 ] [,Z, 1 ] [ 1,, 1 ][ 1,Z, 1 ] [,Z, 1 ] [ 1,, 2 ][ 2,Z, 1 ] [,Z, 2 ] [ 1,, ][,Z, 2 ] [,Z, 2 ] [ 1,, 1 ][ 1,Z, 2 ] [,Z, 2 ] [ 1,, 2 ][ 2,Z, 2 ] Reglas generadas por la transición número 2: [,Z, ] [ 1,, ][,, ] [,Z, ] [ 1,, 1 ][ 1,, ] [,Z, ] [ 1,, 2 ][ 2,, ] [,Z, 1 ] [ 1,, ][,, 1 ] [,Z, 1 ] [ 1,, 1 ][ 1,, 1 ] [,Z, 1 ] [ 1,, 2 ][ 2,, 1 ] [,Z, 2 ] [ 1,, ][,, 2 ] [,Z, 2 ] [ 1,, 1 ][ 1,, 2 ] [,Z, 2 ] [ 1,, 2 ][ 2,, 2 ]