No todos los LRs finitos se representan mejor con ERs. Observe el siguiente ejemplo:

Transcripción

1 1 Clase 3 SSL EXPRESIONES REGULARES Para REPRESENTAR a los Lenguajes Regulares. Se construyen utilizando los caracteres del alfabeto sobre el cual se define el lenguaje, el símbolo y operadores especiales. Concatenación (), que ordena la ubicación de ciertos caracteres, unión (+), que representa una elección entre caracteres o grupos de caracteres y Clausura * La Expresión Regular a representa al Lenguaje Regular que contiene solamente la palabra a, es decir: L = {a}. La Expresión Regular representa al Lenguaje Regular que solo contiene la palabra vacía: L = {}. La Expresión Regular ab representa el LR de una sola palabra, L = {ab}. La ER a+ba, describe la posibilidad de elegir entre dos palabras: la palabra a o la palabra ba. L= {a, ba}. La operación de unión es conmutativa. Por consiguiente, las ERs a+ba y ba+a representan el mismo LR. La ER ab +, representa L = {, ab}. La factorización La ER abb+aab tiene el prefijo a y el sufijo b se puede factorizar a izquierda y a derecha, obteniendo, así, la ER a(b+a)b. La ER abbaac+abac+abacccac. se puede factorizar y reescribir ab(ba++accc)ac. Dos Expresiones Regulares son EQUIVALENTES si representan el mismo Lenguaje Regular. Las ERs a+b y b+a son equivalentes porque ambas representan al LR {a, b}. Las ERs a(a+b) y (a+b)a no son equivalentes. EL OPERADOR POTENCIA La ER +(a+b) 3 representa al LR: La palabra vacía y todas las palabras de tres caracteres sobre el alfabeto {a, b}. El lenguaje Todas las palabras de longitud 27 sobre el alfabeto {a, b} y que comienzan con 25 aes se puede representar fácilmente mediante la siguiente ER: a 25 (a+b) 2. No todos los LRs finitos se representan mejor con ERs. Observe el siguiente ejemplo: Sea el lenguaje L = {a n / 1 n 1000}. Este es un LR finito y, por lo tanto, puede ser representado por una ER. Dado que el lenguaje L tiene 1000 palabras, la ER que lo representa deberá tener 1000 términos, es decir: a + aa + aaa a a 1000 EXPRESIONES REGULARES PARA LENGUAJES REGULARES INFINITOS El operador estrella de Kleene o clausura de Kleene genera la palabra vacía y todas las palabras que se forman con la repetición, de su operando, un número de veces a elección. La ER a*, que corresponde a la expresión infinita + a + aa + aaa + aaaa +... L = {a n / n 0}, La ER aa* corresponde a la expresión infinita a + aa + aaa + aaaa +..., L = {a n / n 1}, que podemos describir mediante la frase: Todas las palabras formadas solo por aes.

2 2 Clase 3 SSL Los operadores estrella de Kleene, concatenación y unión son los tres operadores ORIGINALES e indispensables para construir cualquier ER. Un nuevo operador no básico, es clausura positiva, se representa mediante un símbolo + así: a +. Se utiliza para simplificar la escritura de ERs como la del Ejemplo aa* o a*a. Las siguientes ERs son equivalentes: = * = +. a*a* = a*; a + = aa* = a*a = aa*a* = a + a* = a*a + = a*a*aa*, entre otras. (+a)* = (+a) + = a* LA EXPRESIÓN REGULAR UNIVERSAL Y SU APLICACIÓN Representa al Lenguaje Universal sobre un alfabeto dado. Ejemplo Si el alfabeto es {a,b}, la ERU es (a+b)*. Si el alfabeto es {0,1}, la ERU es (0+1)*. Si el alfabeto es {a,b,c}, la ERU es (a+b+c)*. Ejemplo Todas las palabras sobre el alfabeto {a,b} que comienzan con a, ER: a(a+b)*. Todas las palabras que comienzan con a, sobre el alfabeto {a,b,c}, a(a+b+c)*. Sea = {a,b} y sea el LR: Todas las palabras que comienzan con una a y terminan con otra a. ER a(a+b)*a. Todas las palabras que terminan con aa o con bb se representa mediante la ER (a+b)*(aa+bb). = {a, b}, el LR Todas las palabras que contienen como mínimo dos aes la ER (a+b)*a(a+b)*a(a+b)*. DEFINICIÓN: un Lenguaje Formal es un LR si existe una ER que lo represente. A cada ER le corresponde un único LR. Sin embargo, un LR puede ser representado por varias ERs. Afirmamos entonces: dos ERs son equivalentes si representan el mismo LR. El LR: Todas las palabras sobre el alfabeto {a,b} que tienen por lo menos una a y por lo menos una b puede ser representado por la siguiente ER: (a+b)*a(a+b)*b(a+b)* + (a+b)*b(a+b)*a(a+b)*. O bien por esta otra ER: (a+b)*(a(a+b)*b+b(a+b)*a)(a+b)*. OPERACIONES SOBRE LENGUAJES REGULARES LA UNIÓN DE LENGUAJES REGULARES Sean L1 y L2 dos LRs. Entonces L1 L2, es un LR Si L1 es representado por una ER R1 y L2 es representado por cierta expresión R2, la unión L1 L2 es representada por la ER R1+R2. Si L1 es representado por a*b y L2 es representado por la a+b*, L1 L2 es representado por a*b + a+b*. LA CONCATENACIÓN DE LENGUAJES REGULARES La concatenación de dos LRs, L1L2 es un LR en el que cada palabra está formada por la concatenación de una palabra de L1 con una palabra de L2. Por ende, la cardinalidad del LR concatenación es el producto de las cardinalidades de los LRs de partida.

3 3 Clase 3 SSL Sea L1 = {ab, cd} y sea L2 = {aa, acc, ad}. Entonces: L1L2 = {abaa, abacc, abad, cdaa, cdacc, cdad} y su cardinalidad es 6. Si L1 es representado por una ER R1 y L2 es representado por R2, entonces la concatenación L1L2 es representada por la ER R1R2. Si L1 es representado por a*b y L2 por a+b*, L1L2 es representada por la ER a*b(a+b*). LA CLAUSURA DE KLEENE DE UN LENGUAJE REGULAR Si L es un LR, su clausura de Kleene, L*, es un LR infinito, en general formado por: la palabra vacía, las palabras de L y todas aquellas palabras que se obtienen concatenando palabras de L, un número arbitrario de veces. Salvo una excepción, esta se produce si el LR está formado solo por la palabra vacía. Sea L = {ab, ba}. Entonces, L* = {ε, ab, ba, abab, abba, baba, ababab, ababba, abbaba, bababa, }. Si L es representado por la ER R, L* es representado por R*. Si L es representado por a*b, L* es representado por (a*b)*. LA CLAUSURA POSITIVA DE UN LENGUAJE REGULAR Si L es un LR, su clausura positiva, L +, es un LR formado por las palabras de L y todas aquellas palabras que se obtienen concatenando palabras de L, un número arbitrario de veces. Si L es representado por R, L + es representado por R +. Si L es representado por a*b, L + es representado por (a*b) +. La clausura positiva de un LR contiene a la palabra vacía solo si ésta pertenece al lenguaje original. EL COMPLEMENTO DE UN LENGUAJE REGULAR El complemento de un LR con respecto al Lenguaje Universal, L c, es un LR que está formado por todas aquellas palabras que no pertenecen al lenguaje original. Si L es representado por la ER (a+b) +, L c solo contiene a la palabra vacía. Si L es a(a+b)* entonces L c es b(a+b)* +. No existen operadores oficiales para describir el complemento de una ER LA INTERSECCIÓN DE DOS LENGUAJES REGULARES La intersección de dos LRs es un LR constituido por todas aquellas palabras que pertenecen a los dos lenguajes dados. Sea el alfabeto {a,b}. Si L1 es a(a+b)* [todas las palabras que comienzan con a] y L2 es (a+b)*b [todas las palabras que terminan con b], entonces L1 L2 es a(a+b)*b [todas las palabras que comienzan con a y terminan con b]. No existen operadores para describir la intersección de dos ERs. EXPRESIONES REGULARES Y LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN IDENTIFICADOR puede representarse mediante la ER L(L+D)*. CONSTANTE REAL ER D +.D*. Sea un LP que solo tiene tres PALABRAS RESERVADAS: if, else y while. ER if+else+while. DEFINICIÓN FORMAL DE LAS EXPRESIONES REGULARES operadores básicos unión (+), concatenación () y clausura de Kleene (*), y se definen formalmente de la siguiente manera recursiva: ø es una ER que representa al LR vacío (sin palabras). es una ER que representa al LR que solo contiene la palabra vacía: {}. Todo símbolo x de un alfabeto corresponde a una ER x que representa a un LR que solo tiene una palabra con ese símbolo x.

4 4 Clase 3 SSL Una cadena s es una ER s que representa a un LR que solo contiene la palabra s.. Si R1 y R2 son ERs, entonces R1 + R2 es ER Si R1 y R2 son ERs, entonces R1 R2 es ER Si R1 es una ER, entonces R1* es una ER. Si R1 es una ER, entonces (R1) es una ER.. Si R1 es una ER, entonces R1 + es una ER. Si R1 es una ER, entonces R1 n (con n 0 y entero) es una ER. Con respecto a la precedencia de los operadores, ya se ha informado que: 1. Los operadores clausura de Kleene, clausura positiva y potencia tienen prioridad máxima; 2. El operador concatenación tiene prioridad media; y 3. El operador unión tiene prioridad mínima. EXPRESIONES REGULARES EXTENDIDAS Metacaracteres Explicación y Ejemplo. (punto) Se corresponde con cualquier carácter, excepto el fin de línea (\n). Ejemplo: a.a es cualquier cadena de tres caracteres en la que el primer y el tercer caracteres son a (barra Operador unión de ERs. Ejemplo: ab b representa la ER ab+b vertical) [ ] (corchetes) Clase de caracteres. Ejemplo: [abx] representa la ER a+b+x [] Clase de caracteres en un intervalo. Ejemplo 1: [ad] representa la ER a+b+c+d. Ejemplo 2: [0-9 a-z] representa a cualquier dígito decimal o cualquier letra minúscula (del alfabeto inglés) { } (llaves) Operador potencia, repetición determinada del patrón que lo precede como operando. Ejemplo 1: a{3} representa la ER aaa. Ejemplo 2: (ab){4} = abababab {,} Operador potencia extendido a un intervalo. Ejemplo: a{1,3} representa la ER a+aa+aaa? Cero o una ocurrencia de la ER que lo precede. Ejemplo: a? representa la ER a+ Operador clausura de Kleene, cero o más ocurrencias de la ER que lo precede. Ejemplo: a representa la ER a* + Operador clausura positiva, una o más ocurrencias de la ER que lo precede. Ejemplo: a+ representa la ER a + ( ) Agrupa una ER. Ejemplo: ((ab)? b)+ representa la ER (ab++b) + A esta tabla le agregaremos la utilización del carácter \ (barra invertida) para representar caracteres no imprimibles. [0-9]\.[0-9]+ \+ \)?[0-9]+

5 5 Clase 3 SSL Analizando la Tabla de Operadores de arriba, se verifica algo muy importante: algunos los operadores actúan sobre caracteres, como [ ], mientras que otros operan sobre ERs, como el operador +. Ejercicios Escriba una ER que represente al LR Todas las palabras que comienzan con una a, seguida de dos o tres bes. Escriba una ER que represente al LR Todas las palabras de longitud 5 que comienzan con una a y terminan con una b. Escriba una ER que represente al LR La palabra vacía y todas las palabras de longitud 5 que comienzan con aa o con bb, y que terminan con aa o con bb. Compruebe que las ERs 1(0+1)(0+1)1 y son equivalentes. Describa, mediante una frase, al LR del ejercicio anterior. Escriba, por enumeración, el LR +(a+b) 3. Sea la ER Obtenga una ER más compacta, que sea equivalente a esta expresión. Ayuda: utilice las factorizaciones que crea conveniente. Sea la ER abbaacc+abac+abbacccacc. Reescriba esta ER, factorizándola con el prefijo y el sufijo comunes de mayor longitud. Escriba la ER de el lenguaje Todas las palabras con dos caracteres sobre el alfabeto {a, b} Determine si las ERs aa+ab+ba+bb = a(a+b)+b(a+b) = (a+b)(a+b). Son equivalentes Determine si las siguientes ERs son equivalentes: aa+ab+ba, a(a+b)+ba y ab+ba+aa. Escriba una ER que represente al LR: Todas las palabras de longitud 27 sobre el alfabeto {a, b}. Escriba una ER que represente al LR: Todas las palabras de longitud 25 que comienzan con una a y terminan con una b. Escriba una ER que represente al LR: La palabra vacía y todas las palabras de longitud 5 que comienzan con aa o con bb, y que terminan con aa o con bb. Compruebe que las ERs 1(0+1)(0+1)1 y son equivalentes. Escriba, por extensión, el LR +(a+b) 3. Sea la ER a + ba +. Describa por comprensión el LR representado. La ER (ab)* parece equivalente a la ER a*b*, pero no lo es, Justifique Sea el LR representado por la (ab)*. Escriba las cuatro palabras de menor longitud. Sea el LR representado por la ER a* + b 3. Escriba las 5 palabras de menor longitud. La ER b*ab*ab* representa al lenguaje Todas las palabras sobre el alfabeto {a, b} con exactamente dos aes?. Justifique. Dada la ER (b*ab*ab*)*, escriba las 5 palabras de menor longitud. Dada la ER (1+0)1* escriba por comprensión el lenguaje que representa. Construya la ER que representa al LR: Todas las palabras que comienzan con una secuencia de dos o más 1s seguida de un 0 o que comienzan con una secuencia de dos o más 0s seguida de un 1. Sea = {a,b,c}, Todas las palabras de longitud mayor o igual que 6, que terminan con aa o con bb. Escriba una ER que lo represente. Sea el LR: Todas las palabras sobre el alfabeto {a,b} que comienzan con a y tienen longitud mayor o igual que 2. Escriba una ER que lo represente. Sean los LRs representados por las ERs a*b y (a+b)*. Escriba la ER que representa a la concatenación de estos dos LRs y las 5 palabras de menor longitud. Sea L es representado por la ER ab +. Escriba las 5 palabras de menor longitud de L*. Sea el LR representado por la ER a(a+b)*. Escriba las 5 palabras de menor longitud de su lenguaje complemento.

6 6 Clase 3 SSL Sea el alfabeto {a,b}. Sea L1 representado por la ER aa(a+b)*b y sea L2 representado por la ER (a+b)*ab. Escriba la ER que representa la lenguaje L1 L2. Escriba una ER que represente el LR de los números enteros en base 10, con y sin signo. Escriba una ER que represente al LR de las constantes reales que pueden ser de dos tipos: a) una secuencia de dígitos no obligatoria, seguida de un punto, seguido de una secuencia de dígitos obligatoria; o b) un solo dígito, seguido de un punto, seguido de dos dígitos. Describa, mediante una frase, el lenguaje representado por la ER ab 10 (a + b) 6. Explique por qué las ERs (ab)* y (ab) + no son equivalentes. Describa, mediante una frase, el LR representado por la ER a + b + y escriba sus tres palabras de menor longitud. Escriba una ER que represente a Todas las palabras sobre el alfabeto {0,1} que tienen exactamente tres 0s. Escriba una ER que represente al lenguaje Todos los números binarios que comienzan con una cantidad impar de 1s o que solo tienen 0s. Escriba una ER que represente al lenguaje Todas las palabras sobre el alfabeto {a, b, c} que comienzan con aa y terminan con cc, o que comienzan con un número impar de bes, o que solo tienen ces. Escriba una Definición Regular que represente al lenguaje Todas las palabras sobre {a, b} que terminan con abb, o que comienzan con ba y terminan con bba.