Ciencias de la Computación I

Transcripción

1 Ciencias de la Computación I Propiedades de Clausura de los Lenguajes Regulares y Lenguajes Libres del Contexto Propiedades de Clausura de Lenguajes Regulares Los lenguajes regulares (LR son cerrados bajo las siguientes operaciones: Unión Intersección Complemento Clausura Reversa Concatenación Cualquiera de estas operaciones aplicadas sobre lenguajes regulares da como resultado otro lenguaje regular. 1

2 Unión de Lenguajes Regulares (usando Expresiones Regulares (ER es LR existe una ER r 1 tal que L 1 = L(r 1 es LR existe una ER r 2 tal que L 2 = L(r 2 r 1 + r 2 es ER que describe el lenguaje regular L(r 1 L(r 2 Como L(r 1 = L 1 y L(r 2 = L 2 entonces L(r 1 L(r 2 = L 1 Por lo tanto, L 1 Unión de Lenguajes Regulares (usando Gramáticas Regulares (GR es LR existe una GR G 1 tal que L 1 es LR existe una GR G 2 = (N 2, T 2, P 2 tal que L 2 = L(G 2 y G 2 es posible definir una gramática G =(N, T, P, S tal que L(G L(G 2 = L 1 La gramática G se define como sigue G N 2 T 2, P, S N 1 N 2 P = P 1 P 2 reemplazando S 1 en P 1 y S 2 en P 2 por S Como las reglas de P son las reglas de P 1 y P 2, G es una GR y entonces L(G L(G 2 = L 1 2

3 Unión de Lenguajes Regulares (usando Autómatas Finitos (AF es LR existe un AFD M 1 = <E 1, A 1, δ 1, e 01, F 1 tal que L 1 = L(M 1 es LR existe un AFD M 2 = <E 2, A 2, δ 2, e 02, F 2 tal que L 2 = L(M 2 A partir de M 1 y M 2 es posible definir un AF M = <E, A, δ, e 0, F> tal que L(M = L(M 1 L(M 2 = L 1 M = <E, A, δ, e 0, F> se define de la siguiente manera: E = E 1 E 2 {e 0 } siendo E 1 E 2 A = A 1 A 2 Unión de Lenguajes Regulares F = F 1 F 2 e 0 es el nuevo estado inicial e 0 E 1 y e 0 E 2 δ: E x A E se define como: δ, a = δ 1, a si e k E 1 δ 2, a si e k E 2 para todo e k E 1 E 2 y para todo a A 1 A 2 Además se define δ(e 0, ε = e 01 y δ(e 0, ε = e 02 El autómata M es AFND-ε. Aplicando los algoritmos estudiados se puede obtener un AFD equivalente que acepta el mismo lenguaje que M. Como L(M = L(M 1 L(M 2 = L 1 L 1 3

4 Complemento de un Lenguaje Regular Dado L lenguaje regular, L Como L es LR existe un AFD M = <E, A, δ, e 0, F> tal que L = L(M A partir de M, se puede construir un nuevo autómata M tal que L(M = L M se define como M = <E { e }, A, δ, e 0, (E F { e }>, donde δ se define como - si e k E y δ, a está definida δ, a = δ, a para todo e k E y para todo a A - si e k E y δ, a no está definida δ, a = e para todo e k E y para todo a A - si e k = e δ(e, a = e para todo a A Como L(M = L L Intersección de Lenguajes Regulares es LR existe un AFD M 1 = <E 1, A 1, δ 1, e 01, F 1 tal que L 1 = L(M 1 es LR existe un AFD M 2 = <E 2, A 2, δ 2, e 02, F 2 tal que L 2 = L(M 2 A partir de M 1 y M 2 es posible definir un AFD M = <E, A, δ, e 0, F> tal que L(M = L(M 1 L(M 2 = L 1 M = <E, A, δ, e 0, F> se define de la siguiente manera: E = E 1 x E 2 E 1 E 2 A = A 1 A 2 4

5 Intersección de Lenguajes Regulares F = F 1 x F 2 Estado inicial : [e 01, e 02 ] δ: E x A E se define como: δ([e j, e k ], a = [e j, e k ] sí y sólo sí δ 1 (e j, a = e j δ 2, a = e k Es decir, δ([e j, e k ], a = [δ 1 (e j, a, δ 2, a] para todo e j, e j E 1 e k, e k E 2 y para todo a A Como L(M = L(M 1 L(M 2 = L 1 L 1 Reversa de un Lenguaje Regular Dado L lenguaje regular, L R Como L es LR existe una GR lineal a derecha G = (N, T, P, S tal que L = L(G A partir de G es posible definir una gramática G R =(N, T, P R, S tal que L(G R = L R donde P R = P con cada regla de producción de P de la forma A ab reemplazada por A Ba para A, B N y a T Como L(G R = L R L R 5

6 Propiedades de Clausura de Lenguajes Libres del Contexto Los lenguajes libres del contexto (LLC son cerrados bajo las siguientes operaciones: Unión Clausura Reversa Concatenación Los lenguajes libres del contexto (LLC no son cerrados bajo las siguientes operaciones: Intersección Complemento Unión de Lenguajes Libres del Contexto LLC, L 1 es un lenguaje libre del contexto. es LLC existe una GLC G 1 tal que L 1 es LLC existe una GLC G 2 = (N 2, T 2, P 2 tal que L 2 = L(G 2 y G 2 es posible definir una gramática libre del contexto G =(N, T, P, S tal que L(G L(G 2 = L 1 La gramática G se define como sigue G N 2 {S 1 } T 2, P, S N 1 N 2 P = P 1 P 2 { S S 1, S S 2 } {S 1 ε ε} y además Si en P 1 está la regla S 1 ε, ó en P 2 S 2 εse agrega a P S ε Como las reglas de P respetan el formato de las GLC, G es una GLC y entonces L(G L(G 2 = L 1 es un lenguaje libre del contexto 6

7 Concatenación de Lenguajes Libres del Contexto LLC, L 1. L 2 es un lenguaje libre del contexto. es LLC existe una GLC G 1 tal que L 1 es LLC existe una GLC G 2 = (N 2, T 2, P 2 tal que L 2 = L(G 2 y G 2 es posible definir una gramática libre del contexto G =(N, T, P, S tal que L(G. L(G 2 = L 1. L 2 La gramática G se define como sigue G N 2 {S 1 } T 2, P, S N 1 N 2 P = (P 1 P 2 { S S 1 S 2 } {S 1 ε ε} y además Si en P 1 está la regla S 1 ε, se agrega a P la regla S S 2 Si en P 2 está la regla S 2 ε, se agrega a P la regla S S 1 Si en P 1 está la regla S 1 ε, y en P 2 S 2 εse agrega a P S ε Como las reglas de P respetan el formato de las GLC, G es una GLC y entonces L(G. L(G 2 = L 1. L 2 es un lenguaje libre del contexto Clausura de un Lenguaje Libre del Contexto Dado L 1 LLC, L * 1 es un lenguaje libre del contexto. es LLC existe una GLC G 1 tal que L 1 es posible definir una gramática libre del contexto G =(N, T, P, S tal que L(G = L * (G 1 La gramática G se define como sigue G = (N, T, P, S N = N 1 {S 1, A} T = T 1 P = P 1 { S ε, S A, A S 1 A, A S 1 } {S 1 ε} Como las reglas de P respetan el formato de las GLC, G es una GLC y entonces L(G = L * (G 1 es un lenguaje libre del contexto 7