TEORÍA DE AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES Grado en Ingeniería Informática Online, Curso Universidad Rey Juan Carlos

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1 TEORÍA DE AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES Grado en Ingeniería Informática Online, Curso Universidad Rey Juan Carlos GUÍA PARA LA REALIZACIÓN DE LA HOJA DE PROBLEMAS No 3 (Tema 3: Expresiones Regulares) EJERCICIOS y 2 Se trata en ambos casos de describir mediante expresiones regulares lenguajes dados en notación conjuntista. Estos ejercicios no tienen una solución única, puesto que pueden obtenerse como resultado expresiones regulares distintas entre sí pero equivalentes. En los apuntes del tema se han resuelto ejercicios similares. A continuación se discuten algunos de los ejercicios de esta hoja más interesantes: Ejercicio (c). El conjunto dado está formado por todas las palabras w {0,} tales que n 0 (w) MOD 2 0, es decir, que contienen un número impar de ceros, o, lo que es lo mismo, verifican n 0 (w) MOD 2 =. Estas palabras pueden verse como la concatenación de una palabra que contiene exactamente un cero ( 0 ), seguida de cero o más palabras conteniendo exactamente dos ceros ( 0 0 ): si no se pone ninguna de estas últimas se obtiene una palabra final con cero; si se pone una, se obtiene una palabra con 3 ceros; si se ponen dos, la palabra final tendrá 5 ceros, etc. En definitiva, una solución al problema puede ser la siguiente expresión regular: 0 ( 0 0 ) Ejercicio (e). Una opción para resolver este ejercicio es dividir el conjunto dado en la unión de cuatro conjuntos (uno para cada posible valor de m, m 0...3), encontrar una ER para cada uno de estos lenguajes y finalmente componer todas las ERs anteriores mediante el operador +. Ejercicio (h). La condición n a (w) MOD 5 0 es equivalente a n a (w) MOD 5 = i para algún i {,2,3,4}, por lo que se tiene la siguiente igualdad: L = 4 i={w {a,b} n a (w) MOD 5 = i}. Por ello, una posibilidad es encontrar ERs para cada uno de los cuatro lenguajes anteriores y posteriormente unirlas mediante +. Estos lenguajes son similares al discutido en el ejercicio (c): por ejemplo, si se denota r = b ab (palabras con exactamente una a) y r 5 = b ab ab ab ab ab (palabras con exactamente cinco a s), resulta que la ER r r 5 describe el lenguaje {w {a,b} n a (w) MOD 5 = }. Ejercicio 2 (b).el conjuntodecadenasquenocontienen másdetresa ssepuede dividir en cuatro subconjuntos, formados por las palabras que contienen exactamente cero, una, dos o tres a s. Ejercicio 2 (c). Si se denota r = (a+b+c), la ER rarbrcr describe todas las cadenas que contienen al menos una ocurrencia de cada símbolo, pero obliga a que detrás del

2 último símbolo a haya al menos un símbolo b, y detrás de este al menos una c. Es decir, faltarían palabras como por ejemplo acb, bac, etc. El problema es que el orden en el que aparecen lossímbolos, a b c, no es másque una de las3! = 6 posibles permutaciones de los tres símbolos, por lo que habría que añadir ERs para los otros cinco casos. Ejercicio 2 (d). Una opción es dividir el conjunto de palabras que no terminan en abab en varios subconjuntos: el formado por la palabra vacía, el formado por todas las palabras que terminan en a, el formado por todas las palabras que terminan en c, el formado por todas las palabras que terminan en bb, el formado por todas las palabras que terminan en cb, lo mismo para la terminación aab, etc. No olvide que las palabras b, ab y bab también pertenecen al lenguaje. EJERCICIOS 3 y 4 Estos ejercicios tratan el problema inverso: dada una ER, encontrar el lenguaje que describe. La solución en este caso es única. EJERCICIOS 5-3 Se trata en todos los casos de aplicar el algoritmo [AFND ER] de los apuntes, basado en el método de las ecuaciones características. EJERCICIO 4 y 5 Para resolver estos problemas hay que realizar los siguientes pasos:. Obtener un AFND equivalente a la ER dada aplicando el algoritmo [ER AFND]. 2. Obtener un AFD equivalente al AFND obtenido en el paso anterior aplicando el algoritmo [AFND AFD] (tema 2.3). 3. Como el algoritmo [AFND AFD] no garantiza que el AFD obtenido sea mínimo, a continuación habrá que aplicar el algoritmo de minimización (tema 2..) al AFD obtenido en el paso anterior. Comoyasehaexplicadoeneltemaanterior,porcomodidadenlaaplicacióndelalgoritmo de minimización, se podrá hacer un renombramiento de estados tras el algoritmo [AFND AFD]. EJERCICIOS 6-9 Para resolver estos ejercicios hay que realizar los siguientes pasos:. Transformar los elementos dados en sus AFDs mínimos equivalentes, para lo cual habrá que: a) Aplicar los algoritmos adecuados a cada uno de los elementos de partida para obtener un AFD equivalente: Algoritmo [AFND AFD] en el caso de los AFNDs. Algoritmos ([GLD AFND] + [AFND AFD]) en el caso de las GLDs. Algoritmos ([ER AFND] + [AFND AFD]) en el caso de las ERs. 2

3 b) Minimizar el AFD obtenido en el paso anterior (previo renombramiento de sus estados) aplicando el algoritmo de minimización de AFDs del tema Los AFNDs/GLDs/ERs de partida son equivalentes (es decir, describen el mismo lenguaje) si y sólo si los AFDs mínimos obtenidos en el paso anterior son isomorfos (es decir, iguales salvo en el nombre de los estados). A continuación se detalla la resolución del ejercicio 7: Obtención del AFD mínimo equivalente al AFND A dado en el enunciado. Como podemos observar, el autómata proporcionado es un autómata finito no determinista, por lo tanto, para minimizarlo, en primer lugar deberemos hallar un autómata finito determinista equivalente. Para ello, se aplica el algoritmo [AFND AFD], partiendo de f (p,λ) = {p,v,w}, que será el estado inicial de nuestro nuevo autómata. Después, procederemos con el algoritmo, descubriendo los estados a los que vamos transitando con cada uno de los símbolos del alfabeto de entrada, obteniendo finalmente el siguiente AFD: f FD 0 {p,v,w} {p,r,t,v,w} {q,u} *{p,r,t,v,w} {p,r,t,v,w} {q,u} {q,u} {q} {p,s,v,w} {q} {q} {p,s,v,w} *{p,s,v,w} {p,r,t,v,w} {q,u} Después, renombraremos los estados para trabajar más cómodamente con ellos, de forma que obtenemos el siguiente autómata finito determinista equivalente: A FD = ({A,B,C,D,E},{0,},f FD,A,{B,E}) f FD 0 C D E D D E *E B C Posteriormente, minimizaremos el autómata para obtener el finito determinista mínimo (y único) que reconoce ese lenguaje. En primer lugar, eliminaremos los estados inaccesibles que tenga (ninguno en este caso). En segundo lugar, hallaremos el conjunto de clases de equivalencia de estados. Q/E 0 = {{B,E},{A,C,D}} Q/E = {{B,E},{A},{C,D}} 3

4 Q/E 2 = {{B,E},{A},{C,D}} = Q/E }{{}}{{}}{{} = Q/E B A C Los estados B,E resultan ser equivalentes, al igual que los estados C,D. Por lo tanto, de cada uno de los conjuntos de estados equivalentes tomamos un representante: tomaremos B como representante de la clase de equivalencia {B, E}, tomaremos A como representante de la clase de equivalencia {A} y tomaremos C como representante de la clase de equivalencia {C,D}. De esta manera, reescribiendo la tabla de transiciones en función de los representantes elegidos, obtenemos el autómata finito determinista mínimo equivalente al autómata no determinista que nos señalan en el enunciado: A FDmin = ({A,B,C},{0,},f FDmin,A,{B}) f FDmin 0 C C B Obtención del AFD mínimo equivalente a la ER E dada en el enunciado. Como podemos observar al analizar la expresión regular, las palabras definidas por ((00) 0) (palabras que empiezan y terminan con un uno y tienen entre medias un número impar de ceros) son un subconjunto de las definidas por (0+0 ) (0+ 0 ), ya que la expresión anterior incluye, en particular, a las palabras 0, es decir, palabra que empiezan y terminan con un uno y tienen entre medias cualquier número de ceros. Por ello, la segunda parte de la expresión no aporta nada, es decir, la expresión dada es equivalente a ((0+0 ) (0+0 )). Para obtener un AFND equivalente a la expresión anterior se debe aplicar el algoritmo [ER AFND]. Teniendo en cuenta que muchas de las transiciones λ impuestas por el algoritmo son en este caso concreto innecesarias, el AFND obtenido tras aplicar el algoritmo resulta equivalente al siguiente: p 0 λ q r 0 A er = ({p,q,r},{0,},f er,p,{q}) f er 0 λ p {q} {r} *q {p} r {r} {q} 4

5 El siguiente paso es hallar un autómata finito determinista equivalente para poder minimizarlo. Por lo tanto, aplicaremos el mismo algoritmo que hemos visto anteriormente, [AFND AFD], esta vez partiendo de f (p,λ) = {p}. El AFD resultante es el siguiente: f erfd 0 {p} {p,q} {r} *{p,q} {p,q} {r} {r} {r} {p,q} Lo renombraremos para trabajar más cómodamente: A erfd = ({P,Q,R},{0,},f erfd,p,{q}) f erfd 0 P Q R *Q Q R R R Q Ahora, intentaremos minimizar el autómata. Primero, eliminaremos los estados inaccesibles que tenga (ninguno en este caso). Después, hallaremos el conjunto de clases de equivalencia de estados: Q/E 0 = {{Q},{P,R}} Q/E = {{Q},{P},{R}} Q/E 2 = {{Q},{P},{R}} = Q/E = Q/E Visto el resultado, determinamos que el autómata analizado ya era mínimo. Por lo tanto, procederemos a comparar ambos autómatas finitos mínimos. f FDmin 0 C C B f erfd 0 P Q R *Q Q R R R Q Comparación de los AFDs mínimos obtenidos en los pasos anteriores. Como podemos comprobar, los autómatas A FDmin y A erfd son isomorfos (iguales salvo en lo que respecta al nombre de los estados), por lo tanto, queda demostrado que ambos elementos generan el mismo lenguaje. 5

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