TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN

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1 1 TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN 1. INTRODUCCIÓN Los números naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el hombre para contar. Para poder construir este conjunto N, podemos seguir dos caminos diferentes, el camino axiomático relacionado con el aspecto ordinal del número natural y, seguido por matemáticos como Peano y Hilbert; el segundo, basado en la teoría de clases o conjuntos, relacionado con el cardinal del número natural y utilizado por Cantor, Frege y Russell. 2. CONTRUCCIÓN 2.1 SISTEMA AXIOMÁTICO A) Este conjunto verifica las siguientes axiomas: 1. 0 N 2. A un número natural x le corresponde otro único número natura x, llamado sucesor o siguiente de x. ( a N a N / a,b N, si a = b a = b ) 3. Cero no el siguiente de ningún número natural.(x 0) 4. Dos numeros naturales distintos, les corresponde siguientes distintos, por tanto, si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces ambos números naturales son iguales. ( a,b N, si a = b a = b) 5. Axioma de recurrencia. Si un conjunto de números naturales distintos que contiene al cero y también el sucesor de cualquier número natural que pertenece a C todo número natural pertenece al conjunto C.( C N / 0, a C a C y C = N) Observaciones: a) El primer número natural es el 1. b) N ya que 0 N [según axioma 1]. El segundo axioma nos dice que la construcción del conjunto N, a través del elemento siguiente de cero que lo denotaremos, por ejemplo, 0 =, pero el tercer axioma impide que = 0. Entonces por el cuarto axioma, tenemos que Φ : N N es una inyección, así, el siguiente número natural no puede ser ninguno de los ya obtenido anteriormente. c) La construcción del conjunto N implica que el conjunto tenga un elemento infinito de números. El axioma de recurrencia de una idea de como concebir el conjunto N. B) Principio de inducción: Si denotamos P(0), P(1), P(2),... la sucesión de proposiciones referidas a los números naturales 0, 1, 2,... el principio de inducción dice:

2 2 Suponiendo que la proposición es cierta, y suponiendo que de la validez de la proposición P(n) se pueda deducir la validez de la proposición P(n+1) entonces son ciertas todas las proposiciones de la sucesión y se puede probar así la validez de la propiedad general P Consecuencias el principio de inducción: Teorema 1: Todo elemento de N es distinto de su siguiente. Es decir, x x, para cualquier elemento del conjunto N. Demostración: Considero C = {x N / x x }. Por axioma 3, 0 C. Suponiendo que y C inyectivaporsersiguientede inducción C = N. y (y ) y* C Teorema 2: Todo elemento del conjunto N, a excepción del 0, es el siguiente de algún número natural. Es decir, que dado cualquier número natural n 0, siempre existe otro número natural m tal que m = n. Demostración: Tomo C = {0} {x N {0} / y N con y = x}. C 0 ya que 0 C. Supongamos que k C k* C C = N y por tanto, dado un número natural cualquiera este debe ser cero o el siguiente de otro. Nota: Observamos que el Teorema 2 permite asegurar que el siguiente de cada número no solo es inyectiva sino también suprayectiva, entonces el siguiente es biyectivo. C) Suma y productos de números naturales: a) Suma: a un par de números naturales m y n se les asocia otro número natural, que llamaremos suma de m y n y que se denota por m + n, definido como a) m + 0 = m b) si m+n esta definido, m + n = (m + n) 1) La suma esta bien definida 2) Asociativa: m,n,p números naturales (m+n)+p = m+(n+p) 3) Elemento neutro: existe 0 N / x N x + 0 = 0 + x = 0 4) La suma es conmutativa: dado m y n números naturales, se verifica que m + n = n + m Estas 4 propiedades anteriores, verifican que la suma (N,+) tiene estructura de semigrupo abeliano con elemento neutro. 5) A excepción del cero, ningún elemento del conjunto N tiene elemento simétrico.

3 3 6) Cancelación o simplificación de elementos: m + n = p + n m = p b) Producto: Dados m y n números naturales, asociado a ellos se encuentra otro número natural llamado producto de m y n denotado m n definido como a) m 0 = 0 b) Definido m n m n* = m n + m 1) El producto esta bien definido. 2) Es distributiva respecto de la suma: m,n,p N m(n+p)=mn + mp y (m+n)p= mp + np 3) Es asociativa: m,n,p N (mn)p = m(np) 4) Conmutativa: m,n N mn=nm 5) Elementos neutro: El 1 es el elemento neutro que verifica: m N / m1=1m = m Teniendo en cuenta las propiedades de la adición y esta cinco propiedades del producto, podemos decir que (N,+, ) es un semianillo conmutativo con elemento unidad. 6) El conjunto N no tiene divisores del 0, mn = 0 m= 0 o n= 0. 7) Simplificación o cancelación de elementos: si n N, n 0 / mn=pn m=p (excepción del cero). 8) A excepción del 1, ningún otro elemento es simétrico (mn=1 m = n = 1) D) Ordenación en el conjunto N Definición: Dados m,n N se dice que m es menor o igual que n (m n) si p N / m + p = n. También se puede decir que n es mayor o igual que m. 1) La relación es única. Existe p, p N / m + p = n, m + p = n m + p = m + p (todo número natural es regular p = p ) 2) Reflexiva: todo elemento m de N se cumple que m m. 3) Antisimétrica: m,n N / m n y n m n=m 4) transitiva: m,n,p N / m n, n p m p 5) Tiene conexión: m,n N siempre se cumple que m n o n m. Estas propiedades confieres que (N, ) se llame conjunto ordenado. (relación de orden y las operaciones de los números naturales) a) Monotona respecto de la suma: m,n,p N. Entonces m n m+p n+p. También, si m n y p q m + p n + q

4 4 b) Monotona respecto del producto: m,n,p N. Si m n mp np. Si p 0, se cumple el recíproco. Definición (orden estricto) : Dados m,n N x 0 N / m + x = n entonces se dice que m es estrictamente menor que n (m < n) o n estrictamente mayor que m. 1) Antireflexiva: m N, nunca se cumple que m<m 2) Transitiva: m,n,p N / m < n, n < p m < p 3) m,n N. Si m < n m n 4) m,n N, se debe cumplir una, y solo una, de las relaciones siguientes: m<n, m=n, m>n. Esta propiedad se conoce como la propiedad de tricotomia. E) Características de N a) Elementos consecutivos: m y n son consecutivos si x N / m < x < n. b) Una sección de N se define como un intervalo de la forma [1,n] = x N / 1 x n Dado un conjunto C, se dice que es finito si existe una biyección entre C y una sección de N. (C conjunto finito existe f: C [1,n] / f biyectiva) c) Todo conjunto ordenado C puede definirse de forma general, un primer elemento y un último elemento. Como primer elemento se toma aquel que es anterior a los demás (llamado mínimo de C). Del mismo modo se toma como último elemento del conjunto C al posterior de todos (llamado máximo de C). El máximo y mínimo de un conjunto (si existe) son únicos. Se dice que un conjunto C esta bien ordenado si todo subconjunto tiene un primer elemento. Excepciones: 1) N no es finito: su primer elemento es el 0, pero carece de último. 2) Todo subconjunto no vacío de N tiene primer elemento. 3) Cualquier parte finita de N posee primer y último elemento. 4) Cualquier parte infinita de N carece de último elemento pero admite siempre un primer elemento. 2.2 SISTEMA CONJUNTISTA Es un sistema más complicado que el sistema axiomático. A) Conjunto y paradojas a) Conjuntos equipotentes: Se dice que dos conjuntos A y B son equipotentes (también llamados equivalentes) si existe una biyección entre ambos conjuntos. Se denota A B. (A B existe f: A B / f es biyección).

5 5 1) Cualquier conjunto es equivalente a si mismo. 2) A B B A 3) A B y B C A C 4) A B y C D A C =, B D =, A C B D 5) A, B conjuntos cualquiera, entonces podemos encontrar C, D conjuntos tal que A C, B D y D C = b) Se dice que un conjunto C es finito si no es equipotente con ninguno de sus subconjuntos propios. Si el conjunto C no es finito, se dice infinito. Un segmento es un conjunto infinito ya que es una sucesión infinita de puntos. Ejemplo: A = a,b,c,d es un conjunto finito. B) Cardinales y operaciones Definición: El cardinal de un conjunto A, card(a), será siempre el mismo que el de cualquier conjunto equipotente. Es decir, card(a) = card(b) A B Definición (suma de cardinales): Dos conjuntos A,B con Card(A)=a y Card(B)=b y se pueden tomar A y B de modo que sean disjuntos entonces definimos el cardinal de la suma como a+b= Card(A B) con A B =. Esta propiedad cumple la propiedad asociativa, conmutativas y existe el neutro que será el cero. También se cumple que Card(A B)+Card(A B)=Card(A)+Card(B) Definición (producto de cardinales): Dos conjuntos A,B con Card(A)=a y Card(B)=b, se define producto de cardinales como ab=card(axb) El producto cumple la propiedad asociativa, conmutativa y elemento neutro que es el cardinal 1. Propiedad (distributiva): Dados tres conjuntos A,B,C tal que Card(A)=a, Card(B)=b, Card(C)=c y B C= entonces a(b+c)=ab + bc 1) Cualquier cardinal cumple que a b 2) Dados dos cardinales a y b, si se cumple que a b y b a entonces a=b 3) Dados tres cardinales a,b y c, si se cumple que a b y que b c entonces a c C) Cardinales de conjuntos finitos y números naturales Lema: Dados dos cardinales a y b. Entonces a+1=b+1 a=b Propiedad: Un conjunto A con a = Card(A) es infinito a=a+1 Definición: Un cardinal a es finito si a a+1. Un cardinal a es infinito si a=a+1. Axioma del infinito: Los cardinales finitos definen un conjunto. Así, llamaremos números naturales a cualquier cardinal finito.

6 6 Si un conjunto A es infinito, entonces Card(A) se llama cardinal transfinito. Si llamamos Φ al conjunto de todos los conjuntos finitos, resulta que la relación ser equivalente es un RBE (relación binaria de equivalencia) en Φ. D) El conjunto N: cardinal, operaciones y orden. a) El conjunto N es un conjunto infinito. Tenemos f: N N / f(n)= n+1 f es una aplicación biyectiva de N a N +. Sabemos que para todo n N tiene sucesor y será único; dados dos elementos diferentes de N, ambos tendrán sucesores distinto y; el elemento 0 no es sucesor de nadie. Así, como N=N + {0} y N + {0}= Card(N) = Card(N + ) + 1. Pero N N + (ya que la aplicación definida es biyectiva) Card(N) = Card(N + ). Si se obtiene que Card(N) = Card(N + ) + 1, entonces, puede pasar: 1) Card(N) no es finito, y por tanto, el conjunto es infinito. 2) Dado un conjunto C, si Card(C)=Card(N) entonces C es infinito numerable. 3) La existencia de este conjunto infinito justifica el nombre dado al axioma de numerabilidad. b) Son operaciones y ordenes de cardinales, que serán equivalentes al sistema axiomático. E) Los conjuntos finitos y sus propiedades 1) Dado un conjunto finito A de cardinal n el conjunto A es equipotente al segmento [1,n]. 2) Dado un conjunto finito A, si A es equipotente a otro conjunto B el conjunto B es finito. 3) Dado siempre un conjunto finito A, cualquier subconjunto suyo será siempre finito. 4) Dados dos conjuntos A y B finitos A B y AB son también finitos. 5) Dado un conjunto finito A, cualquier parte B estrictamente incluida en dicho conjunto cumple que Card(B)<Card(A). 6) Dados dos conjuntos finitos equipotentes A y B, y dada una aplicación f: A B, son equivalentes: a) f es una aplicación inyectiva. b) f es una aplicación suprayectiva. c) f es una aplicación buyectiva. Así, estas propiedades se pueden resumir en los siguientes enunciados, todos ellos equivalentes: 1) A se puede ordenar de modo que tenga primer y último elemento. 2) Cualquier subconjunto de A tiene primer y último elemento. 3) A no es equipotente a ningún subconjunto propio suyo. 4) O el conjunto A es vacío, o bien es equipotente con un segmento [1,n] del conjunto N.

7 7 F) Construcción conjuntista de N A. Teorema fundamental de la numeración. Consecuencias. Sea b la base de un cierto sistema de la numeración, b N, b 1 entonces cualquier n N se escribe de manera única mediante la expresión: n = a(0) + a(1)b + a(2)b 2 + a(3)b a(k)b k donde a(i) son números naturales menores que b. A la expresión se le denomina expresión polinómica de n en la base b. Como consecuencia del teorema, obtenemos el principio del valor relativo. Al ser todos los a(i)<b, cada uno de ellos se escribe con una sola cifra, y entonces se puede expresar el número natural n como n=a(k)a(k-1)...a(2)a(1)a(0). 1) Dada una base b y n N escrito n=a(k)a(k-1)...a(2)a(1)a(0) en la base b nb j (producto de n por cierta potencia de b) se escribe añadiendo j ceros a la derecha de n. (nb j = j) n p n p 1...n 2 n 1 n 0 0 {}}{... 0) 2) n N, b N; si la escritura de n en la base b esa formada por p cifras entonces n está comprendido entre b p 1 y b p. La implicación recíproca también es cierta. (n tiene p cifras en base b b p 1 n < b p ) Demostración: ) Escribiendo n en forma polinómica tenemos: a(p 1)b p 1 + a(p 2)b p a(2)b 2 + a(1)b + a(0) b p 1 Hay que probar que n<b p : como a(i)<b a(1)b + a(0) < a(1)b + b = (a(1) + 1)b b 2 ; a(2)b 2 + a(1)b + a(0) < a(2)b 2 + b 2 = (a(2) + 1)b 2 b 3 y así sucesivamente, de forma que al final tenemos n = a(p 1)b p 1 + a(p 2)b p a(2)b 2 + a(1)b + a(0) < a(p 1)b p 1 + b p 1 = (a(p 1) + 1)b p 1 b p ) Suponemos que b p 1 n <b p, y suponemos que n no tuviese p cifras. Caso 1: Supongamos que n tiene p -1 cifras pero entonces deberia ser b p 2 n < b p 1 (por hipotesis) Caso 2: Suponemos que n tiene p+1 cifras ya que b p n <b p+1. Por tanto, n no puede tener ni menos ni más de p cifras, entonces tendrá exactamente p cifras.

8 8 3) m,n N que tienen p,q cifras, rspectivamente, al escribirlos en una cierta base b, entonces si p<q m<n 4) m,n N con igual número de cifras al expresarlos en una cierta base b, entonces m<n la cifra de mayor orden de m que sea distinta de su correspondiente en n es menor que ella. B) Cambio de sistema de enumeración. a) Pase de base b a base decimal: normalmente se emplea el algoritmo de Ruffini. Ejemplo: 2135 en base 6 [se escribe 2135) 10 o 491) 6 ] = 491 b) Paso de base decimal a base b: Hacer sucesivamente una división hasta llegar a un cociente menor que la base, la expresión del número en la base b tendrá como primera cifra ese último cociente y a continuación los demás restos escritos en orden inverso a su aparición. Ejemplo: 491) 6 a base : 6 = 81 resto 5 81 : 6 = 13 resto 3 13 : 6 = 2 resto 1 Como 2 es menor que 6, ponemos el primer número que sea el cociente último, 2, y luego los restos 1,3,5 2135) 10 c) Paso de base b a base b : Hacer los dos casos anteriores, primero b a base decimal y luego la base decimal a base b.