Tema 3: Multiplicación y división.

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Raúl Moreno del Río
hace 7 años
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1 Tema 3: Multiplicación y división. SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS 2. Determina el menor número natural que multiplicado por 7 nos da un número natural que se escribe usando únicamente la cifra 1. Y únicamente la cifra 2? x 7 = ; x 7 = (Dividiendo por 7, con una calculadora, la secuencia de números, 11, 111, 1111,...; 22, 222, 2222,..; hasta que la división sea exacta. 3. Expresa los números del uno al diez como resultado de operaciones entre números en las que, en total, intervengan cuatro treses. 1 = 3 (3+3)/3 ; 2 = (3/3) + (3/3) ; 3 = 3x3 (3+3); 4 = (3x3+3)/3 5 = (3+3)/3 +3; 6 = (3+3)+(3-3); 7 = 3+3 +(3/3); 8 = 3x3-(3/3); 9 = 3x3 + (3-3); 10 =3x3 + (3/3) 4. Suponemos que los números naturales D y q son tales que D<4500, y q=82. La división entera del número D por d da como cociente q = 82, y resto r = 45. Buscar, justificando la respuesta, el conjunto de pares (D, d) que cumple dicha condición. D =d x , con d > 45 y D < Con estas condiciones los valores de d que lo cumplen son: d = 46; d= 47,...; d=53. Cualquier valor superior que demos a d hará que D sea mayor que Resolver el problema anterior para r = 112. Discutir la existencia de soluciones según los valores del resto r. Si r =112, d > 112 (el divisor debe ser mayor que el resto). Entonces, D = 113 x = En este caso no existe solución. El valor máximo que puede tomar r = 53 (manteniendo los mismos datos y condiciones del problema. 6. Se resta de 3 en 3 a partir de 50 hasta que se obtiene el menor número natural posible: "50, 47, 44, 41,..." En qué número termina esta serie? 1

2 50 = 16x3+2; luego la serie termina en Se resta de 3 en 3 hasta obtener el menor número natural posible, pero a partir de 8932: "8932, 8929, 8926,..." En qué número termina esta serie? Cuántos términos tiene esa secuencia de sustracciones? Cuál es el número que ocupa el lugar 100? = 3 x ; la serie termina en 1 La serie tiene términos (cociente de la división por 3). El número que ocupa el lugar 100 en la serie es x100 = (hemos restado 100 veces 3) 8. Sabiendo que 8562 = (34 x 251) +28 a) Cuáles son el cociente y el resto de la división entera de 8562 por 34? b) Cuáles son el cociente y el resto en la división de 8562 por 251? a) Cociente 251, resto 28 (resto menor que el divisor) b) Cociente 34, resto Sabiendo ahora que = (4973 x 3789) c) Cuáles son el cociente y el resto en la división entera de por 4973? d) Cuáles son el cociente y el resto en la división entera de por 3789? c) Cociente 3789, resto 3913 d) Cociente 4974, resto Sabiendo que = (4897 x 257) Cuáles son los cociente y el resto en la división entera de por ? El dividendo y el divisor se han multiplicado por 100, luego el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por 100. Luego, cociente 257, resto A continuación se realizan algunas operaciones utilizando técnicas orales. Indica en cada caso las técnicas utilizadas. c) 2500 x 13, tres por veinticinco, setenta y cinco, mas doscientos cincuenta, trescientos veinticinco, treinta y dos mil quinientos. d) 156 : 12, setenta y ocho dividido por seis, treinta y nueve dividido por tres, trece. e) 15 x 24, es lo mismo que treinta por doce, lo mismo que sesenta por seis, treinta y seis, trescientos sesenta. 2

3 c) 2500 x 13 = 25 x 100 x (3+10) = [25 x x 10]x 100 d)156 /12 = (78x2)/(2x3x2) = (78/2)/3 e) 15 x 24 = 15 x (2x2x6) = 30 x 2 x 6 = 60 x 6 = Construye la tabla de multiplicar números naturales en base 6. Calcula el producto de los siguientes números que están expresados en base 6, haciendo los cálculos en base 6: (6 x 123 (6. Justifica con este ejemplo el algoritmo tradicional (disposición en columnas de los resultados parciales) indicando las propiedades del sistema de numeración posicional y de las operaciones aritméticas requeridas. Tabla de multiplicar en base 6: columnas Algoritmo de multiplicación en x Justificación: Se aplica el principio de valor relativo de las cifras (reglas del sistema de numeración posicional), colocando en cada columna unidades del mismo orden. Se usa la descomposición polinómica del multiplicador: 123 = x 10 +3; (unidades de tercer orden, segundo y primer orden, que en base 6 también se escriben 100, 10, 1). Se aplican la propiedad distribución de la multiplicación respecto de la suma y las propiedades commutativa y asociativa: x 123 = x ( ) = x x x Usando la función constante de la calculadora calcula el valor de 9x9x9x9x9x9x9x9, o sea, = El producto de dos números consecutivos es Qué números son? n(n+1) = 2070 = 45 x Si la tecla de multiplicar está estropeada indica cómo se puede calcular el producto, 1234 x 596 3

4 1234 x 596 = 1234 x( ) = 1234x( ); Se puede hacer el cálculo restando sucesivamente a los números , , , , 1234, 1234, 1234, Calcula el valor exacto de la siguiente multiplicación: x Se agrupan los números dados en subgrupos de 4 dígitos, de manera que los productos parciales de números de 4 cifras se puedan calcular con la calculadora. Se aplica el algoritmo de multiplicar en columnas, colocando en cada fila los productos sucesivos de grupos de 4 dígitos. Después se suman todas las columnas. Hay que respetar en todo momento las posiciones de las unidades de los distintos órdenes y tener en cuenta las llevadas cuando se produzcan. El resultado es: (salvo error) Utiliza la memoria de la calculadora [M+] para calcular la expresión: ( ) : (3 x ) Se calcula primero el denominador; se almacena en M+; se realiza la suma del numerador. Se pulsa MR y a continuación la tecla de dividir. 24. Antes de que se hicieran habituales las calculadoras, había muchas reglas para aligerar los cálculos. Una de ellas servía para calcular el cuadrado de un número terminado en 5. El resultado es un número terminado en 25, delante del cual se ponía el resultado de multiplicar el número que precede a 5 por ese mismo número aumentado en una unidad. Por ejemplo, 35 2 = (3.4)25 = 1225, 75 2 = (7. 8)25 = Cuál es la justificación de esta regla? (a5) 2 = (10a+5) 2 = 100a a +25 = 100a a +25= 100(a+1)a Justifica si es cierta o falsa la siguiente regla: "Piénsese en dos números naturales consecutivos. Multiplíquense. El resultado multiplíquese por 4. Al resultado súmesele 1. Extráigase la raíz cuadrada del resultado. El número que resulta es la suma de los dos que se pensaron inicialmente. 4 nn+ ( 1) = = 2 (2n + 1) =2n+1 =n(n+1) 4

5 26. Halla un cuadrado perfecto de la forma AABB = 88 2 (probando sistemáticamente las raíces cuadradas de 1100, 2200, 2211, etc.) EJERCICIOS DEL TALLER MATEMÁTICO 1. Investigación de propiedades aritméticas: a) Son iguales las expresiones: (34+27)x5 y 34 + (27 x 5)? En qué se diferencian? b) Compara y Cuál es mayor? a) No son iguales; no se ha aplicado la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Se ha aplicado una falsa propiedad asociativa entre la adición y multiplicación. b) = 2 12 (1+1) = = Claramente es mayor Buscar dos números cuyo producto esté entre 1500 y 1600; otros dos cuyo producto esté entre 150 y 160. a x b > 1500; a x b < 1600 Si b = 1, a puede valer, desde 1501 y Si b = 2, a puede valer, desde 751 a 799 Etc. 3. Comprobación de estimaciones en cálculos: a) Estima cuáles de las siguientes divisiones tienen un cociente entre 20 y 50. Utiliza la calculadora para comprobar las respuestas: 426: 13; 43368: 131; 4368: 13; 436: 131 b) En las dos siguientes operaciones indicadas estima el valor desconocido. Comprueba la aproximación de la estimación con la calculadora 43 x = 2408; 12 x = 672. a) 426 : : < 50; SI : : > 50, NO 4368 : : > 50, NO 436 : : < 20, NO En las operaciones que vienen a continuación falta alguna cifra que está sustituida por guiones. Complétalas. 5

6 3 2 5 x Existen parejas de números tales que su producto es igual al de sus imágenes en un espejo. Por ejemplo, 23x64 = 46x32. Encuentra otras parejas de números que tengan esta propiedad. Trata de encontrar una regla que te permita obtener todas las parejas. ab x mn = ba x nm; (10a+b)(10m+n) = (10b+a)(10n+m) ; simplificando se obtiene, am =bn, o sea, a/b = n/m. Por ejemplo, 63 x 24 = 36 x 42 = Elige un número cualquiera de dos cifras. Si inviertes el orden de sus cifras y restas el menor del mayor, observarás que se obtiene un número que es múltiplo de 9. Demuestra esta propiedad para números de 2, 3 y 4 cifras. ab = 10a+b ba = 10b +a; restamos y suponemos que a >b, 9a -9b = 9(a-b) (múltiplo de 9) Para números de 3 cifras: abc = 100a + 10b + c cba = 100c + 10b + a; restando, 99a - 99c = 9(11a 11c), que es múltiplo de 9. Igual para números de 4 cifras. 6

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