1.2 Multiplicación de Polinomios. 1.3 División de Polinomios

Transcripción

1 Clase 1: División de polinomios Identificar el grado, coeficiente principal y constante en un polinomio. Calcular suma, resta y producto entre polinomios. Calcular el cociente y resto aplicando el algoritmo de la división de polinomios. Determinar el grado del cociente en la división de polinomios. Estimar el grado del resto en la división de polinomios. 1 Polinomios Un polinomio de grado n es una función de la forma P(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+ a 0 Coeficiente principal Coeficiente constante donde n es un número entero no negativo y a n 0. El grado de P será denotado grad(p). Ejemplo. grado 5 P(x) = 3 x 5 +6x x 2 +7x 6 principal 3 constante Suma y Resta de Polinomios Para sumar polinomios se agrupan, sumando o restando, los términos semejantes. Ejemplo. Consideremos los polinomios P(x) = 4x 3 +5x 6, Q(x) = 3x 3 2x 2 +7x, R(x) = 6x 3 +4x 2 x+5. Luego, P(x) Q(x)+R(x) = (4x 3 +5x 6) (3x 3 2x 2 +7x)+(6x 3 +4x 2 x+5) = (4x 3 3x 3 +6x 3 )+(2x 2 +4x 2 )+(5x 7x x)+( 6+5) agrupar term. semejantes = 7x 3 +6x 2 3x 1 sumar o Así, P(x) Q(x)+R(x) = 7x 3 +6x 2 3x 1. 1

2 1.2 Multiplicación de Polinomios Para multiplicar se utiliza la propiedad distributiva del producto y las propiedades de la potenciación. Luego se suman o restan los términos semejantes. Ejemplo. Consideremos los polinomios P(x) = 2x 2 +5x 6, Q(x) = 3x 2 2x+3 Luego, P(x) Q(x) = (2x 2 +5x 6) (3x 2 2x+3) distributiva = 2x 2 (3x 2 2x+3)+5x (3x 2 2x+3) 6 (3x 2 2x+3) distributiva = 6x 4 4x 3 +6x 2 +15x 3 10x 2 +15x 18x 2 +12x 18 agrupar, sumar o = 6x 4 +11x 3 22x 2 +27x 18 Ejercicio. Sean P(x) = x 2 +x+3 y Q(x) = x Calcule 1. P(x)+Q(x) 2. P(x) Q(x) 3. P(x) Q(x) 1.3 División de Polinomios Algoritmo de la división Si P(x), D(x) son polinomios, con grad(p) grad(d), entonces existen Q(x), R(x) polinomios tales que divisor resto P(x) = D(x) Q(x)+R(x) dividendo cociente P(x) R(x) = Q(x)+ D(x) D(x) con 0 grad(r) < grad(d). El algoritmo para la división de polinomios es similar al algoritmo que utilizamos para la división entre números naturales. A continuación exhibiremos un ejemplo de división entre números naturales, que nos servirá de modelo para aprender el algoritmo de la división entre polinomios. Ejemplo. Para determinar 3415 : 12 debemos tener presente que el algoritmo de la división sobre los nmeros naturales nos permite determinar números naturales q y r (cociente y resto, respectivamente) tales que q es el mayor número natural que satisface 12 q < 3415 y 0 r < 12 El siguiente algoritmo permite determinar q buscando el mayor dígito, que multiplicado por una potencia de 10 adecuada, no supera dividendo : 12 = 200 multiplicar: = nuevo dividendo Acabamos de determinado la mayor centena (el número 200) tal que < Ahora debemos dividir 1015 en 12, 2

3 3415 : 12 = multiplicar: = nuevo dividendo Ahora hemos determinado la mayor unidad (el número 80) tal que < Finalmente, dividimos 55 en : 12 = multiplicar: 4 12 = resto Por lo tanto, 3415 = o equivalentemente = Teorema grad(p Q) = grad(p)+grad(q) Ejemplo. Si P(x) = 3x 2 +x 1, Q(x) = x+1 entonces grad(p Q) = grad(p)+grad(q) = 2+1 = 3 Calculado el producto entre ambos polinomios se tiene P(x) Q(x) = (3x 2 +x 1) (x+1) = 3x 3 +4x 2 1 polinomio de grado 3. En el algoritmo de la división para números naturales, el producto entre el divisor y el cociente no debe superar al dividendo. En el caso de los polinomios, el grado del polinomio resultante al multiplicar el divisor y el cociente no debe superar al grado del dividendo. Ejemplo. Sean P(x) = 6x 2 26x+12 y D(x) = x 4. Debemos determinar polinomios Q(x) y R(x) tales que 6x 2 26x+12 = (x 4) Q(x)+R(x) con 0 grad(r) grad(d). Dado que grad(d) = 1 se deduce que grad(r) = 0. Además, grad(q) debe ser 1 para que D(x) Q(x)+R(x) (que es igual a P(x)) sea un polinomio de grado 2. Con esta información procedemos con la división 6x 2 26x+12 : x 4 = 6x multiplicar: 6x(x 4) = 6x x 2 24x 2x + 12 nuevo dividendo Repetimos el proceso usando la última fila 2x+12 como dividendo, 3

4 6x 2 26x+12 : x 4 = 6x multiplicar: 6x(x 4) = 6x x 2 24x 2x+12 2x+8 Así, 4 resto 6x 2 26x+12 = (x 4)(6x 2)+4 6x2 26x+12 x 4 = 6x 2+ 4 x 4 Ejercicio. Dados los polinomios P(x) = 2x 4 x 3 +3x+4 y Q(x) = x Determine el grado del cociente que resulta al dividir P en Q. 2. Determine los posibles grados del resto que resulta al dividir P en Q. 3. Calcule el cociente y resto que resultan al dividir P en Q. Ejemplo. Sean P(x) = 8x 4 +6x 2 3x+1 y D(x) = 2x 2 x+2. Debemos determinar polinomios Q(x) y R(x) tales que 8x 4 +6x 2 3x+1 = (2x 2 x+2) Q(x)+R(x) con 0 grad(r) grad(d). Dado que grad(d) = 2 se deduce que grad(r) = 0, 1. Además, grad(q) debe ser 2 para que D(x) Q(x)+R(x) (que es igual a P(x)) sea un polinomio de grado 4. Con esta información procedemos con la división 8x 4 +6x 2 3x+1 : 2x 2 x+2 = 4x 2 multiplicar: 4x 2 (2x 2 x + 2) = 4x 3 2x 2 3x + 1 8x 4 4x 3 +8x 2 4x 3 2x 2 3x+1 nuevo dividendo Repetimos el proceso usando la última fila 4x 3 2x 2 3x+1 como dividendo, 8x 4 +6x 2 3x+1 : 2x 2 x+2 = 4x 2 +2x multiplicar: 6x(x 4) = 6x x 4 4x 3 +8x 2 4x 3 2x 2 3x+1 4x 3 2x 2 +4x 7x+1 resto Así, 8x 4 +6x 2 3x+1 = (2x 2 x+2)(4x 2 +2x)+( 7x+1) 8x4 +6x 2 3x+1 2x 2 x+2 Ejercicio. Dados los polinomios P(x) = 2x 3 +3x 2 4x+1 y Q(x) = x 2 +x Determine el grado del cociente que resulta al dividir P en Q. 2. Determine los posibles grados del resto que resulta al dividir P en Q. 3. Calcule el cociente y resto que resultan al dividir P en Q. = 4x 2 +2x+ 7x+1 2x 2 x+2 4

5 Ejercicios 1. Calcule el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones. Deducir el grado del cociente y posibles grados del resto antes de proceder con la división. (a) x 4 +3x 3 2x+1 dividido en x 2 1 (b) x 4 3x 3 +3x 2 2x+1 dividido en x 2 +1 (c) 4x 3 +7x+9 dividido en 2x+1 (d) x 4 x 3 +4x+2 dividido en x 2 +3 (e) x 5 +x 4 2x 3 +x+1 dividido en x 2 +x 1 2. Realizar la operación división en cada una de las siguientes expresiones, escribiendo su resultado en la forma P(x) R(x) = D(x)+ Q(x) Q(x) (a) x3 +x 2 13x+10 x 3 (b) x3 x 2 4x 1 x+2 (c) x3 x 2 4x 1 x+2 (d) 3x4 5x 3 20x 5 x 2 +x+3 (e) 2x4 x 3 +9x 2 x 2 +4 (f) 3x4 5x 3 20x 5 x 2 +x+3 (g) 2x4 x 3 +9x 2 x Determine un polinomio de grado 1 que P( 1) = 1 y P(2) = Determine las constantes a y b, en los reales, de modo que el polinomio P(x) = x 2 +ax+b satisface P(1) = 6 y P( 1) = 3. Referencia bibliográfica Precálculo: Matemáticas para el cálculo, James Stewart 5ed. Precálculo: Matemáticas para el cálculo, James Stewart 6ed. Diapositivas de nivelación, Instituto de Ciencias Básicas UDP, versión