Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Introducción a las Gramáticas. Gramáticas incontextuales

Transcripción

1 Teoría de utómatas y Lenguajes Formales Introducción a las ramáticas. ramáticas incontextuales José M. Sempere Departamento de Sistemas Informáticos y Computación Universidad Politécnica de Valencia

2 Introducción a las gramáticas. ramáticas incontextuales 1. Conceptos básicos sobre las gramáticas formales 2. Una clasificación gramatical de los lenguajes formales: La Jerarquía de de Chomsky 3. Conceptos básicos de las gramáticas incontextuales 4. Simplificación de gramáticas incontextuales 5. Formas Normales en las gramáticas incontextuales Bibliografía John Hopcroft, Jeffrey D. Ullman, Rajeev Motwani. Introducción a la teoría de autómatas, lenguajes y computación ddison Wesley, P. arcía, E. Segarra, T. Pérez, J.M. Sempere, J. Ruiz, M. Vázquez de Parga. puntes sobre la Teoría de utómatas y Lenguajes Formales. Editorial UPV. Servicio de Publicaciones SPUPV

3 Conceptos básicos sobre las gramáticas formales Una gramática se define mediante la tupla =(N,T,P,S) donde N es un alfabeto de símbolos auxiliares (variables) T es un alfabeto de símbolos terminales (constantes) P es un conjunto finito de producciones S N es un símbolo inicial o axioma Se debe cumplir que N T = Una producción es un par ( ) que lo escribiremos como donde es el antecedente o parte izquierda y es el consecuente o parte derecha. Se debe cumplir que (N T)*N(N T)* y (N T)*. Cuando varias producciones compartan el mismo antecedente las escribiremos de forma compacta como 1 2 n. Nota: Las gramáticas las definiremos a partir de sus producciones. Tomaremos el criterio de indicar los símbolos auxiliares mediante letras mayúsculas, los símbolos terminales mediante letras minúsculas y dígitos y el axioma mediante la letra S mientras no se indique lo contrario.

4 Conceptos básicos sobre las gramáticas formales Relaciones de derivación Dada una gramática =(N,T,P,S) definiremos la relación de derivación directa entre las cadenas formadas por símbolos auxiliares y terminales sii P con 1 2, 3, 2 (N (N T) * T) *N(N T) * Dada una relación de derivación directa podemos calcular su clausura reflexiva y transitiva para definir la relación de derivación de la siguiente forma * sii se cumple una de las dos siguientes condiciones: (1) ( 2) Existe tal que * Nota: En lo sucesivo eliminaremos el símbolo de las relaciones de derivación siempre que quede establecida la gramática de referencia.

5 Conceptos básicos sobre las gramáticas formales Formas sentenciales, palabras y lenguajes Dada una gramática =(N,T,P,S) definiremos una forma sentencial de la gramática como una cadena (N T)* tal que S * Dada una gramática =(N,T,P,S) definiremos una palabra o cadena de la gramática como una cadena T* tal que S * Dada una gramática =(N,T,P,S) definiremos el lenguaje generado por como el conjunto de cadenas o palabras de. Formalmente se expresa como sigue L( ) { x T * : S * x}

6 Conceptos básicos sobre las gramáticas formales lgunos ejemplos de gramáticas y sus lenguajes generados Ejemplo 1 Ejemplo 2 : S 0 1B 0 B 1B : S B aa a B bbb L() = { 0 n : n 1 } { 1 n : n 1 } = 00* + 11* S L() = { a 2n+1 b 2m : n,m 0 } S B aab aaab aaabbb aaabb Ejemplo 3 : S CaB ad Da Ca aac D C CB DB ae Ea CB E E L( ) { a 2 i : i 0} S CaB aacb aadb adab DaaB CaaB aacab aaaacb aaaae aaaea aaeaa aeaaa Eaaaa aaaa

7 Una clasificación gramatical de los lenguajes formales La Jeraquía de Chomsy En la clasificación de Chomsky se establecen cuatro tipos de gramáticas de acuerdo con las formas de sus producciones =(N,T,P,S) ramáticas de tipo 0 (no restringidas o con estructura de frase) (N T)*N(N T)* (N T)* ramáticas de tipo 1 (sensibles al contexto) El único auxiliar que puede generar derecha de ninguna producción ramáticas de tipo 2 (de contexto libre o incontextuales) N (N T)* 2 (N T)*N(N T)* 1, 3, 2 (N T)* 2 2 es el axioma siempre que no aparezca en la parte ramáticas de tipo 3 (regulares) Lineales por la izquierda Ba B a,b N a T Lineales por la derecha ab B a,b N a T

8 Una clasificación gramatical de los lenguajes formales La Jeraquía de Chomsy Cada clase de gramáticas define una clase de lenguajes. Tenemos cuatro clases de lenguajes que se relacionan entre sí, formando una jerarquía. RE - La clase de los lenguajes recursivamente enumerables : Lenguajes generados por gramáticas de tipo 0. CS - La clase de los lenguajes sensibles al contexto: Lenguajes generados por gramáticas de tipo 1. CF - La clase de los lenguajes de contexto libre : Lenguajes generados por gramáticas de tipo 2. RE - La clase de los lenguajes regulares : Lenguajes generados por gramáticas de tipo 3 (lineales por la izquierda o por la derecha) RE CF CS RE La Jerarquía de Chomsky

9 Una clasificación gramatical de los lenguajes formales La Jeraquía de Chomsy La Jerarquía de Chomsky RE Lenguajes generados por gramáticas de tipo 0 Lenguajes aceptados por máquinas de Turing {<M,w> : M acepta w} CS Lenguajes generados por gramáticas de tipo 1 Lenguajes aceptados por autómatas de memoria limitada linealmente {a n b n c n : n > 0} CF Lenguajes generados por gramáticas de tipo 2 Lenguajes aceptados por autómatas de pila {a n b n : n > 0} RE Lenguajes generados por gramáticas de tipo 3 Lenguajes aceptados por autómatas finitos {a n b m : n,m > 0}

10 ramática incontextual: ramáticas incontextuales Conceptos básicos =(N,, P, S) con las producciones de la forma N, (N )* Derivaciones por la izquierda : En cada paso de derivación se sustituye el auxiliar de la forma sentencial más a la izquierda Derivaciones por la derecha : En cada paso de derivación se sustituye el auxiliar de la forma sentencial más a la derecha Ejemplo S B ab B cbd S B abb abb abcbd abcd S B cbd cd abcd abcd Derivación por la izquierda Derivación por la derecha S B cbd abcbd abcd abcd Derivación arbitraria

11 Árboles de derivación S B ab B cbd =(N,, P, S) con las producciones de la forma N, (N )* Un árbol de derivación es un árbol que cumple las siguientes condiciones: Ejemplo ramáticas incontextuales Conceptos básicos 1. La raíz está etiquetada con el símbolo del axioma 2. Los nodos internos están etiquetados por símbolos auxiliares 3. Las hojas están etiquetadas por símbolos terminales o la cadena vacía 4. Si una hoja está etiquetada por es el único descendiente de su nodo padre 5. Un nodo etiquetado por tiene hijos etiquetados por B 1, B 2,, B n sólo si la producción B 1 B 2 B n pertenece a la gramática Un -árbol es un árbol de derivación cuya raíz está etiquetada por el símbolo S B a b c B d

12 Árboles de derivación ramáticas incontextuales Conceptos básicos =(N,, P, S) con las producciones de la forma N, (N )* Todo árbol de derivación define una derivación por la izquierda y una derivación por la derecha. (las derivaciones por la izquierda (derecha) siguen un recorrido en profundidad del árbol por la izquierda (derecha)) Denominaremos frontera o resultado del árbol a la cadena formada por los símbolos que etiquetan las hojas haciendo un recorrido en profundidad por la izquierda Ejemplo S B ab B cbd S B a b c B d S B abb abb abcbd abcd S B cbd cd abcd abcd resultado: abcd

13 mbigüedad ramáticas incontextuales Conceptos básicos =(N,, P, S) con las producciones de la forma N, (N )* Una gramática es ambigua si existen al menos dos árboles de derivación distintos cuyos resultados son el mismo (para la cadena resultado existen al menos dos derivaciones distintas por la izquierda) Ejemplo S B B ab B cbd x = abcd S S B B a b c B d a b c B d

14 mbigüedad ramáticas incontextuales Conceptos básicos =(N,, P, S) con las producciones de la forma N, (N )* Un lenguaje es inherentemente ambiguo si todas las gramáticas que lo generan son ambiguas Teorema: Existen lenguajes incontextuales inherentemente ambiguos. Ejemplo: L = { a n b n c m d m : n,m > 0 } {a n b m c m d n : n,m > 0} Equivalencia Dos gramáticas 1 y 2 son equivalentes si generan el mismo lenguaje, L( 1 )=L( 2 ) Dos gramáticas 1 y 2 son casi-equivalentes si generan el mismo lenguaje, con excepción de la cadena vacía L( 1 )=L( 2 ) { }

15 Simplificación de gramáticas incontextuales Una gramática incontextual =(N,, P, S) diremos que está simplificada si (1) Todos sus símbolos son útiles (1.1) enerativos N : (1.2) lcanzables ( N): w w (2) No contiene producciones unitarias * S * *, ( N) B, B N * (3) No contiene producciones vacías N Para toda gramática incontextual 1 existe una gramática incontextual 2 simplificada tal que L( 2 ) = L( 1 ) { }

16 Formas Normales en las gramáticas incontextuales Una gramática incontextual =(N,, P, S) diremos que está en Forma Normal de Chomsky si todas sus producciones toman una de las dos siguientes formas (1) BC, B, C N (2) a a Para toda gramática incontextual 1 existe una gramática incontextual 2 en Forma Normal de Chomsky tal que L( 2 ) = L( 1 ) { } Una gramática incontextual =(N,, P, S) diremos que está en Forma Normal de reibach si todas sus producciones son de la forma a a N* Para toda gramática incontextual 1 existe una gramática incontextual 2 en Forma Normal de reibach tal que L( 2 ) = L( 1 ) { }