Teoría de Lenguajes. Clase Teórica 1 Gramáticas y Jerarquía de Chomsky. Primer cuartimestre 2016

Transcripción

1 Teoría de Lenguajes Clase Teórica 1 ramáticas y Jerarquía de Chomsky Primer cuartimestre 2016 Material compilado por Julio Jacobo a lo largo de distintas ediciones de la materia Teoría de Lenguajes en el Departamento de Computación, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, y recientemente revisado por Verónica Becher. Bibliografía: Capítulo 1. An Introduction to Formal Language Theory, Michael Harrison, Addison Wesley, Capítulo 1, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, J. Hopcroft, R. Motwani, J. Ullman, Second Edition, Addison Wesley, Capítulo 1, The Theory of Parsing, Translating and Compiling, Volume 1: Parsing, Aho, J. Ullman, Prentice-Hall, Alfabeto Es un conjunto finito, no vacío, de elementos o caracteres. Cadena Es una secuencia finita de elementos (cero o más) de un alfabeto. Dado el alfabeto: Σ ta, j, ru, tenemos como cadenas posibles: aaj, rja, raja, jarra, etc. Cadena nula λ No tiene símbolos. Lenguaje sobre un alfabeto Σ: conjunto de cadenas sobre un alfabeto Σ. : φ es un lenguaje tλu es un lenguaje (notar que es distinto de φ) Dado Σ t0, 1u, t0, 01, 011, 0111, 01111,......u, es un lenguaje sobre Σ. Concatenación Es una operación entre un símbolo del alfabeto Σ y una cadena sobre dicho alfabeto : Σ ˆ tcadenas sobre Σu Ñ tcadenas sobre Σu. Si el alfabeto es Σ ta, b, cu, α ab es una cadena, y entonces a ab aab es también una cadena. Cadena nula λ Es el neutro de la P Σ, a λ a 1

2 Concatenación de cadenas Definimos la operación de concatenación de dos cadenas. Supongamos cadenas x, y donde x tiene n símbolos a 1 a 2... a n. Entonces,. x y x 1 px 2... px n yq...q Para facilitar la notación, en adelante no escribiremos el símbolo. Concatenación de lenguajes Sea L 1 un lenguaje definido sobre el alfabeto Σ 1, y sea L 2 un lenguaje definido sobre el alfabeto Σ 2. Definimos la concatenacion de L 1 y L 2 como el lenguaje definido sobre el alfabeto Σ 1 Y Σ 2. Clausura de Kleene de un alfabeto Σ: el lenguaje Σ λ P Σ Si pa P Σ y α P Σ q entonces aα P Σ L 1 L 2 txy : x P L 1 ^ y P L 2 u, Clausura positiva de un alfabeto Σ: el lenguaje Σ` Si (a P Σ y α P Σ ) entonces aα P Σ`. Sea Σ ta, j, ru, entonces arj P Σ Clausura de Kleene de un lenguaje L: el lenguaje L Se define por: L 0 tλu L n LL n 1 para n ě 1 L Ť L n. ně0 porque jλ j P Σ, rj rj P Σ, y arj arj P Σ. Clausura positiva de un lenguaje L: el lenguaje L` Se define por: L` Ť L n. ně1 De lo anterior se ve que L` LL L L, y que L L` Y tλu. Y si L es un lenguaje definido sobre Σ, entonces, L Ď Σ. Relaciones Definición. Dados los conjuntos A y B, se llama relación de A en B a cualquier subconjunto de A ˆ B. Notación Si R es una relación de A en B, o sea, R Ă A ˆ B, podemos escribir R : A Ñ B. Si B A se dice que R es una relación sobre A. a R b denota que el par pa, bq pertenece a la relación R, esto es, pa, bq P R. 2

3 Figura 1: a) relación R tpa, bq, pa, dq, pb, cqu, b) clausura reflexiva, c) clausura simétrica, d) clausura transitiva. Propiedades de una relación R sobre A Reflexividad Una relación R Ď A ˆ A es reflexiva cuando todo elemento de A está relacionado consigo mismo, o sea, P A, pa, aq P R. R: "ď"sobre N. Simetría Una relación R Ď A ˆ A es simétrica cuando el hecho de que el par pa, bq pertenece a la relación R implica que el par pb, aq también pertenece a dicha relación, o sea, b P A, pa, bq P R ñ pb, aq P R. R: " "sobre N. Transitividad Una relación R Ď A ˆ A es transitiva cuando el hecho de que los pares pa, bq y pb, cq pertenecen a la relación R implica que el par pa, cq también pertenece a dicha relación, o sea, b, c P A, pa, bq P R ^ pb, cq P R ñ pa, cq P R. R: "a paralela a b", en el conjunto de rectas del plano. Relación de equivalencia Una relación es de equivalencia, cuando es reflexiva, simétrica y transitiva. Propiedad: Una relación de equivalencia sobre un conjunto A particiona al mismo en subconjuntos disjuntos a los cuales se los llama clases de equivalencia. 3

4 Composición de relaciones: Sean A, B y C tres conjuntos, y sean R y dos relaciones tales que R Ď AˆB y Ď BˆC. La relación de composición R Ď A ˆ C se define como R tpa, cq, a P A, c P C : Db P B tal que arb ^ bcu. Relación de identidad: Una relación R definida sobre A es de identidad (id A ) si se cumple b P A, a id A b si y solo si a b. Propiedad: La relación de identidad es el elemento neutro de la composición. Dada una relación R Ď A ˆ B es cierto que id B R R id A R Relación potencia: Dada una relación R Ď A ˆ A, y dado n se define R n Ď A ˆ A como: " R n ida si n 0 R R n 1 si n ą 0 con R R 1. Aclaración: Notar que R n es una relación (o sea, un conjunto de pares), cualquiera sea el valor de n. Clausura transitiva Dada una relación R sobre A, se define clausura transitiva R` como: R` 8ď R k, k 1 Propiedades: Una clausura transitiva cumple que 1. R Ď R` 2. R` es transitiva 4

5 3. para toda relación sobre A si R Ď ^ transitiva entonces R` Ď. Demostración: R` es transitiva Queremos probar que si ar`b y br`c enonces ar`c. Si ar`b, entonces existe una secuencia de elementos d 1,..., d n tal que d 1 Rd 2,..., d n 1 Rd n, donde d 1 a y d n b. Por lo tanto, ar n b. Análogamente, como br`c entonces existe una secuencia de elementos e 1,..., e m tal que e 1 Re 2,..., e m 1 Re m, donde e 1 b y e m c. Por lo tanto br m c. Concluimos que ar n`m c, lo que a su vez implica que ar`c. Demostración: Si R Ď ^ transitiva entonces R` Ď si ar`b entonces existe una secuencia de elementos c 1,..., c n tal que c 1 Rc 2,..., c n 1 Rc n, donde c 1 a y c n b. Como R Ď tenemos que c 1 c 2,..., c n 1 c n, y como es transitiva entonces, la aplicación repetida de la transitividad nos lleva a que c 1 c n, o sea ab. Clausura transitiva reflexiva: R 8ď R R` Y id R i. i 0 ramáticas Definición Una gramática es una 4-upla xv N, V T, P, Sy donde V N es un conjunto de símbolos llamados no-terminales (también, variables o categorías sintácticas) V T es un conjunto de símbolos terminales (tal como lo era Σ en los ejemplos anteriores) P es el conjunto de producciones, que es un conjunto finito de pv N Y V T q V N pv N Y V T q ˆ pv N Y V T q, estas producciones son entonces pares ordenados pα, βq, que usualmente son notados como α Ñ β. S P V N es el símbolo distinguido de V N. Forma sentencial de una gramática xv N, V T, P, Sy S es una forma sentencial de. Si αβγ es una forma sentencial de, y pβ Ñ δq P P, entonces αδγ es también una forma sentencial de. Derivación directa en Si αβγ P pv N Y V T q y pβ Ñ δq P P, se dice que αδγ se deriva directamente en de αβγ y se denota como Entonces, Ñ es una relación sobre pv N Y V T q, es decir, αβγ Ñ αδγ. Ñ Ď pv N Y V T q ˆ pv N Y V T q. Podemos componer la relación Ñ consigo misma, 0 o más veces... 5

6 Clausura de Kleene de la relación de derivación Ñ 0 Ñ idpvn YV T q k Si n ą 0, Ñ Ñ k 1 Ñ ` Ñ 8ď k Ñ k 1 ` Ñ Ñ Y idpvnyv T q Definición Denotaremos con k Ñ a la potencia k de la relación Ñ. Definición Denotaremos con `Ñ y con Ñ a las clausura transitiva y a la clausura transitiva y reflexiva de Ñ respectivamente. Definición Lenguaje generado por una gramática xv N, V T, P, Sy, el cual se denotará como L pq,! L pq α P V T : S `Ñ ) α Clasificación de gramáticas (Chomsky) Clasificación de gramáticas (Chomsky) ramáticas regulares (tipo 3) 3 (las más simples), 2, 1, 0 (las más sofisticadas) Las producciones son de la forma A Ñ xb o A Ñ x, donde A, B P V N y x P V T. La gramática es llamada regular lineal a derecha. Las producciones son de la forma A Ñ Bx o A Ñ x, donde A, B P V N y x P V T. La gramática es llamada regular lineal a izquierda. Ambos tipos de gramática son llamados regulares. Clasificación de gramáticas (Chomsky) ramáticas independientes del contexto (tipo 2) (también llamadas libres de contexto) Cada producción es de la forma A Ñ α, donde A P V N y α P pv N Y V T q. Clasificación de gramáticas (Chomsky) ramáticas Dependientes del contexto (tipo 1) (también llamada sensitiva al contexto) Cada producción es de la forma S Ñ λ o de la forma αaγ Ñ αβγ donde A P V N ; α, γ P pv Y V T q ; β P pv N Y V T q`. (Notar que esta segunda forma impide la generación de la cadena nula λ) 6

7 Clasificación de gramáticas (Chomsky) Sin restricciones (tipo 0) No poseen ninguna restricción. Lenguaje generado por una gramática Un lenguaje generado por una gramática tipo t es llamado lenguaje t. de gramática tipo 3 (regular) xts, A, B, Cu, ta, b, cu, S, P y, donde P está dado por S Ñ aa A Ñ ab A Ñ aa B Ñ bb B Ñ bc C Ñ cc C Ñ c Derivación de aabbbbccc S Ñ aa Ñ aab Ñ aabb Ñ aabbb Ñ aabbbb Ñ aabbbbc Ñ aabbbbcc Ñ aabbbbccc Ñ aabbbbccc genera el lenguaje a n b m c k : m ě 2; n, k ě 1 (. de gramática tipo 2 (independiente del contexto) xte, T, F u, ta, `,, p, qu, E, P y donde P está dado por E Ñ E ` T E Ñ T T Ñ T F T Ñ F F Ñ peq F Ñ a Derivación de a pa ` aq donde E Ñ T Ñ T F Ñ T peq Ñ F peq Ñ a peq Ñ a pe ` T q Ñ a pt ` T q Ñ a pf ` T q Ñ a pa ` T q Ñ a pa ` F q Ñ a pa ` aq de gramática tipo 1 (dependiente del contexto): amática xts, B, Cu, ta, b, cu, S, P y, donde P está dado por S Ñ asbc CB Ñ BC bb Ñ bb cc Ñ cc S Ñ abc bc Ñ bc 7

8 Derivación de aaabbbccc: S Ñ Ñ asbc Ñ aasbcbc Ñ aaabcbcbc Ñ aaabbccbc Ñ aaabbcbcc Ñ aaabbbccc Ñ aaabbbccc Ñ aaabbbccc Ñ aaabbbccc Ñ aaabbbccc Ñ aaabbbccc de gramática tipo 0 (sin restricciones): ramática para generar ww : w P ta, bu ( pts, A, B, C, Du, ta, bu, S, P q, donde P está dado por S Ñ CD AD Ñ ad Aa Ñ aa Ba Ñ ab C Ñ λ C Ñ aca BD Ñ bd Ab Ñ ba Bb Ñ bb D Ñ λ C Ñ bcb derivación de abaaabaa S Ñ CD Ñ acad Ñ abcbad Ñ abacabad Ñ abaacaabad Ñ abaaaabad Ñ abaaaabad Ñ abaaaaabd Ñ abaaaaabd Ñ abaaaaabd Ñ abaaaaabd Ñ abaaaabad Ñ abaaabaad Ñ abaaabaad Ñ abaaabaad Ñ abaaabaad Ñ abaaabaa 8