9 La Jerarquía de Chomsky

Transcripción

1 1 Curso Básico de Computación 9 La Jerarquía de Chomsky De las tres principales clases de lenguajes que se han estudiado -los conjuntos regulares, los lenguajes libres de contexto, y los lenguajes recursivamente enumerables- únicamente los LLC son los que se han caracterizado gramaticalmente. En este capítulo, se darán definiciones gramaticales de los conjuntos regulares y los lenguajes r.e. También, se introducirá una nueva clase de lenguajes, que viven entre los LLC y los lenguajes r.e., proporcionando ambas caracterizaciones máquina y gramatical para esta nueva clase. Las cuatro clases de lenguajes son a menudo llamadas la jerarquía de Chomsky, en honor a Noam Chomsky, quién definió estas clases como modelos potenciales de lenguajes naturales. 9.1 Gramáticas Regulares Si todas las producciones de una GLC son de la forma A wb o A w, donde A y B son variables y w es una cadena de terminales (posiblemente vacía), entonces se dice que la gramática es lineal derecha. Si todas las producciones son de la forma A Bw o A w, entonces la gramática se llama lineal izquierda. Una gramática lineal derecha o izquierda se conoce como gramática regular. Ejemplo 9.1 El lenguaje 0(10) puede ser generado por la gramática lineal derecha y por la gramática lineal izquierda S 0A A 10A ɛ S S10 0 Equivalencia entre gramáticas regulares y autómatas finitos Las gramáticas regulares caracterizan a los conjuntos regulares, en el sentido de que un lenguaje es regular si y sólo si tiene una gramática lineal izquierda y si y sólo si tiene una gramática lineal derecha. Estos resultados se prueban en los dos teoremas siguientes. Teorema 9.1 Si L tiene una gramática regular, entonces L es un conjunto regular.

2 Feliú Sagols Troncoso Matemáticas-Cinvestav 2 Demostración Primero, supóngase que L = L(G) para alguna gramática lineal derecha G = (V, T, P, S). Se construye un AFND con movimientos ɛ, M = (Q, T, δ, [S], {[ɛ]}) que simule derivaciones en G. Q consiste de los símbolos [α] tales que α es S o un sufijo (no necesariamente propio) del lado derecho de alguna producción en P. Defínase δ por: 1. Si A es una variable, entonces δ([a], ɛ) = {[α] A α es una producción}. 2. Si a está en T y α está en T T V, entonces δ([aα], a) = {[α]}. Entonces una sencilla inducción sobre la longitud de una derivación o sucesión de movimientos muestra que δ([s], w) contiene [α] si y sólo si S xa xyα, donde A yα es una producción y xy = w, o si α = S y w = ɛ. Como [ɛ] es el estado final único, M acepta w si y sólo si S xa w. Pero como cada derivación de una cadena terminal tiene por lo menos un paso, se puede ver que M acepta w si y sólo si G genera a w. Por lo tanto, cada gramática lineal derecha genera un conjunto regular. Ahora, sea G = (V, T, P, S) una gramática lineal izquierda. Considérese G = (V, T, P, S) donde P contiene las producciones de G con lados derechos invertidos, esto es, P = {A α A α R está en P }. Si se invierten las producciones de una gramática lineal izquierda se obtiene una gramática lineal derecha, y viceversa. Así, G es una gramática lineal derecha, y es fácil mostrar que L(G ) = L(G) R. Por lo anterior, L(G ) es un conjunto regular. Pero como los conjuntos regulares son cerrados bajo inversión, entonces L(G ) R = L(G) es también un conjunto regular. Luego, cada gramática lineal derecha o izquierda define un conjunto regular. Ejemplo 9.2 El AFND construido por el Teorema 9.1 a partir de la primera gramática del Ejemplo 9.1 se muestra en la siguiente figura: Start [S] ε [0A] 0 [A] ε [ ε ] 1 ε [10A] Ahora considérese la segunda gramática del Ejemplo 9.1. Si se invierten sus producciones, se obtiene

3 3 Curso Básico de Computación S 01S 0 La construcción en el Teorema 9.1 para esta gramática produce el AFND de la siguiente figura: ε 0 Start [S] [01S] [1S] 1 ε [0] 0 [ ε] Si se invierten las aristas de dicho AFND e intercambian los estados inicial y final, se obtiene otro AFND para 0(10) : 0 ε 1 Start [ ε ] [0] [S] [1S] [01S] ε 0 Teorema 9.2 Si L es un conjunto regular, entonces L es generado por alguna gramática lineal izquierda y por alguna gramática lineal derecha. Demostración Sea L = L(M) para el AFD M = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Primero supóngase que q 0 no es un estado final. Entonces L = L(G) para la gramática lineal derecha G = (Q, Σ, P, q 0 ), donde P consiste de las producciones p aq cuando δ(p, a) = q y p a cuando δ(p, a) es un estado final. Entonces claramente, δ(p, w) = q si y sólo si p wq. Si wa es aceptada por M, sea δ(q 0, w) = p, lo que implica que q 0 wp. También, δ(p, a) es final, entonces p a es una producción. Así, q 0 wa. Recíprocamente, se tiene q 0 x. Entonces x = wa, y q 0 wp wa para algún estado (variable) p. Entonces δ(q 0, w) = p, y δ(p, a) es final. Así x está en L(M). Por lo tanto, L(M) = L(G) = L. Ahora supóngase que q 0 está en F, entonces ɛ está en L. Notése que la gramática G definida arriba genera L {ɛ}. La gramática G puede modificarse añadiendo un nuevo símbolo de inicio S con producciones S q 0 ɛ. La gramática resultante sigue siendo lineal derecha y genera a L. Para producir una gramática lineal izquierda para L, se comienza con un AFND que acepte L R y entonces se invierten los lados derechos de todas las producciones de la gramática lineal derecha resultante. Ejemplo 9.3 En la siguiente figura se puede ver un AFD para 0(10).

4 Feliú Sagols Troncoso Matemáticas-Cinvestav 4 Start A 1 0 B C D 0,1 La gramática lineal derecha para este AFD es: A 0B 1D 0 B 0D 1C C 0B 1D 0 D 0D 1D Como D es una variable inútil, puede eliminarse y obtener la gramática: A 0B 0 B 1C C 0B Gramáticas sin Restricción La familia más grande de gramáticas en la jerarquía de Chomsky permite producciones de la forma α β, donde α y β son cadenas arbitrarias de símbolos de gramáticas, con α ɛ. Estas gramáticas se conocen como semi-thue, tipo 0, estructura de frase o gramáticas sin restricción. Se continuará usando la notación G = (V, T, P, S) para gramáticas sin restricción. Se dice que γαδ γβδ si α β es una producción. Tal como antes, representa la cerradura transitiva y reflexiva de la relación : exactamente como para las GLC. L(G) = {w w está en T y S w}, Ejemplo 9.4 A continuación se presenta una gramática que genera {a i i es potencia positiva de 2}.

5 5 Curso Básico de Computación 1) S ACaB 2) Ca aac 3) CB DB 4) CB E 5) ad Da 6) AD AC 7) ae Ea 8) AE ɛ Las variables A y B sirven como los marcadores finales izquierdo y derecho de las formas sentenciales; C es un marcador que se mueve a través de la cadena de a s entre A y B, duplicando su número debido a la producción (2). Cuando C coincide con el marcador final derecho B, se convierte en D o E según la producción (3) o (4). Si se escoge D, dicha variable se mueve a la izquierda por la producción (5) hasta que el marcador final izquierdo A sea alcanzado. En este punto, D se convierte otra vez en C por la producción (6), y el proceso comienza nuevamente. Si se elige E, el marcador final derecho desaparece. La variable E se mueve a la izquierda por la producción (7) y consume el marcador final derecho, dejando una cadena de 2 i a s para algún i > 0. Se puede probar por inducción sobre el número de pasos en la derivación que si la producción (4) no es utilizada, entonces cualquier forma sentencial es 1. o S, 2. o de la forma Aa i Ca j B, donde i + 2j es una potencia positiva de 2, 3. o de la forma Aa i Da j B, donde i + j es una potencia positiva de 2. Cuando se usa la producción (4) queda una forma sentencial Aa i E, donde i es una potencia positiva de 2. Entonces los únicos pasos posibles en una derivación son i aplicaciones de (7) para producir AEa i seguidos de una aplicación de (8), lo que produce a i donde i es una potencia positiva de 2. Equivalencia entre gramáticas de tipo 0 y máquinas de Turing Los siguientes dos teoremas prueban que las gramáticas sin restricción caracterizan los lenguajes recursivamente enumerables (r.e.). El primer teorema afirma que todo lenguaje de tipo 0 genera un conjunto recursivamente enumerable. Una sencilla prueba bastaría para dar un algoritmo que enumere todas las cadenas generadas por una gramática de tipo 0. En vez de esto, se construye una máquina de Turing que reconoce enunciados generados por una gramática de tipo 0, ya que esta construcción servirá más

6 Feliú Sagols Troncoso Matemáticas-Cinvestav 6 tarde para una prueba similar sobre gramáticas sensibles al contexto (la clase que resta en la jerarquía de Chomsky). Teorema 9.3 Si L es L(G) para la gramática sin restricción G = (V, T, P, S), entonces L es un lenguaje recursivamente enumerable. Demostración Se contruye una máquina de Turing no determinística M con dos cintas que reconoce L. La primer cinta de M es la entrada, sobre la cual se coloca una cadena w. La segunda cinta se usa para mantener una forma sentencial α de G. La máquina M inicializa α con S. Entonces M hace lo siguiente repetidamente: 1. Selecciona de manera no determinística una posición i en α, para que cualquier i entre 1 y α pueda ser elegido. Esto es, empieza a la izquierda y repetidamente elige moverse a la derecha o selecciona la posición actual. 2. Selecciona de manera no determinística una producción β γ de G. 3. Si β aparece comenzando en la posición i de α, reemplaza β por γ, u- sando la técnica de corrimiento de la sección 7.4, quizás recorriendo a la izquierda si γ < β. 4. Compara la forma sentencial resultante con w en la cinta 1. Si coinciden, acepta; w es una sentencia de G. Si no, se va al paso (1). Es fácil mostrar que todas y cada una de las formas sentenciales de G aparecen en la cinta 2 cuando se ejecuta el paso (4) después de alguna sucesión de elecciones. Así, L(M) = L(G) = L, luego, L es recursivamente enumerable. Teorema 9.4 Si L es un lenguaje r.e., entonces L = L(G) para alguna gramática G sin restricción. Demostración Supóngase que L es aceptado por una máquina de Turing M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F ). Se construye una gramática G que genera de manera no determinística 2 copias de una representación de alguna palabra en Σ y que luego simula la acción de M sobre una copia. Si M acepta la palabra, entonces G convierte la segunda copia en una cadena terminal. Si M no la acepta, la derivación nunca llevará a una cadena terminal. Formalmente, sea donde y las producciones en P son: G = (V, Σ, P, A 1 ), V = ((Σ {ɛ}) Γ) {A 1, A 2, A 3 }

7 7 Curso Básico de Computación 1) A 1 q 0 A 2 2) A 2 [a, a]a 2 para cada a en Σ. 3) A 2 A 3 4) A 3 [ɛ, B]A 3 5) A 3 ɛ 6) q[a, X] [a, Y ]p para cada a en Σ ɛ y cada q en Q y; X y Y en Γ, tal que δ(q, X) = (p, Y, R). 7) [b, Z]q[a, X] p[b, Z][a, Y ] para cada X, Y y Z en Γ, a y b en Σ ɛ y q en Q, tal que δ(q, X) = (p, Y, L). 8) [a, X]q qaq, q[a, X] qaq, y q ɛ para cada a en Σ ɛ, X en Γ, y q en F. Aplicando las reglas (1) y (2), se tiene que A 1 q 0 [a 1, a 1 ][a 2, a 2 ] [a n, a n ]A 2, donde a i está en Σ para cada i. Supóngase que M acepta la cadena a 1 a 2 a n. Entonces para alguna m, la máquina M no usa más que m celdas hacia la derecha de su entrada. Aplicando la regla (3), luego, la regla (4) m veces, y finalmente la regla (5), se tiene A 1 q 0 [a 1, a 1 ][a 2, a 2 ] [a n, a n ][ɛ, B] m. A partir de este punto, sólo las reglas (6) y (7) pueden usarse hasta que un estado de aceptación se genere. Nótese que las primeras componentes de las variables en (Σ ɛ) Γ nunca cambian. Se puede mostrar por inducción sobre el número de movimientos hechos por M que si entonces q 0 a 1 a 2 a n * M X 1 X 2 X r 1 qx r X s, q 0 [a 1, a 1 ][a 2, a 2 ] [a n, a n ][ɛ, B] m * G [a 1, X 1 ][a 2, X 2 ] [a r 1, X r 1 ]q[a r, X r ] [a n+m, X n+m ], donde a 1, a 2,..., a n están en Σ, a n+1 = a n+2 = = a n+m = ɛ, X 1, X 2,..., X n+m están en Γ, X s+1 = X s+2 = = X n+m = B. La hipótesis inductiva se cumple trivialmente para cero movimientos, ya que r = 1 y s = n. Supóngase válido para k 1 movimientos y sea q 0 a 1 a 2 a n k 1 M X 1 X 2 X r 1 qx r X s M Y 1 Y 2 Y t 1 py t Y u. Por hipótesis inductiva, q 0 [a 1, a 1 ] [a n, a n ][ɛ, B] m * G [a 1, X 1 ] [a r 1, X r 1 ]q[a r, X r ] [a n+m, X n+m ],

8 Feliú Sagols Troncoso Matemáticas-Cinvestav 8 donde las a s y X s satisfacen las condiciones a 1, a 2,..., a n están en Σ, a n+1 = a n+2 = = a n+m = ɛ, X 1, X 2,..., X n+m están en Γ, X s+1 = X s+2 = = X n+m = B. Si t = r + 1, entonces el k-ésimo movimiento de M es hacia la derecha, luego, δ(q, X r ) = (p, Y r, R). Por la regla (6), q[a r, X r ] [a r, Y r ]p es una producción de G. Así q 0 [a 1, a 1 ] [a n, a n ][ɛ, B] m * G [a 1, Y 1 ] [a t 1, Y t 1 ]p[a t, Y t ] [a n+m, Y n+m ], donde Y i = B para i > u. Si t = r 1, entonces el k-ésimo movimiento de M es hacia la izquierda, y q 0 [a 1, a 1 ] [a n, a n ][ɛ, B] m * G [a 1, Y 1 ] [a t 1, Y t 1 ]p[a t, Y t ] [a n+m, Y n+m ], se puede probar aplicando la regla (7) y las observaciones de que r > 1 y δ(q, X r ) = (p, Y r, L). Por la regla (8), si p está en F entonces [a 1, Y 1 ] [a t 1, Y t 1 ]p[a t, Y t ] [a n+m, Y n+m ] a 1 a 2 a n. Se ha mostrado así que si w está en L(M), entonces A 1 w, entonces w está en L(G). Para el recíproco, es decir, que w en L(G) implica que w está L(M), una inducción similar a la anterior muestra que implica q 0 [a 1, a 1 ][a 2, a 2 ] [a n, a n ][ɛ, B] m * G [a 1, X 1 ][a 2, X 2 ] [a r 1, X r 1 ]q[a r, X r ] [a n+m, X n+m ], q 0 a 1 a 2 a n * M X 1 X 2 X r 1 qx r X s. Entonces nótese que no hay manera de remover el estado de M de las formas sentenciales de G sin aplicar la regla (8). Así G no puede derivar una cadena terminal sin simular un proceso de aceptación de M. Por la regla (8), la cadena derivada debe ser la primer componente de las variables en (Σ {ɛ}) Γ, las cuales nunca cambian al simular los movimientos de M. 9.3 Gramáticas Sensibles al Contexto Supógase que se impone la restricción sobre las producciones α β de una gramática irrestricta de que β tenga por lo menos la longitud de α. Entonces la gramática resultante se llama sensible al contexto y su lenguaje se conoce como lenguaje sensible al contexto(gsc y LSC, respectivamente). El término sensible al contexto proviene de una forma normal para estas

9 9 Curso Básico de Computación gramáticas, donde cada producción es de la forma α 1 Aα 2 α 1 βα 2, con β ɛ. Las producciones de la forma anterior se parecen a las producciones en una gramática libre de contexto, sólo que las primeras permiten la sustitución de la variable A por la cadena β sólo en el contexto α 1 α 2. Casi cualquier lenguaje puede pensarse como sensible al contexto. Las únicas pruebas conocidas de que ciertos lenguajes no son LSC se basan en la técnica de diagonalización. Estos incluyen al lenguaje L u del capítulo 8 y los lenguajes que se pueden reducir a L u, por ejemplo, los lenguajes del capítulo 8 probados como indecidibles. En la sección 9.4 se probará que existen lenguajes recursivos que no son LSC, y en el capítulo 12 se refinará esta afirmación. En ambos casos, las pruebas se hacen por diagonalización. Ejemplo 9.5 Considérese nuevamente la gramática del Ejemplo 9.4. Existen dos producciones que violan la definición de una gramática sensible al contexto. Estas son CB E y AE ɛ. Se puede construir una GSC para el lenguaje {a 2i i 1} haciendo que A, B, C, D, y E no sean más que marcadores, los cuales desaparecerán finalmente. En lugar de usar variables por separado para los marcadores, estos marcadores pueden incorporarse a las a s creando variables compuestas como [CaB], que son en realidad, un solo símbolo que aparece en lugar de la cadena CaB. El conjunto completo de símbolos compuestos necesario para simular la gramática del Ejemplo 9.4 es [ACaB], [Aa], [ACa], [ADa], [AEa], [Ca], [Da], [Ea], [acb], [CaB], [adb], [ae], [DaB] y [ab]. Las producciones de la gramática sensible al contexto, las cuales se agrupan de acuerdo a la producción que simulan del Ejemplo 9.4, son:

10 Feliú Sagols Troncoso Matemáticas-Cinvestav 10 1) S [ACaB] 2) [Ca]a aa[ca] [Ca][aB] aa[cab] [ACa]a [Aa]a[Ca] [ACa][aB] [Aa]a[CaB] [ACaB] [Aa][aCB] [CaB] a[acb] 3) acb [adb] 4) [acb] [ae] 5) a[da] [Da]a [adb] [DaB] [Aa][Da] [ADa]a a[dab] [Da][aB] [Aa][DaB] [ADa][aB] 6) [ADa] [ACa] 7) a[ea] [Ea]a [ae] [Ea] [Aa][Ea] [AEa]a 8) [AEa] a Se puede probar directamente que S α en la gramática del ejemplo 9.4 si y sólo si S α en la GSC actual, donde α se forma a partir de α agrupando con una a todos los marcadores (A hasta E) que aparecen entre ella y la a a su izquierda y agrupando con la primera a cualesquiera marcadores hacia su izquierda con la última a cualesquiera marcadores hacia su derecha. Por ejemplo, si α = AaaCaB, entonces α es [Aa]a[CaB]. Autómatas Lineales Acotados Ahora se introducirá una caracterización de los LSC. Un autómata lineal acotado (ALA) es una máquina de Turing no determinística que satisface las dos condiciones siguientes: 1. Su alfabeto de entrada incluye dos símbolos especiales c y $, los marcadores finales izquierdo y derecho, respectivamente. 2. El ALA no tiene movimientos a la izquierda de c o a la derecha de $, ni siquiera puede escribir otro símbolo sobre c o $. El autómata lineal acotado es simplemente una máquina de Turing que en lugar de tener una cinta infinita sobre la cual escribir, se restringe a la porción de la cinta que contiene a la entrada x más los dos cuadros de cinta que guardan a los marcadores finales. En el capítulo 12, se verá que restringir la máquina de Turing a una cantidad de cinta que, para cada entrada, está acotada por alguna función lineal

11 11 Curso Básico de Computación de la longitud de la entrada, tiene la misma capacidad computacional que restringir la máquina de Turing a la porción de la cinta que contiene la entrada. De ahí el nombre de autómata lineal acotado. Un ALA se denotará por M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, c, $, F ), donde Q, Σ, Γ, δ, q 0 y F son como en la definición de MT no determinística; c y $ son símbolos en Σ, los marcadores finales izquierdo y derecho. El lenguaje aceptado por M, L(M), es {w w está en (Σ {c, $}) y q 0 c w$ αqβ para alguna q en F }. Nótese que los marcadores finales están inicialmente sobre la cinta de entrada pero no se considerán parte de la palabra a ser aceptada o rechazada. Como un ALA no puede moverse fuera de la entrada, no es necesario suponer que hay cinta en blanco a la derecha de $. Equivalencia entre gramáticas sensibles al contexto y autómatas lineales acotados Ahora se mostrará que excepto por el hecho de que un ALA puede aceptar ɛ mientras una GSC no puede generar ɛ, los ALA aceptan exactamente a los LSC. Teorema 9.5 Si L es un LSC, entonces L es aceptado por algún ALA. Demostración La prueba es casi la misma que la del Teorema 9.3. La única diferencia es que mientras la MT del Teorema 9.3 generaba formas sentenciales de una gramática sin restricción sobre una segunda cinta, el ALA utiliza una segunda pista de su cinta de entrada. Al encontrar c w$ en su cinta, el ALA comienza escribiendo el símbolo S sobre una segunda pista abajo del símbolo más a la izquierda de w. Si w = ɛ, el ALA para sin aceptar. En seguida, el ALA adivina una producción y una posición en la forma sentencial escrita sobre la segunda pista repetidamente. Aplica la producción, intercambiando la porción de la forma sentencial a la derecha siempre que la forma sentencial se expanda. Si, sin embargo, la nueva forma sentencial es más larga que w, el ALA para sin aceptar. Así, el ALA acepta w si existe una derivación S w tal que ninguna forma sentencial intermedia es más larga que w. Pero como el lado derecho de cualquier produccción en una GSC es tan o más largo que el lado izquierdo, no podría existir una derivación S α w, donde α es más larga que w. Así el ALA acepta todas y únicamente las palabras generadas por la GSC.

12 Feliú Sagols Troncoso Matemáticas-Cinvestav 12 Teorema 9.6 Si L = L(M) para el ALA M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, c, $, F ), entonces L {ɛ} es un LSC. Demostración La prueba es análoga a la construcción de una gramática sin restricción a partir de una MT en el Teorema 9.4. Las diferencias radican en que los marcadores finales sobre la cinta del ALA deben incorporarse como símbolos de la cinta adyacentes, y el estado debe ser, a su vez, incorporado al símbolo leído por la cabeza de la cinta. La razón para esto es que si la GSC simulaba el ALA usando símbolos por separado para los marcadores finales, o estado, no podía borrar estos símbolos después, ya que ello necesitaría acortar una forma sentencial, y el lado derecho de cada producción de la GSC es por lo menos tan largo como el lado izquierdo. La generación de una sucesión de parejas, donde la primer componente de dichas parejas forma la cadena terminal a 1 a 2 a n y la segunda componente forma la cinta del ALA se logra con las producciones A 1 [a, q 0 c a]a 2, A 2 [a, a]a 2, A 1 [a, q 0 c a$], A 2 [a, a$], para toda a en Σ {c, $}. Las reglas que simulan al ALA son similares a las reglas (6) y (7) en el Teorema 9.4. Si q es final, entonces se tiene la producción [a, αqβ] a para toda a en Σ {c, $} todas las α y β posibles (esto es, α y/o β podrían incluir c, $ y un símbolo de la cinta). Nótese que el número de producciones definidas es finito. También, se permite el borrado de la segunda componente de una variable si ésta es adyacente a una terminal, por [a, α]b ab, b[a, α] ba para cualquier a y b en Σ {c, $} y todas las α s posibles. Las producciones mostradas explícitamente son sensibles al contexto. Las producciones del ALA simulado pueden construirse con facilidad de modo que preserven la longitud, así la gramática resultante es una GSC. Una prueba de que cualquier palabra w salvo ɛ es aceptada por M si y sólo si es generada por la gramática es paralela a la del Teorema 9.4. Nótese que no existe manera de que la gramática pueda configurar la entrada c $ del ALA o que simule M sobre dicha entrada. Así ɛ no puede ser generado por la gramática ya sea que esté o no en L(M).

13 13 Curso Básico de Computación 9.4 Relaciones entre las clases de lenguajes Las cuatro clases de lenguajes -los conjuntos r.e., los LSC, los LLC, y los conjuntos regulares- son a menudo referidos como lenguajes de tipo 0, 1, 2 y 3, respectivamente. Se puede mostrar que a excepción de la cadena vacía, los lenguajes tipo-i incluyen propiamente a los lenguajes tipo-(i + 1) para i = 0, 1, 2. Primero es necesario mostar que cada LSC es recursivo, y que de hecho, existen lenguajes recursivos que no son LSC. Lenguajes sensibles al contexto y conjuntos recursivos Teorema 9.7 Cada LSC es recursivo. Demostración Dado una GSC G = (V, T, P, S) y una palabra w en Σ de longitud n, se puede verificar si w está en L(G) de la manera siguiente. Constrúyase un grafo cuyos vertices son las cadenas en (V T ) de longitud menor o igual a n. Póngase un arco de α a β si α β. Entonces los caminos en el grafo corresponden a las derivaciones en G, y w está en L(G) si y sólo si existe un camino del vértice para S al vértice para w. Utilícese cualquier algoritmo de búsqueda de caminos para decidir si dicho camino existe. Ejemplo 9.6 Considérese la GSC del Ejemplo 9.5 y la entrada w = aa. Una manera de probar caminos en el grafo es comenzar con la cadena S, y en el i-ésimo paso encontrar las cadenas de longitud menor o igual a n teniendo un camino a partir de S de longitud menor o igual a i. Si se tiene el conjunto para i 1 por decir, S, entonces el conjunto para i es S {β α β para algún α en S y β n}. En el ejemplo se obtienen los siguientes conjuntos: i = 0 : i = 1 : i = 2 : i = 3 :. i = 6 : {S} {S, [ACaB]} {S, [ACaB], [Aa][aCB]} {S, [ACaB], [Aa][aCB], [Aa][aDB], [Aa][aE]} {S, [ACaB], [Aa][aCB], [Aa][aDB], [Aa][aE], [Aa][DaB], [Aa][Ea], [ADa][aB], [AEa]a, [ACa][aB], aa} Como para i = 6 se ve que aa es alcanzable desde S, no se necesita ir más allá. En general, como el número de formas sentenciales de longitud menor o igual a n es finito para cualquier gramática fija y un n fijo, se sabe que finalmente se llegará a un punto donde no se aumenten nuevas formas sentenciales. Como

14 Feliú Sagols Troncoso Matemáticas-Cinvestav 14 el conjunto para i depende sólo del conjunto para i 1, nunca se añadirán cadenas nuevas, así, si para entonces aún no se produce w, ésta nunca se producirá. En este caso w no está en el lenguaje. Para probar que los LSC forman un subconjunto propio de los lenguajes recursivos, se requiere probar algo más general. En particular, se demostrará que cualquier clase de lenguajes que pueda ser enumerada efectivamente, listando una o más máquinas de Turing que paren en todas las entradas, para cada miembro de la clase, es una subclase propia de los lenguajes recursivos. Lema 9.1 Sea M 1, M 2,... una enumeración para algún conjunto de máquinas de Turing que paran en todas las entradas. Entonces existe un lenguaje recursivo que no es L(M i ) para cualquier i. Demostración Sea L el subconjunto de (0 + 1) tal que w está en L si y sólo si M i no acepta w, donde i es el entero cuya representación binaria es w. L es recursivo, ya que dado w, se puede generar M i y verificar si w está o no en L(M i ). Pero ninguna MT de la lista acepta L. Supóngase que L fuera L(M j ), y sea x la representación binaria de j. Si x está en L, entonces x no está en L(M j ), y si x no está en L, entonces x está en L(M j ). Así L L(M j ) como se supuso. Por lo tanto, L es un lenguaje recursivo que no es L(M j ) para cualquier j. Teorema 9.8 Existe un lenguaje recursivo que no es sensible de contexto. Demostración Por el Lema 9.1, sólo se necesita mostrar que se pueden enumerar máquinas de Turing que se detienen para los LSC sobre el alfabeto {0,1}. Sea la representación cuádruple para GSC con alfabeto terminal {0,1} dada por alguna codificación binaria. Por ejemplo, se pueden denotar 0, 1, coma,, {, }, ( y ) por 10, 100,...,10 8, repectivamente, y denotar a la i-ésima variable por 10 i+8. Sea M j la máquina de Turing que implementa el algoritmo del Teorema 9.7 y que reconoce al lenguaje de la GSC con código binario j. Claramente, M j siempre para ya sea su entrada sea aceptada o no. Entonces el teorema se sigue inmediatamente del Lema 9.1. El Teorema de la Jerarquía Teorema 9.9 (a) Los conjuntos regulares están contenidos propiamente en los lenguajes libres de contexto. (b) Los LLC que no contienen a la cadena vacía, están contenidos propiamente en los lenguajes sensibles al contexto. (c) Los LSC están contenidos propiamente en los conjuntos r.e. Demostración El inciso (a) se sigue del hecho de que toda gramática regular es una GLC, y {0 n 1 n n 1} es un ejemplo de un LLC que no es regular. La parte (b) se prueba notando que cada GLC escrita en forma normal de Chomsky es una GSC. El conjunto {a 2i i 1} es un LSC que puede ser fácilmente

15 15 Curso Básico de Computación probado no ser un LLC por el lema de bombeo. Para el inciso (c) toda GSC es una gramática sin restricción. La contención propia se sigue del Teorema 9.8.