Máquinas de Turing. Definición 2

Transcripción

1 Definición 1 La Máquina de Turing (MT) es el modelo de autómata com máxima capacidad computacional: la unidad de control puede desplazarse a izquierda o derecha y sobreescribir símbolos en la cinta de entrada. Definición 2 Una Máquina de Turing (MT), M = (Q, Σ, Γ, q 0, T, B, δ)

2 donde: 1. Q es un conjunto finito de estados. 2. Σ es el alfabeto de entrada. 3. Γ es el alfabeto de la cinta, que incluye a Σ, Σ Γ 4. q 0 Q es el estado inicial. 5. B Γ es el símbolo blanco (el símbolo B no puede hacer parte de Σ) aparece en todas las casillas excepto en aquéllas que contienen los símbolos de entrada. 6. T Q conjunto de estados finales.

3 7. δ es la función de transición tal que: δ : Q Γ Q Γ {I, D} δ(q, X) = (p, Y, {I, D}) δ es una función parcial, es decir, No puede estar definida en algunos elementos del dominio. Definición 3 (Función parcial) Una función f, f : A B se dice que es una función parcial si C A, C, tal que x C, f(x) ( existe un subconjunto no vacío de A en el que todos los elementos tienen imagen calculable.) Observación 1 Una MT procesa una entrada w Σ colocadas sobre una cinta infinita en ambas direcciones. Para procesar la

4 cadena w, la unidad de control de M está en el estado inicial q 0 escanendo el primer símbolo de w. Las demás casillas de la cinta contienen el símbolo en blanco B. Una descripción instantánea, es una expresión de la forma: a 1 a 2... a i 1 qa i... a n donde los símbolos a 1,..., a n Γ y q Q Esta descripción instantánea a 1 a 2... a i 1 qa i... indica que la unidad de control de M está en el estado q escanendo el símbolo a i.

5 Una transición δ(q, B) = (p, s, D) en una MT requiere que el símbolo este escrito en la casilla escaneada, además la unidad de control sobre-escribe el blanco B sobre s y realiza un desplazamiento D.

6 Computos especiales Durante el cómputo o procesamiento de la palabra de entrada, hay dos situaciones especiales que se pueden presentar: 1. El cómputo termina por que en determinado momento no hay transición definida. 2. El cómputo no termina; esto es lo que se denomina un bucle infinito. Esta situación se representa así: w 1 qw 2 que indica que el cómputo que se inicia en w 1 qw 2 no se detiene nunca.

7 Lenguaje aceptado por una MT Una cadena de entrada w es aceptada por una MT M si el cómputo que se indica la configuración inicial q 0 w termina en una configuración instantánea w 1 pw 2, p es un estado de aceptación, en la cual M se detiene completamente. El lenguaje L(M) aceptado por una MT M se define como: L(M) = {w Σ : q 0 w w 1 pw 2, p T } M se para en w 1 pw 2 Si la cadena de entrada en una máquina M pertenece a L(M), la máquina M siempre se detiene. Definición 4 Las máquinas de Turing originan las siguientes clases de lenguajes: 1. L es un lenguaje recursivamente enumerable (RE) si existe una MT M tal que L(M) = L.

8 Definición 5 Sea M una máquina de Turing; se dice que L = L(M) es un lenguaje recursivamente enumerable si: x L, M se DETIENE en q T, x / L, M se DETIENE en q / T ó bien No se DETIENE. 2. L es un lenguaje recursivo si existe una MT M tal que L(M) = L y M se DETIENE con todas las cadenas de entrada. Definición 6

9 Se dice que L es un lenguaje recursivo si existe al menos una máquina de Turing M, tal que L = L(M) y x L, M se DETIENE en q T, x / L, M se DETIENE en q / T Observación 2 Todo lenguaje recursivo es recursivamente enumerable, pero la afirmación recíproca no es (en general) válida. Definición 7 Un diagrama de transición está formado por un conjunto de nodos que corresponden a los estados de la MT. la transición δ(q, a) = (p, b, D) se representa así:

10 Definición 8 El control finito estacionario es una transición que tiene la forma: δ(q, a) = (p, b, N) representa un No- donde a, b Γ y N desplazamiento. Observación 3 Los MT con transiciones estacionarias δ(q, a) = (p, b, N), aceptan los mismos lenguajes que los MT estándares. La directiva N tambien se puede simular con un movimiento a la izquierda, seguido de un retorno a la derecha. Ejemplo 1

11 Se puede construir una MT que reconozca a sobre Σ = {a, b}. Para M = (Q, Σ, Γ, q 0, T, B, δ) donde Q = {q 0, q 1 }, T = {q 1 } Sea w = aa δ(q 0, a) = (q 0, a, D) δ(q 0, B) = (q 0, a, D) q 0 aa aq 0 a aaq 0 B aabq 1 B por tanto esta máquina para en el estado q 1 y reconoce la cadena. Ejemplo 2 Se puede diseñar un MT que reconozca {0 n 1 n : n 1}

12 Cambia un 0 por una X y se mueve hacia la derecha, pasando por encima de los ceros e Y, hasta llegar al primer 1. cambia el 1 por la Y y se mueve hacia la izquierda por encima de todos los Y y de todos los ceros hasta llegar a una X y se repite el proceso hasta que sólo queden Xs y Y s.

13 La función δ se define así: δ(q 0, 0) = (q 1, X, D) δ(q 1, 0) = (q 1, 0, D) δ(q 1, X) = (q 1, X, D) δ(q 1, 1) = (q 2, Y, I) δ(q 2, Y ) = (q 2, Y, I) δ(q 2, 0) = (q 2, 0, I) δ(q 2, X) = (q 0, X, D) δ(q 0, Y ) = (q 3, Y, D) δ(q 3, Y ) = (q 3, Y, D) δ(q 3, B) = (q 4, B, D) Sea T = {q 4 } sea w = 1100 q Xq 1 11 X0q 1 11 Xq 2 0Y 1 q 2 X0Y 1 Xq 0 0Y 1 XXq 1 Y 1 XXY q 1 1 XXq 2 Y Y Xq 2 XY Y XXq 0 Y Y XXY q 3 Y XXY Y q 3 B XXY Y Bq 4 B

14 la MT para por que quedó en un estado de aceptación y la cadena es reconocida. Ejemplo 3 Se puede construir una MT que acepte el lenguaje L = {a i b i c i : i 0} sobre Σ = {a, b, c}. 1. Se cambia la a por una X y se mueve hacia la derecha pasando por encima de todas las a s e Y s, hasta llegar a la primera b, cambia la primera b por una Y, se mueve a la derecha pasando por encima de las bs y Zs y luego encuentra la primera c y la cambia por Z y se mueve a la izquierda. 2. Luego se mueva a la izquierda pasando por encima de bs, Y s, as, hasta encontrar la X la reemplaza por una X y repite el proceso anterior, cuando la

15 máquina reemplaza la cadena X, Y y Zs reconoce la cadena vacía y busca el estado de aceptación.

16 MT como calculadora de funciones Como las máquinas de Turing pueden transformar cadenas de entradas, también se utilizan como mecanismos para calcular funciones. Definición 9 Formalmente una MT M = (Q, Σ, Γ, q 0, T, B, δ) calcula una función f : Σ Γ (parcial o total) si para una entrada w se tiene: q 0 w q f v, donde v = f(w) El modelo de MT no utiliza estado de aceptación, el estado q f es llamado estado final se usa para terminar el proceso de la entrada y producir la salida. Ejemplo 4

17 Supongamos que tenemos Σ = {a, b} y que representamos los enteros positivos mediante cadenas sólo de as. Así el entero n estaría representado por a n. Se puede construir la MT que calcule la función f(n, m) = n + m, implementando la transformación a n ba m en a n+m b. Solución. Se recorren desde la izquierda todas las as hasta encontrar una b, ésta se reemplaza por una a, cambiando de estado, en este mismo estado se recorren todas las as a la derecha y cuando se llega a un blanco se reemplaza por el mismo blanco se deja la cabezera a la izquierda y se reemplaza la a por un blanco para restarle la que adiciono y se mueve hacia la derecha y se cambia al estado final q 3. Para M = (Q, Σ, Γ, q 0, q 3, B, δ) donde la

18 función δ se define así: δ(q 0, a) = (q 0, a, D) δ(q 0, b) = (q 1, a, D) δ(q 1, a) = (q 1, a, D) δ(q 1, B) = (q 2, B, I) δ(q 2, a) = (q 3, B, D)

19 MT como generadoras de lenguaje Otra de las capcidades importantes es la de generar lenguajes, tarea en la cual los estados finales son son necesarios. Concretamente una MT M = (Q, Σ, Γ, q 0, B, δ) genera un lenguaje L Σ si: 1. M comienza a operar con la cinta en blanco en el estado inicial q Cada vez que M retorna al estado inicial q 0, hay una cadena u L escrita sobre la cinta. 3. Todas las cadenas de L son, eventualmente, generadas por M. Ejemplo 5

20 El siguiente MT genera cadenas con un número par de aes sobre Σ = {a}, L = {a 2i : i 0}

21 Técnicas para la construcción de MT Existen técnicas que facilitan la construcción de MT, pero no afectan la potencia computacional del modelo ya que siempre se puede simular la solución obtenida mediante el modelo estándar. Almacenamiento en el control finito Se puede utilizar el estado de control para almacenar una cantidad finita de información. δ([q i, Γ], σ) = ([q t, Γ], β, {I, D, N}) Cada estado se representa como un par ordenado [q i, Γ] donde el primer elemento es el estado real y el segundo la información que se pretende almacenar, además σ, β Γ Ejemplo 6

22 Construir una MT que reconozca: L = Para la máquina M = (Q, Σ, Γ, q 0, T, B, δ): Q = {q 0, q 1 } {0, 1, B} Estado inicial [q 0, B] Estado final [q 1, B] La función de transición δ esta dad por: δ([q 0, B], 0) = ([q 1, 0], 0, D) δ([q 1, 0], 1) = ([q 1, 0], 1, D) δ([q 1, 0], B) = ([q 1, B], B, D) δ([q 0, B], 1) = ([q 1, 1], 1, D) δ([q 1, 1], 0) = ([q 1, 1], 0, D) δ([q 1, 1], B) = ([q 1, B], B, D)

23 Uso de subrutinas Es la misma idea cuando se trabaja en un lenguaje de alto nivel, aprovechar las ventajas del diseño modular para facilitar el diseño de la MT. En una tabla de transición se resuelve el problema de llamados: Habrá estados de llamados a subrutina q ll caracterizados por que suponen la transición al estado inicial de una subrutina

24 El estado final de la subrutina será realmente un estado de salida que permite transitar hacia un estado de return en la MT principal. Observación 4 Para obtener una MT estándar, bastaría con reescribir todas las funciones de transición como una única función de transición más grande.

25 Modificadas Hay ciertos modelos de computación relacionados con las máquinas de Turing, que poseen el mismo potencial como reconocedores de lenguajes que el modelo básico. Máquina de Turing Multicinta En el modelo de multicintas, hay n cintas diferentes y n cabezas de L/E. La función de transición para máquinas de Turing con n cintas: δ : Q Γ n Q Γ n {D, I, N} n

26 Ejemplo 7 La MT de dos cintas que reconoce el lenguaje: L = {a i b i c i : i 0} Se coloca la cadena de entrada en la primera cinta, la idea es copiar en la segunda cinta una X por cada a y cuando encuentre la primera b, se detiene en la primea cinta, luego se avanza a la derecha en la primera cinta y se avanza a la izquierda en la segunda cinta, cuando encuentra la primera c las dos cintas avanzan hacia la derecha. La función de transición δ es la siguiente, sea T = {q 3 } δ(q 0, (a, B)) = (q 0, (a, X), (D, D)) δ(q 0, (b, B)) = (q 1, (b, B), (N, D)) δ(q 1, (b, X)) = (q 1, (b, X), (D, I)) δ(q 1, (c, B)) = (q 2, (c, B), (N, D)) δ(q 2, (c, X)) = (q 2, (c, X), (D, D)) δ(q 2, (B, B)) = (q 3, (B, B), (D, D))

27 Máquina de Turing Multipista En el modelo multipista, la cinta está dividida en un número finito de k pistas, la función de transición tiene la siguiente forma: δ : Q Γ k Q Γ k {D, I, N} δ(q, (a 1, a 2, a 3,..., a k )) = (p, (b 1, b 2, b 3,..., b k ), {I, D, N}) por ejemplo para realizar la suma de estos dígitos se va de la parte izquierda a la derecha con la siguiente transición: δ(q 0, σ) = { (q0, σ, D) si σ (B, B, B) (q 1, σ, I) si σ = (B, B, B)

28 Teorema 1 El lenguaje L es reconocido por una MT multicinta L es reconocido por una máquina de Turing de una sola cinta. 1. ) Si L es reconocido por una MT de una sola cinta, Entonces L es reconocido por una MT multicinta. Basta con hacer funcionar una sola cinta de la MT multicinta, podría ser la cinta de la cadena de entrada. 2. ) Si L es reconocido por una MT multicinta entonces L es reconocido por una máquina de Turing de una sola cinta. Se supone que la MT M dispone de k cintas, acepta el lenguaje L, y simulamos M mediante una MT N de una sola cinta, soponiendo 2k pistas.

29 Si La MT multicinta tiene k = 2 cintas se dispone de una MT de una sola cintas de 2k = 4 pistas, las pistas primera y tercera tienen la información de las dos cintas. Las pistas segunda y cuarta tienen las cabezas. Para simular un movimiento M, la cabeza de N usamos un marcador para las cabezas de la cintas y si hay un desplazamiento a la derecha en M, entonces reemplazamos el 1 en N por B y viceversa si hay un desplazamiento en la izquierda, el reemplazo de 1 por B y B por 1 hace la simulación de los cabezales de M.

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31 Máquina de Turing no deterministas Se diferencia de las MT deterministas por la función δ, que para cada caso q y para cada símbolo de cinta X: δ(q, X) = {(q 1, Y 1, S 1 ), (q 2, Y 2, S 2 ),... (q k, Y k, S k )} para cualquier k entero postivo finito. Observación 5 Ambos modelos tienen el mismo poder computacional. Teorema 2 El lenguaje L es reconocido por una Máquina de Turing No Determinista L es reconocido por una máquina de Turing Determinista. Observación 6

32 Ambos modelos tienen el mismo poder computacional. 1. ) Si L es reconocido por una MTD entonces L es reconocido por una Máquina de Turing No Determinista. las MTD son máquinas de Turing No Deterministas en las que hay una transición por cada estado/símbolo. 2. ) Si L es reconocido por una Máquina de Turing NO determinista entonces L es reconocido por una Máquina de Turing Determinista. Podemos simular una MTND con una MT determinsta de tres cintas: a) Se obtiene un n que es el número máximo de opciones asociada a cada transición. b) En la primera cinta va la cadena de entrada.

33 c) En la segunda cinta se generan las cadenas sobre el alfabeto {1, 2,..., n} por orden numérico. 1) Todas las cadenas de longitud 1. 1, 2, 3,..., n 2) Todas las cadenas de longitud 2. 11, 12, 13,..., 1n, 21, 22, 23,..., 2n, n1, n2, 3) Todas las cadenas de longitud 3. n3,..., nn 111, 112, 113,..., 11n, 121, 122, 123,..., 12n, 1n1, 1n2, 1n3,..., 1nn Al final todas las cadenas de todas las longitudes deben ir en la cinta 2 en orden lexicográfico.

34 d) En la tercera cinta se realiza la simulación, cada vez que se genera una secuencia en la cinta 2, se copia la cadena de entrada en la cinta 3 y simula computación del MTND. δ(q, (a, 1, B)) = (p, (a, 1, a), (D, D, D)) e) La MTD prueba todas las combinaciones de la cinta dos, empezando cada vez que una configuración cuando no sirva. Si la cadena es reconocida en el MTND también es reconocida en el MTD multicinta. Ejemplo 8 Sea el siguiente MT no determinístico.

35 1 {}}{ δ(q 0, a) = {(q 0, a, D), 1 {}}{ δ(q 1, b) = {(q 1, b, D)} 1 {}}{ δ(q 1, B) = {(q 2, B, D)} 2 {}}{ (q 1, a, D)} si se va ha reconocer la cadena la MTND hace esta derivación: q 0 a aq 1 B abq 2 B y la cadena es reconocida pero si se va por el otro camino q 0 a aq 0 B llegaría a una transición no existente. Entonces hay una probabilidad que una de las secuencias de la cinta 2 que reconoce la cadena a sea: 1,1,1

36 algunas transiciones que pueden simular el MTND serían: δ(q 0, (a, 1, B)) = (q 1, (a, 1, a), (D, D, D) δ(q 1, (B,, B)) = (q 5, (B,, B), (I, N, I) δ(q 5, (a,, a)) = (q 5, (a,, B), (I, N, I) δ(q 5, (B,, B)) = (q 0, (B,, B), (D, D, D) δ(q 0, (a,, B)) = (q 5, (a,, B), (D, D, D) δ(q 5, (B, 2, B)) = (q 5, (B, 2, B), (I, N, I) δ(q 5, (a, 2, B)) = (q 5, (a, 2, a), (D, D, D) En la transición δ(q 0, (a, 1, B)) = (q 1, (a, 1, a), (D, D, D), el 1 de (a, 1, B) significa que se modela en el MTND la transición δ(q 0, a) = (q 1, B, D), es decir se realiza la transición 1.

37 Simulación de Autómatas por medio de MT Los autómatas (AFD,AFN o AFN-ɛ) y los autómatas de pila (AFDP o AFPN) se pueden simular con máquinas de Turing. Definición 10 Dado un autómata M se puede construir una MT que acepte el mismo lenguaje que M. Observación 7 Las simulaciones de autómatas por medio de MT permiten concluir que los lenguajes regulares y los lenguajes independientes de contexto son recursivos. Definición 11

38 Dado un AFD M = (Q, Σ, q 0, T, δ) se puede construir una MT M tal que L(M) = L(M ). Observación 8 La MT M así construida se detiene ante cualquier entrada w. Teorema 3 Todo lenguaje regular es recursivo. Definición 12 Un autómata de pila M se puede convertir en una MT M tal que L(M) = L(M ). Observación 9 La MT será determinista o no determinista según si es un AFDP o un AFDN.

39 Observación 10 La MT construida siempre parará con todas las cadenas de entrada. Teorema 4 Todo LIC es un lenguaje recursivo. Teorema 5 Si L 1 y L 2 son lenguajes recursivos, entonces L 1 L 2 también lo es. Observación 11 Existen lenguajes recursivos que no son lenguajes independientes de contexto. Por ejemplo podemos verque la intersección de dos LICs nos dio {a i b i c i : i 0} y no es LIC.

40 Definición 13 Una gramática G = (Σ, N, S, P ) es una gramática sensible de contexto si todas las producciones son de la forma α β, donde α, β (N Σ) + y α β. Ejemplo 9

41 Sea el lenguaje {a i b i c i : i 1} la gramática sensible del contexto: S abc aabc Ab ba Ac Bbcc bb aa aaa Lema 1 Sea G = (N, Σ, S, P ) una gramática sensible del contexto. Entonces existe una Máquina de Turing M, que PARA sobre toda entrada y acepta L(G). Teorema 6 Si L es un lenguaje sensible del contexto, entonces L es recursivo. Teorema 7

42 1. El complemento de un lenguaje recursivo también es recursivo. 2. La unión de dos lenguajes RE es RE.