si w=ay por tanto a Σ e y Σ*

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1 EJERCICIOS: LENGUAJES Y GRAMÁTICAS FORMALES Y MÁQUINAS DE TURING 1.- Prefijos de una cadena x son las cadenas que se pueden obtener de x suprimiendo 0 o más caracteres del final de x. Prefijos propios de una cadena son todos sus prefijos, salvo ε y la propia cadena. Sufijos de una cadena x son las cadenas que se pueden obtener de x suprimiendo 0 o más caracteres del principio de x. Sufijos propios de una cadena son todos sus sufijos, salvo ε y la propia cadena. Cuantos prefijos, prefijos propios, sufijos y sufijos propios tiene una cadena de longitud n? 2.- Subcadenas de una cadena x son todas las cadenas que se pueden obtener de x suprimiendo 0 o más caracteres del principio o del final de x. Subcadenas propias de una cadena son todas sus subcadenas, salvo ε y la propia cadena. Cuantas subcadenas y subcadenas propias se pueden obtener de una cadena de longitud n? 3.- Subsecuencias de una cadena x son las cadenas que se pueden obtener de x eliminando cualquiera de sus caracteres. Subsecuencias propias de una cadena son todas sus subsecuencias, salvo ε y la propia cadena. Cuantas subsecuencias y subsecuencias propias se pueden obtener de una cadena de longitud n? 4.- Que propiedades verifica la concatenación de cadenas? 5.- Dados los lenguajes A={a,b,c,d}, B={a,e,i,o,u}, C={o,r,l,n}, que cadenas tienen los lenguajes AB, A-C, A B, B 2, A{bola, pepe}, (A-B)(B-{i, u})(c-b). 6.- Por qué el lenguaje vacío Φ no es lo mismo que {ε}? 7.- [Dean Kelley, 95] Para todo lenguaje A se tiene que ε A*, Cuándo ε A +? 8.- Obtener los lenguajes A, B y C tales que A (B-C) A B-A C. 9.- [Dean Kelley, 95] Para una palabra w, se puede decir que w i+j = w i + w j? Encontrar una expresión para w i+j en términos de i, j y w [Dean Kelley, 95] La cadena vacía ε es un prefijo propio de sí misma? 11.- [Dean Kelley, 95] La inversa o transpuesta de una palabra w es la imagen refleja de w. Por ejemplo, si w= able entonces su inversa es elba. Para denotar la inversa de w se usa w I (algunos autores usan también la notación w -1 ). Una definición más precisa de la misma puede ser la siguiente: w, w I = y I a, si w=ε Probar formalmente que (wy) I = y I w I si w=ay por tanto a Σ e y Σ* 12.- [Dean Kelley, 95] Dados los lenguajes A, B y C sobre un alfabeto Σ, demostrar que se cumple lo siguiente: i) A (B C)=A B A C ii) (B C) A=B A C A iii) (A B) I =A I B I 13.- Obtener los lenguajes A, B y C tales que A (B C) A B A C [Dean Kelley, 1995] Para el alfabeto Σ ={a, b} y usando la aplicación Σ* IN dada en la demostración del teorema: El número de lenguajes sobre un alfabeto es infinito no numerable, Cuántas palabras de longitud 3 hay? Y de longitud 5? Y de longitud k? Cuál es el último número asignado a las palabras de longitud 2? Y a las de longitud 5? Y a las de longitud k? 15.- [Dean Kelley, 1995] En el caso general de que haya n caracteres en el alfabeto Σ Cuántas palabras de longitud k habrá? Si ordenamos las palabras de Σ en el orden lexicográfico y les asignamos números comenzando por el 0 para ε Cuál será el número asignado a la último palabra de longitud k?

2 16.- Dado el alfabeto Σ = {a, b, c} usando una representación ternario con los dígitos 1,2,3. Supongamos que a está asociado con 1, b con 2 y c con 3. Cuál será el entero decimal que corresponde a la palabra abbacca de Σ Encontrar la palabra de correspondiente a Cuál es la definición formal de gramática? 18.- Cuál es la diferencia entre las frases y las formas sentenciales de una gramática? 19.- [Gregorio Fernández, Fernando Sáez Vacas, 1995] Dada la gramática definida por: N={S, A, B} Σ = {0, 1} S S 0A A 0S S 1B B 1S0 B 0 Determinar, de las siguientes sentencias, cuáles pertenecen y cuáles no, al lenguaje: 00, 10, 100, 1100, Dada una gramática con el siguiente conjunto de producciones: P={ S abs (1), S ε (2), B ab (3), B b (4)} Y las siguientes cadenas: aab, abab, babb, bbb, abaababbbba, aaa. Cuáles pertenecen al lenguaje que genera la gramática? 21.- Dada una gramática con el siguiente conjunto de producciones: P={ S 0A (1), S 1B (2), S 0 (3), B 0C (4), B 1A (5), B 1 (6), A 0A (7), A 1B (8), A 0 (9), C 0B (10), C 1C (11)} Dar las cadenas de derivación que nos permiten obtener las palabras: 110, 11 y La gramática del ejercicio anterior es capaz de generar todas las cadenas de ceros y unos que representan un número binario múltiplo de 3. Sabiendo esto, intentar dar una interpretación a los símbolos no terminales Dada una gramática con el siguiente conjunto de producciones: P={ S asbc (1), S abc (2), CB BC (3), bb bb (4), bc b (5)} Qué lenguaje genera? 24.- Dar un ejemplo de gramática libre de contexto Dar una gramática que genere el lenguaje formado por las cadenas de la forma xcx, donde c es un carácter terminal y x es una cadena de aes y bes Dar una gramática que genere el lenguaje de aes, bes y ces, que cumple las siguientes características: i) Las cadenas formadas por ces pertenecen al lenguaje. ii) Si x es una cadena del lenguaje, también lo es axb. iii) Si x e y son cadenas del lenguaje, también lo son las cadenas xy e yx. iv) Ninguna otra cosa es una cadena del lenguaje [Ravi Sethi, 89] Dar una gramática independiente del contexto para describir los números reales en los cuáles tanto la parte entera como la fraccionaria pueden estar vacías, pero no ambas a la vez. Así, la gramática debe permitir 31., 3.1 y.13, pero no un punto decimal solo.

3 28.- Dada la siguiente gramática: N={<expresión>, <termino>, <factor>, <número>, <dígito>} Σ = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, *, (, )} S = <expresión> <expresión> <expresión> + <termino> (1) <expresión> <termino> (2) <termino> <termino> * <factor> (3) <termino> <factor> (4) <factor> ( <expresión> ) (5) <factor> <número> (6) <número> <número> <dígito> (7) <número> <dígito> (8) <dígito> 0 (9) <dígito> 1 (10) <dígito> 2 (11) <dígito> 3 (12) <dígito> 4 (13) <dígito> 5 (14) <dígito> 6 (15) <dígito> 7 (16) <dígito> 8 (17) <dígito> 9 (18) Dar las derivaciones que permiten obtener las cadenas: 23, 2+3, 2*3, 2*(22+12) Obtener el grafo sintáctico asociado a la siguiente gramática dada en notación BNF <S> ::= identificador := <expresión> if <expresión> then <SL> { <parte_elsif> } <parte_else> end loop <SL> end while <expresión> do <SL> end <parte_elsif> ::= elsif <expresión> then <SL> <parte_else> ::= else <SL> ε <SL> ::= <S> { ; <S> } 30.- La que sigue es una simple gramática para expresiones aritméticas binarias que involucran variables y asignaciones: N={<programa>, <lista-decl>, <decl>, <var>, <lista-sent>, < sent>, <expr>, <term>, <entero>, <dígito>} Σ = {0, 1, a, b, c, VAR, PRINT, ;, :=, +, -} S = <programa> <programa> <lista-decl> <lista-sent> (1) <lista-decl> ε (2) <lista-decl> <decl> ; <lista-decl> (3) <decl> VAR <var> (4) <var> a (5) <var> b (6) <var> c (7) <lista-sent> <sent> (8) <lsita-sent> <lista-sent> ; <sent> (9) <sent> <var> := <expr> (10) <sent> PRINT <var> (11) <expr> <term> (12) <expr> <expr> + <term> (13) <expr> <expr> - <term> (14) <term> <entero> (15) <term> <var> (16) <entero> <dígito> (17) <entero> <entero><dígito> (18) <dígito> 0 (19) <dígito> 1 (20) Construir el árbol de derivación para la siguiente sentencia usando la gramática anterior: VAR a ; VAR b ; a := 10 ; b := 11 a 1 ; PRINT b 31.- [Ravi Sethi, 89] Describir como se construiría una gramática en notación BNF a partir de un grafo sintáctico.

4 32.- Diseñar las gramáticas capaces de generar los siguientes lenguajes sobre Σ={a, b} a) {w: w=w I } e) {a n b m a n+m : n 0, m 1} b) {w: w a = w b } f) {a 2n : n 0} c) {a n b n : n 1} g) {a n2 : n 1} d) {a n b 2n : n 1} 33.- [Gregorio Fernández, Fernando Sáez Vacas, 1995] De que tipo es una gramática cuyas reglas son todas de la forma: A B, A x A, B N y x * Demostrar que siempre puede encontrarse una gramática regular equivalente Dada la gramática recursiva a izquierdas: N={S, A, B, C} Σ = {0, 1} S S 1A A 1 S 1B B 1A A 0A B 1C A 0C B 1 A 1C C 1 Obtener una gramática recursiva a derechas que genere el mismo lenguaje Repetir el ejercicio anterior para la gramática: N={S, A } Σ = {a, b, c, d} S Con producciones: S as S c S aa S d S ba A aa S ca A ba S da A a S a A b S b 36.- [J. Glenn Brookshear, 93] Dar ejemplo para mostrar que la intersección de dos conjuntos incontables puede ser: a. finita b. infinita contable c. incontable 37.- [J. Glenn Brookshear, 93] Mostrar que la unión de dos conjuntos contables es contable [J. Glenn Brookshear, 93] Mostrar con un conjunto puede tener la misma cardinalidad que un conjunto propio de si mismo [J. Glenn Brookshear, 93] Mostrar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de IN es contable Construir una máquina de Turing que dados dos números permita obtener su cociente y su resto. Si la descripción instantánea inicial de la máquina de Turing es (q 0 <a> _ <b>) (_ representa una celda vacía), al final se tendrá (p <a div b> _ <a mod b>) (p representa un estado final), donde tanto los datos como los resultados se representan en unario. Es decir, si queremos dividir 11 entre 3, al principio tendremos una descripción instantánea (q _111), y al final (p111_11).

5 41.- Dar una máquina de Turing INC capaz de incrementar en uno un número representado en binario. Es decir, si el contenido inicial de la cinta es: I (_ representa celdas en blanco) después de dejar actuar la máquina se deberá tener: _ 42.- Obtener una máquina de Turing capaz de reconocer el lenguaje formado por cadenas de la forma w w -1, w 0 w -1, w 1 w -1. Donde w es una cadena formada por ceros y unos y w -1 es la cadena w en orden inverso Construir una máquina de Turing COPY, capaz de realizar copias. COPY debería transformar Cw en w_w dejando la cabeza al principio de la segunda copia Construir una máquina de Turing que enumere sobre su cinta, todos los enteros binarios en orden numérico separados por blancos _ y que comience con _1_ Dada la siguiente máquina de Turing ( Γ = {S, A }, Σ = {a, _,, }, _, Q = {p, q 1, q 2, r, z}, p, F = {z}, f ) Donde f esta definida por: a _ P q 1 D Q 1 Q 2 D r_i Q 2 Q 1 D z P r r_i z_p Z obtener la gramática que genera el lenguaje que dicha máquina es capaz de reconocer Obtener la gramática que genera el lenguaje que reconoce la máquina del ejercicio 38. Obtener dicha gramática artesanalmente, sin usar las transformaciones de operaciones de la máquina de Turing a producciones de la gramática [Dean Kelley, 95] Diseñar las máquinas de Turing capaces de aceptar los siguientes lenguajes sobre Σ={a, b} a) {a n b n : n 1} f) {a 2n : n 0} b) {w: w a = w b } g) {a n2 : n 1} c) {w: w=w I } h) {a n : n es un número triangular} d) {a n b 2n : n 1} i) {a n! : n 2} e) {a n b m a n+m : n 0, m 1} 48.- Una máquina de Turing se puede codificar como una cadena de ceros y unos. Con ρ(m) se denota la codificación de la máquina de Turing M. Una máquina de Turing binaria M se dice que es autoterminante cuando se detiene si se inicia su operación con entrada ρ(m) (obsérvese que puede que esta entrada no tenga sentido para el cometido que se diseño la máquina, pero no importa para dar esta definición). De esta manera cualquier máquina de Turing binaria es o bien autoterminante o bien no autoterminante. a) Diseñar una máquina de Turing que sea autoterminante. b) Dar un ejemplo de máquina de Turing que sea no autoterminante. c) Reflexionar sobre el hecho de si el lenguaje L h ={ρ(m): M es autoterminante} es decidible Se tiene que los lenguajes L 1 y L 2 sobre el alfabeto {a, b} son recursivamente enumerables. También lo será el lenguaje L 1 {c}l 2 (concatenación de tres lenguajes)? Y el lenguaje L 1 L 2? 50.- Analizar la cuestión de si el lenguaje L s ={w i : w i es aceptado por M i } es recursivo, recursivamente enumerable o ninguno de los dos. Autómatas y lenguajes formales

6 51.- [Dean Kelley, 95] Construir una máquina de Turing de tres pistas que determine si el número binario que está en la primera pista es menor que el de la segunda. Si es menor, escribir el carácter S sobre la tercera pista y si no lo es, escribir los caracteres GE sobre la tercera pista [Dean Kelley, 95] Construir una máquina de Turing de tres pistas que reste el número binario de la segunda pista del número binario de la primera y deje el resultado en la tercera pista. Hacer otra de dos pistas, que deje el resultado sobre la segunda pista [Dean Kelley, 95] Construir una máquina de Turing con dos cintas que reconozca el lenguaje L={ww I : w {a, b} + }. Supóngase que, inicialmente, las cadenas a analizar están situadas en la cinta Dada la siguiente máquina de Turing bidimensional: _ 0 1 p p0s p_b q1d 0 q q0d q_i r_p M r 1 0 a) construir una máquina de multicabeza escribir/mover/permanecer que simule su funcionamiento b) comprobar dicho funcionamiento si el contenido inicial del plano donde se mueve la máquina simulada es el que se muestra en la figura [Ravi Sethi, 89] Lenguajes de programación. Conceptos y constructores. Addison-Wesley [Gregorio Fernández, Fernando Sáez Vacas, 1995] Fundamentos de informática. Lógica, autómatas, algoritmos y lenguajes, Anaya multimedia [Dean Kelley, 95], Teoría de autómatas y lenguajes formales, Prentice-Hall [J. Glenn Brookshear, 93], Teoría de la computación. Lenguajes formales, autómatas y complejidad, Addison-Wesley Iberoamericana Autómatas y lenguajes formales