INGENIERÍA EN INFORMÁTICA MODELOS ABSTRACTOS DE COMPUTO I SOLUCIONES

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1 INGENIERÍA EN INFORMÁTICA MODELOS ABSTRACTOS DE COMPUTO I 19 de Enero de 2009 SOLUCIONES PREGUNTA 1 (2 puntos): Son siete cuestiones que debes responder y entregar en esta misma hoja. 1.1 Considera el lenguaje L = {x {0,1}*: x 1 mod 2 0}. Indica si cada una de las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: a) L L F b) L* V c) L R F 1.2 Sobre el alfabeto {a,b}, da expresiones regulares que denoten los siguientes lenguajes: a) El lenguaje formado por las palabras con 3 a s exactamente b*ab*ab*ab* b) El lenguaje formado por las palabras con 2 b s como máximo a* a*ba* a*ba*ba* c) El lenguaje formado por las palabras con un número par de a s b*(ab*ab*)* 1.3 Di si cada una de las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas a) El lenguaje de las palabras del alfabeto Σ={a,b} que no contienen dos a s consecutivas es un lenguaje regular. V b) La intersección de dos lenguajes regulares es un lenguaje regular. V c) Todo autómata con pila no determinista tiene otro autómata con pila determinista equivalente F d) Se pueden utilizar autómatas con pila para reconocer lenguajes regulares. V

2 1.4 Resuelve las siguientes ecuaciones sobre expresiones regulares: a) X = b + ax b(a X X) X = (b + a ba b) X ==> L X = b) X = abx b a + X = abx (b a + ) ==> L X = = (ab)* (b a + ) 1.5 Sea G = (N, Σ, S, P) una gramática independiente de contexto. Para cada una de las siguientes afirmaciones di si son ciertas o falsas: a) Existe G no ambigua, equivalente a G F b) L(G) no es un lenguaje regular F 1.6 Sea G=({S,A,B,C}, {a,b}, S, P). Indica, para cada una de las reglas planteadas, si es posible o no, encontrarla en una gramática del tipo indicado. (Nota: GRD= Gramática regular a la derecha, GIC= Gramática independiente del contexto, FNG= Forma normal de Greibach) GRD GIC GIC en FNG a) A abc No Si Si b) A BaC No Si No c) S ε Si Si Si 1.7 Clasifica los siguientes lenguajes indicando si son regulares (R) o no y si son independientes de contexto (IC) o no: R IC a) {a i b j a k : i=k} No Si b) {a i b j a k : i >k} No Si c) {a i b j a k : (i+j+k) mod 2= 0} Si Si

3 2. (1,5 puntos) Considera el siguiente autómata no determinista M que acepta el lenguaje (ab aba)* y, aplicando los algoritmos correspondientes, obtén un autómata que acepte el lenguaje complementario de L(M). Solución: Primero creamos N un AFD totalmente especificado equivalente a M, es decir, que verifica L(M)=L(N). Luego, cambiando en N los estados finales por no finales (y viceversa) obtenemos el autómata S que acepta el lenguaje complementario de L(N). Creando N: p0 = {q0} γ(p0,a) = δ(q0,a) = {q1} = p1 γ(p0,b) = δ(q0,b) = (= p4) γ(p1,a) = δ(q1,a) = (= p4) γ(p1,b) = δ(q1,b) = {q0,q2} = p2 γ(p2,a) = δ(q0,a) δ(q2,a) = {q0,q1} = p3 γ(p2,b) = δ(q0,b) δ(q2,b) = (= p4) γ(p3,a) = δ(q0,a) δ(q1,a) = {q1} = p1 γ(p3,b) = δ(q0,b) δ(q1,b) = {q0,q2}= p2 donde los estados finales de N son {p0, p2, p3} Por tanto, el autómata que acepta el lenguaje complementario de L(M) es el autómata S = (Q, Σ, Γ, γ, p0, F) con Q = {p0, p1, p2, p3, p4}; F = {p1, p4}; Σ = {a, b} y δ como se ha definido arriba.

4 3. (1,5 puntos) Considera el autómata con pila M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, F) con Q = {q0, q1, q2}; F = {q0, q2}; Γ = { B }; Σ = {a, b} y δ como sigue: δ (q 0, a, ) = {(q 1, ε)} δ (q 0, a, Β ) = {(q 1, Β), (q 2, ε)} δ (q 1, b, ) = {(q 0, B)} δ (q 1, b, B) = {(q 0, BB)} δ (q 2, a, B) = {(q 2, ε)} a) Describe L(M), razonando la respuesta. Solución: Cada vez que se pasa de q0 a q1 con a se tiene que volver de q1 a q0 con b y además se contabiliza 1 en la pila (metiendo B). En el momento en que pasamos de q0 a q2 con a (desapilando B) ya nos quedamos siempre en q2 leyendo a s (y desapilando B en cada lectura). Por tanto, para obtener un estado final con pila vacía, se tiene que: L(M) = { (ab) n a n / n 0 } b) Encuentra G tal que L(G) = L(M). Solución: Una gramática G que genere el lenguaje L(M) es G = ({S},{a, b}, S, P) donde la única regla de producción de P es: S ab S a ε 4. (1 punto) Elimina la recursividad izquierda en la siguiente gramática independiente de contexto G = ({S, A, B, C, D},{a, b, c}, S, P) ya simplificada, con P el siguiente conjunto de reglas: S Ba Cb A Bc Dc aa B BcB Aa b C ac a D Ba Cb Solución: Consideramos un orden entre los símbolos no terminales, por ejemplo: S < D < A < B < C. Según dicho orden estudiamos las reglas: S Ba Cb y D Ba Cb quedan igual (son del grupo 2) A Bc aa quedan igual (grupo 2 y 1 resp.) pero A Dc (del grupo 4) ha de ser reemplazado por A Bac Cbc.

5 Obtenemos: por tanto: A Bc Bac Cbc aa (ahora de los grupos 2 y 1). B BcB Aa b son de los grupos 3, 4 y 1 respectivamente. Debemos primero reemplazar B Aa (del grupo 4) por B Bca Baca Cbca aaa obteniendo B BcB Bca Baca Cbca aaa b Y después quitamos la recursión inmediata a izquierdas (grupo 3), obteniendo: B Cbca aaa b CbcaB aaab bb (ahora de los grupos 2 y 1). B cb ca aca cbb cab acab (del grupo 1). Por último, C ac a queda igual (son del grupo 1) En resumen, tras eliminar la recursividad izquierda, se obtiene la gramática: S Ba Cb D Ba Cb A Bc Bac Cbc aa B Cbca aaa b CbcaB aaab bb B cb ca aca cbb cab acab C ac a 5. (1,5 puntos) Da una expresión regular que defina el lenguaje reconocido por el siguiente AFD: Solución: Una posible solución es la siguiente. Para llegar al estado final q1 se tiene el conjunto de palabras denotado por a +. Para llegar a q2 por primera vez (desde q0) se tiene o bien b + (directo) o bien a + b + (pasando por q1), es decir, a * b +. Pero además se puede terminar en q2 si tras llegar la primera vez se sigue leyendo ab + cualquier número de veces. Por tanto, terminaremos en q2 con las

6 palabras denotadas por a * b + (ab + ) *. Finalmente, para llegar a q3 hemos de haber llegado a q2 y leer después a. Las palabras aceptadas por el autómata son las que llegan a uno de los tres estados finales, denotadas por la expresión regular a + a * b + (ab + ) * a * b + (ab + ) * a que se puede simplificar en: a + a * b + (ab + ) * (ε a) Nota: También se puede obtener haciendo primero las reglas de la gramática que genera dicho lenguaje y resolviendo las ecuaciones correspondientes. 6. (1,5 puntos) Construye un autómata finito determinista sobre el alfabeto {a,b} que acepte palabras que contengan al menos dos veces la subpalabra aba. Solución: Breve explicación: Hasta no alcanzar q3 (en q0, q1 y q2) no se ha leído la primera subpalabra aba.. Una vez leída ésta (q3 no puede se final), el resto del autómata (q3, q4, q5 y q6) se ocupa de buscar la segunda aparición de aba, llegando con ella al estado final q6 (a partir de lo cual se puede leer cualquier número de a s o b s). Se debe tener especial cuidado en notar que las dos apariciones de aba pueden ser disjuntas o pueden compartir la a del medio como en ababa.

7 7. (1 punto) Demuestra formalmente que el siguiente lenguaje no es regular: L = { a i ba k : i k i,k 1 } Solución: Demostración por reducción al absurdo. Supongamos que L es regular, entonces existe un AFDt M = (Q, Σ, δ, q0, F) tal que L(M) = L. Consideramos el conjunto infinito de palabras C = { a n : n 1 }. Al ser M un AFDt, necesariamente existen al menos dos palabras de C que al ser leídas por M llegan al mismo estado, esto es: existen a i y a j con i j (i, j 1) tales que δ*(q0, a i ) = δ*(q0, a j ). Entonces, para toda x {a,b} * : Es decir, para toda x {a,b} * : δ*(q0, a i.x) = δ*(q0, a j.x) a i.x L(M) a j.x L(M) En particular, para x = ba i se tiene a i ba i L(M) a j ba i L(M). Por otro lado, según la definición de L se tiene que a j.ba i L (ya que i j con i, j 1) mientras que a i.ba i L (ya que i = i) Esto contradice la hipótesis de que L(M) = L. Conclusión: no existe un AFDt M que reconozca L. Por tanto, L no es un lenguaje regular.