Lenguajes Incontextuales

Transcripción

1 Tema 5: Gramáticas Formales Lenguajes Incontextuales Departamento de Sistemas Informáticos y Computación p.1/31

2 Tema 5: Gramáticas Formales Gramáticas. Tipos de Gramáticas. Jerarquía de Chomsky Gramáticas regulares y autómatas finitos Gramáticas incontextuales Arbol de derivación Simplificación Formas normales: Forma normal de Chomsky y de Greibach Propiedades de cierre p.2/31

3 Gramáticas Definiciones Una gramática G es una cuádrupla G = (N, Σ, P, S) donde: N es un conjunto finito no vacío de símbolos llamados auxiliares Σ es un alfabeto finito no vacío de símbolos llamados terminales. Se cumple que Σ N =. Llamaremos V = Σ N. S N es un símbolo auxiliar especial llamado axioma P es un conjunto de reglas de producción P V NV V. Una producción (α, β) suele denotarse α β p.e.: L = {a n b n n 1} G = {{N}, {a, b}, {S ab, S asb}, S} p.3/31

4 Gramáticas Definiciones Dados α, β V, decimos que α deriva directamente en β (α G β ) si α = γαδ, β = γβδ y α β P Dados α, β V, decimos que α deriva en β (α G β) si existe la secuencia α 1, α 2,..., α n V, donde α = α 1, α n = β y se cumple que α i α i+1 i = 1..n G β V es una forma sentencial si S G β Si β Σ, β es una palabra generada por G Lenguaje generado por G L(G) = {x Σ S G x} G es equivalente a G si L(G) = L(G ) p.4/31

5 Gramáticas Tipos de gramáticas. Jerarquía de Chomsky. Regulares (tipo 3): A, B N; a, b Σ {λ} Lineales por la derecha: A ab b Lineales por la izquierda: A Ba b Incontextuales (tipo 2): A α donde A N, α V. Contextuales (tipo 1): γaδ γαδ con A N, γ, δ V, α V +. Formas sentenciales de longitud creciente S λ para permitir λ L(G).!! ATENCIÓN!! No restringidas (tipo 0) L 3 L 2 L 1 L 0 p.5/31

6 Gramáticas regulares y autómatas finitos Equivalencia entre gramáticas regulares y A.F. Si L es un lenguaje regular, entonces L es aceptado por un autómata finito A. Dada G = (N, Σ, P, S) lineal por la derecha (L = L(G)), construimos un AFλ A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) tal que L(A) = L: Q = N {X} tal que X N q 0 = S F = {X} función de transición (A, B, X N, a Σ {λ}) (A ab) P se define B δ(a, a) (A a) P se define X δ(a, a) a Σ {λ} se define δ(x, a) = p.6/31

7 Gramáticas regulares y autómatas finitos Equivalencia entre gramáticas regulares y A.F. Si L es aceptado por un autómata finito A, entonces L es un lenguaje regular. Sea A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) un AFλ (L = L(A)). Construimos G = (N, Σ, P, S) lineal por la derecha tal que L = L(G) N = Q S = q 0 reglas de producción (q, q Q, a Σ {λ}) q δ(q, q) se define q aq P q F se define q λ P p.7/31

8 Definiciones Derivación más a la izquierda (derecha): derivación tal que en todos los pasos se sustituye el símbolo auxiliar más a la izquierda (derecha) p.e: S AB BA D A CAC 0 B CBC 1 C 0 1 D CCD C Derivación a izquierdas: S AB CACB 0ACB OOCB 001B 0011 Derivación aleatoria: S AB CACB C0CB COC1 00C p.8/31

9 Definiciones Arbol de derivación: 1. La raíz está etiquetada con el símbolo S 2. Los nodos interiores están etiquetados con símbolos auxiliares 3. Los nodos hoja están etiquetados con símbolos terminales o con λ 4. Si un nodo está etiquetado con λ este es el único sucesor de su predecesor 5. Si un nodo etiquetado con A y sus sucesores con B 1, B 2,..., B k, entonces A B 1 B 2... B k P Subárbol de derivación: Cumple las condiciones de 2 a 5 p.9/31

10 Ejemplo: S AB BA D A CAC 0 B CBC 1 C 0 1 D CCD C S A B C A C árbol de derivación de la expresión: S AB CACB 0ACB OOCB 001B p.10/31

11 Definiciones Ambigüedad: G = (N, Σ, P, S) es ambigüa si existe una x L(G) con más de un árbol de derivación p.e: S SS 0 S S S S S 0 S S S 0 S S Un lenguaje es inherentemente ambigüo si toda gramática que lo genera es ambigüa p.e: 0 no es ambiguo, (S 0S 0) L = {0 i 1 j 2 k : i = j j = k} es inherentemente ambigüo p.11/31

12 Definiciones Gramáticas equivalentes: G es equivalente a G si L(G) = L(G ) (si L(G) = L(G ) {λ} entonces G y G son pseudoequivalentes) Símbolos inútiles: símbolos que no intervienen en la generación de palabras No generativos A N es generativo si α Σ con A G α No alcalzables A N es alcanzable sin forma parte de alguna forma sentencial derivable desde S Dada una gramática G existe otre G equivalente a G sin símbolos inútiles p.12/31

13 Definiciones Producciones vacías: producciones de la forma A λ Si λ L(G) debe existir alguna producción A λ Si λ L(G) se puede conseguir una gramática equivalente sin producciones vacías Dada una gramática G existe otra G sin producciones vacías tal que L(G) = L(G) {λ} Producciones unitarias: producciones de la forma A B Dada una gramática G existe otra G equivalente a G sin producciones unitarias p.13/31

14 Simplificación Si L es un lenguaje incontextual no vacio, entonces existe una gramática G L 2 que lo genera tal que: Cada símbolo de G aparece en la derivación de alguna palabra del lenguaje G no contiene reglas unitarias Si λ L, se pueden eliminar todas las producciones de la forma A λ. En caso contrario, se puede conseguir que la única producción de este tipo sea S λ Proceso de simplificación: 1. Eliminación de símbolos inútiles 2. Eliminación de producciones vacías 3. Eliminación de producciones unitarias 4. Eliminación de símbolos inútiles p.14/31

15 Algoritmo para eliminar símbolos no generativos Entrada: G = (N, Σ, P, S) de tipo 2 Salida: G = (N, Σ, P, S) de tipo 2 que cumple A N, w Σ : A w L(G) = L(G ) Método: N g = ; N = {A N : A w P, w Σ }; Mientras N g N hacer N g = N ; N = N g {A N : (A α) P, α (N g Σ) }; finmientras P = {(A α) P : A N, α (N Σ) }; G = (N, Σ, P, S); finmétodo p.15/31

16 Algoritmo para eliminar símbolos no alcanzables Entrada: G = (N, Σ, P, S) de tipo 2 Salida: G = (N, Σ, P, S) de tipo 2 que cumple X N Σ, S αxβ L(G) = L(G ) Método: V a = ; V = {S}; Mientras V a V hacer V a = V ; V = V a {X N Σ : (A αxβ) P, A V a N}; finmientras N = N V ; Σ = Σ V ; P = {(A α) P : A N, α (N Σ ) }; G = (N, Σ, P, S); finmétodo p.16/31

17 Algoritmo para eliminar producciones vacías Si λ L(G) pueden eliminarse todas las reglas vacías, en caso contrario es necesario que exista la regla S λ Un símbolo A N se denomina anulable si A + λ N λ = {A N : A + λ} N λ,1 = {A N : (A λ) P } N λ,i+1 = N λ,i {A N : (A α) P, α Nλ,i }, (i > 1) Algoritmo: 1. Construir N λ 2. Si (A X 1 X 2... X n ) P, añadir a P todas las producciones A α 1 α 2... α n que cumplan: si X i no es anulable, entonces α i = X i si X i es anulable, entonces α i es X i o λ no todos los a i s pueden ser vacios p.17/31

18 Algoritmo para eliminar producciones unitarias Todo lenguaje incontextual L puede ser generado por una gramática sin reglas unitarias Entrada: G = (N, Σ, P, S) incontextual sin transiciones vacías Salida: G = (N, Σ, P, S) sin producciones unitarias tal que L(G) = L(G ) Método Para todo A N, sea N A = {B N : A G B}; A N, B N A si B α es no unitaria entonces (A α) P fsi f Las reglas de P son las no unitarias de P junto con las producciones de P finmétodo p.18/31

19 Ejemplos: S A AAA AA A Aba Aca a B Aba Ab λ C CAba CC D CD Cd Cea E b S basd SS ABC DbDA A aab SEA λ B B aab BB C bca ace Ea D λ AC ED DDD E bf E DEA EE F bb bf p.19/31

20 Forma normal de Chomsky Todo lenguaje incontextual sin λ es generado por una gramática donde todas las producciones son de la forma: A BC o A a, donde A, B, C N y a Σ Entrada: G = (N, Σ, P, S) incontextual sin producciones unitarias o vacías Salida: G = (N, Σ, P, S) en forma normal de Chomsky tal que L(G) = L(G ) Método 1. Otener G tal que toda producción es de la forma A a ó (A X 1 X 2... X m ) P (m 2) 2. Transformar las producciones de G para que los consecuentes tengan a lo sumo dos auxiliares finmétodo p.20/31

21 Forma normal de Chomsky Entrada: G = (N, Σ, P, S) incontextual sin producciones unitarias o vacías Salida: G = (N, Σ, P, S) tal que L(G) = L(G ) con producciones de a forma: A X 1 X 2... X m A a Método Para toda producción (A X 1 X 2... X m ) P (m 2) hacer si X i = a Σ entonces Añadir un nuevo auxiliar C a Añadir una nueva producción C a a Sustituir en la producción las ocurrencias de X i por C a fsi finpara finmétodo p.21/31

22 Forma normal de Chomsky Entrada: G = (N, Σ, P, S) incontextual con producciones de a forma: A X 1 X 2... X m A a Salida: G = (N, Σ, P, S) en forma normal de Chomsky tal que L(G) = L(G ) Método finmétodo Para toda producción (A X 1 X 2... X m ) P (m 3) hacer Sustituir en P la producción por el conjunto de producciones: {A X 1 D 1 ; D 1 X 2 D 2 ;... D m 2 X m 1 X m ; } Añadir a N el conjunto de auxiliares D i finpara p.22/31

23 Ejemplos: S ba ab A baa as a B abb bs b S SaS SbS S csc A A A AA d p.23/31

24 Forma normal de Greibach Todo lenguaje incontextual sin λ es generado por una gramática donde todas las producciones son de la forma: A aα, donde A N, a Σ y α N Ejemplos: no GNF S basd SS ABC A aab SAA λ B B aab BB C bca ace Da D λ AC AD DDD GNF S ba ab A a as baa B b bs abb p.24/31

25 Propiedades de cierre: Union Sean L 1, L 2 L 2, entonces existen dos gramáticas G 1, G 2 tales que L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ) donde G i = (N i, Σ i, P i, S i ), i = 1, 2, donde N 1 N 2 =. Construimos G u = (N, Σ, P, S ) donde: S N 1 N 2 N = N 1 N 2 {S } Σ = Σ 1 Σ 2 P = P 1 P 2 {S S 1 S 2 } p.25/31

26 Propiedades de cierre: Concatenación Sean L 1, L 2 L 2, entonces existen dos gramáticas G 1, G 2 tales que L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ) donde G i = (N i, Σ i, P i, S i ), i = 1, 2, donde N 1 N 2 =. Construimos G c = (N, Σ, P, S ) donde: S N 1 N 2 N = N 1 N 2 {S } Σ = Σ 1 Σ 2 P = P 1 P 2 {S S 1 S 2 } p.26/31

27 Propiedades de cierre: Clausura Sea L L 2, entonces existe una gramática G = (N, Σ, P, S) tal que L = L(G) Construimos G = (N, Σ, P, S ) donde: S N N = N {S } P = P {S SS λ} p.27/31

28 Propiedades de cierre: Sustitución (Homomorfismo) Sea L L 2, entonces existe una gramática G = (N, Σ, P, S) tal que L = L(G). Sea una sustitución σ : Σ P( ) tal que σ(a) = L a para todo a Σ Por cada a Σ definimos G a = (N a,, P a, S a ) donde L a = L(G a ). Podemos asumir que los conjuntos N y los distintos N a son disjuntos. Construimos G = (N,, P, S) donde: N = N N a a Σ si A X 1 X 2... X n P entonces A u 1 u 2... u n P donde { (1 i n): S b si X i = b Σ u i = X i si X i N P = P P a a Σ p.28/31

29 Propiedades de cierre: Reverso Sea L L 2, entonces existe una gramática G = (N, Σ, P, S) tal que L = L(G) Construimos G r = (N, Σ, P, S) donde: Si A X 1 X 2... X n P entonces A X n X n 1..., X 2, X 1 P p.29/31

30 { S A AA1 0S 1S0 λ h 1 (L(G) L(G) r )? L = {x (a + b) : x a = x b } σ(l)? σ(a) = {0 n 1 n : n 1} σ(b) = {ww r : w (0 + 2) } p.30/31

31 Otras Propiedades de cierre La clase de los lenguajes incontextuales es cerrada bajo homomorfismo inverso La clase de los lenguajes incontextuales NO es cerrada bajo intersección p.e: Sea L 1 = {a n b n c m : n, m 1}, L 2 = {a m b n c n : n, m 1}, la interesección L 1 L 2 = {a n b n c n : n 1} que no es un lenguaje incontextual La clase de los lenguajes incontextuales NO es cerrada bajo complementación. Si lo fuera, entonces L 1 L 2 = L 1 L 2 sería incontextual, lo que es una contradicción Si L L 2 y L L 3, entonces L L es un lenguaje incontextual p.31/31