Computabilidad y lenguajes formales: Sesión 17. Equivalencia entre Expresiones Regulares y Autómatas Finitos

Transcripción

1 Computabilidad y lenguajes formales: Sesión 17. Equivalencia entre Expresiones Regulares y Autómatas Finitos Prof. Gloria Inés Alvarez V. Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación Pontificia Universidad Javeriana Cali 28 de marzo de 2008

2 Equivalencia entre Expresiones Regulares y Autómatas Finitos Teorema Un lenguaje es regular si y sólo si existe una expresión regular que lo describe Para demostrarlo se procece a probar cada una de las dos implicaciones que forman el si sólo si

3 Demostración = Lema Si un lenguajes es descrito por una expresión regular, entonces es regular. Demostración. Se va a mostrar que para cada posible expresión regular, existe un autómata finito que reconoce el mismo lenguaje. Para eso se consideran los 6 casos de la definición de expresión regular: R = a con a Σ, entonces L(R) = {a} R = ε, entonces L(R) = {ε} R =, entonces L(R) = { } R = R 1 R 2, R = R 1 R 2, R = R 1

4 Demostración = Lema Si un lenguaje es regular, entonces existe una expresión regular que lo describe. Demostración. Como L es un lenguaje regular, entonces existe un autómata que lo reconoce. Se va a describir un procedimiento para convertir un autómata en una expresión regular que reconoce el mismo lenguaje.

5 Procedimiento para construir una expresión regular a partir de un autómata Se parte de un DFA, que se transforma en un GNFA Se van eliminando los estados del GNFA, uno a uno, asegurándose de seguir reconociendo el mismo lenguaje Cuando el GNFA tenga dos estados, se obtiene la expresión regular correspondiente.

6 Definición de GNFA (Autómata no determinista finito generalizado) Definición Un GNFA es una 5-tupla de la forma G = {Q,Σ,δ,q start,q accept }, donde: Q es un conjunto finito de estados Σ es el alfabeto de entrada δ : (Q {q accept }) (Q q { start}) R es la función de transición y R es el conjunto de todas las expresiones regulares sobre Σ q start es el estado inicial q accept es el estado final

7 Características de un GNFA Ningún arco llega al estado inicial, y de él parten arcos hacia todos los demás estados Ningún arco sale del estado final y a él llegan arcos desde todos los demás estados Hay sólo un estado inicial y un estado final y ellos son diferentes entre sí De cada estado que no es inicial ni final deben partir arcos hacia todos los estados incluido él mismo.

8 Transformar un DFA en GNFA Agregar un nuevo estado inicial que se conecta mediante la cadena vacía al estado inicial original Agregar un nuevo estado final al que se llega con la cadena vacía desde todos los estados finales del DFA original Si hay más de un símbolo en una transición o varias transiciones en la misma dirección, entre un par de estados, se reemplazan por una única transición etiquetada con la unión de los símbolos Si no hay transición entre dos estados se agrega una transición etiquetada con

9 Eliminación de un estado en un GNFA Se selecciona un estado y se elimina del GNFA Se reparan las expresiones regulares asociadas a las transiciones que quedan para que representen las cadenas relacionadas con la parte que se eliminó. Ver ejemplo.

10 Algoritmo Convert(G) Sea k el número de estados de G Si k = 2 entonces retorne la expresión regular R que está en la transición que va del estado inicial al final Si k > 2 seleccionar un estado q rip diferente al inicial y al final y construya G = {Q,Σ,δ,q start,q accept }, donde: Q = Q {q rip } q i (Q q accept ) y q j (Q q start ), δ (q i, q j ) = (R 1 )(R 2 ) (R 3 ) R 4, para δ(q i, q rip ) = R 1, δ(q rip, q rip ) = R 2, δ(q rip, q j ) = R 3 y δ(q i, q j ) = R 4 Calcular Convert(G )

11 Algoritmo Convert(G) Teorema Para todo GNFA G, Convert(G) es equivalente a G. Demostración. Para k = 2: Hay un único arco y las únicas cadenas que se aceptan son las que cumplen la expresión regular que lo etiqueta, luego el autómata y la expresión son equivalentes. Para k > 2: Vemos que G es equivalente a G y como suponemos que la hipótesis se cumple para k 1 estados, entonces también se cumple para k estados.