RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA MÉTODOS DE CORTE CORTES DE GOMORY

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1 25 de Junio de 2012 RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA MÉTODOS DE CORTE CORTES DE GOMORY Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Programación Entera José Luis Quintero 1

2 Puntos a tratar 1. Idea básica de los métodos de corte 2. Aspectos de Programación Lineal (PL) 3. El Método Simplex Dual 4. Análisis de sensibilidad en PL 5. Corte entero puro de Gomory 6. Corte entero mixto de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 2

3 Métodos de corte La idea básica de los métodos de corte consiste en reestructurar el espacio de soluciones originales (continuas) de tal forma que la solución entera aparezca como un punto extremo del espacio de soluciones así modificado. Esta reestructuración del espacio de soluciones se lleva a cabo mediante la introducción de restricciones (planos de corte) diseñadas para este efecto que sistemáticamente cortan o truncan el espacio de soluciones de tal forma que ningún punto factible relevante sea excluído. Es decir, estas restricciones, cortan o truncan partes no factibles del espacio de soluciones. Programación Entera José Luis Quintero 3

4 Métodos de corte Los métodos de corte tienen la importancia histórica de ser los primeros algoritmos (publicados) que se desarrollaron para resolver modelos de programación lineal entera. El primer algoritmo finito de cortes se debe a R. Gomory en 1958 para el problema entero puro. Y más adelante en 1960 expandió la teoría del algoritmo para atacar problemas enteros mixtos. Programación Entera José Luis Quintero 4

5 Esquema general de los métodos de corte PASO 1. Resolver el modelo de programación lineal continuo asociado al problema entero lineal. a. Si la solución del modelo asociado es no factible, el problema original entero es no factible. b. Si la solución óptima satisface las restricciones enteras, esta solución es la solución óptima del modelo original. FIN. c. Si la solución óptima no satisface las restricciones enteras: PASO 2. Utilice el método de corte para generar un plano de corte. Añada la restricción que representa el corte a las restricciones del modelo y aplique el paso 1. La nueva restricción elimina la solución óptima del modelo continuo de la región factible y no elimina ningún punto entero. El método se repite hasta alcanzar la solución óptima que satisfaga las restricciones enteras. Programación Entera José Luis Quintero 5

6 Puntos a tratar 1. Idea básica de los métodos de corte 2. Aspectos de Programación Lineal (PL) 3. El Método Simplex Dual 4. Análisis de sensibilidad en PL 5. Corte entero puro de Gomory 6. Corte entero mixto de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 6

7 Aspectos importantes de Programación Lineal Un modelo de minimización de PL, puede ser expresado por: P: min z = cx s.a. Ax = b x 0 donde c R n (fila), A R m,n y b R m son conocidos. Las variables de decisión vienen representadas por x R n y z R es el valor de la función objetivo. El poliedro que constituye la región factible del espacio de opciones se denota por S. Programación Entera José Luis Quintero 7

8 Aspectos importantes de Programación Lineal Con Ax = b se puede hacer la partición A = (B N), donde B R m,m y N R m,(n-m). Como B se construye con las columnas linealmente independientes de A, se garantiza la existencia de B -1. Si se particiona x, es decir: x x = x = B x N donde x B R m y x N R (n-m), las variables agrupadas en x B se llaman variables básicas y las agrupadas en x N son no básicas, entonces Ax = b es equivalente a: ( ) x B B N = b xn Programación Entera José Luis Quintero 8

9 Aspectos importantes de Programación Lineal Al desarrollar Bx B + Nx N = b para obtener x B basta premultiplicar por B -1 : x B = B -1 b - B -1 Nx N Si se hace x N =0 se tiene una solución básica dada por x B =B -1 b. Si adicionalmente se tiene que x B 0 entonces se trata de una solución básica factible. Si se tiene una solución factible cualquiera x, dada por: x = x x B N donde x B 0 y x N 0, entonces se puede expresar: Programación Entera José Luis Quintero 9

10 Aspectos importantes de Programación Lineal luego: xb Ax = ( B N) = BxB + NxN = b xn x = = = B B b B Nx B b B a B b y j 1 j N xj j η j η donde η es el conjunto de índices no básico factible actual, a j es la j-ésima columna de A y x j es la j-ésima variable no básica. Al evaluar el objetivo en x se tiene: x z = cx = = + xn B ( cb cn ) cbxb cnxn Si x es una solución óptima entonces la base asociada B es tal que: x j B -1 b 0, 1 cbb N c N 0 Programación Entera José Luis Quintero 10

11 Puntos a tratar 1. Idea básica de los métodos de corte 2. Aspectos de Programación Lineal (PL) 3. El Método Simplex Dual 4. Análisis de sensibilidad en PL 5. Corte entero puro de Gomory 6. Corte entero mixto de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 11

12 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual Suponga que se tiene una solución óptima pero infactible para un problema de minimización. Ello significa que los coeficientes de costo reducidos son no positivos, pero algún elemento del vector de recursos es negativo. Ya se verá cómo se puede llegar a esta situación. Sea el siguiente tablero correspondiente a un problema de minimización: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD En él se observa que todos los coeficientes de costos son no positivos, por lo que la solución actual es óptima. También se observa que la solución actual es infactible, pues hay elementos negativos en el vector de recursos. Programación Entera José Luis Quintero 12

13 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual Se plantea el problema siguiente: es posible realizar una secuencia de operaciones de pivoteo que permitan recuperar factibilidad sin perder optimalidad? Es posible pivotear hasta obtener una solución factible que también sea óptima? La respuesta es afirmativa. La idea es hacer crecer los elementos del vector de recursos hasta recuperar la factibilidad sin perder la optimalidad. Ello requiere que si se hace un pivoteo, el elemento del vector de recursos que sea negativo crezca hasta dejar de serlo, al mismo tiempo que ningún coeficiente de costo se haga positivo. De acuerdo al significado que se dió a los coeficientes tecnológicos, si alguno de ellos es negativo entonces el crecimiento de la variable asociada genera cantidades adicionales de ese recurso en lugar de consumirlo, por lo tanto su valor aumenta. Programación Entera José Luis Quintero 13

14 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual Este último hecho indica que de hacer entrar una variable x k (k=1,2,...,n) a la base, ello ayudará a eliminar la infactibilidad detectada en algún b i (aquel b i <0 para algún i=1,2,...,m), siempre y cuando se cumpla que y k i < 0. Luego, para hacer no negativo el elemento 4 del LD, se debe pivotear en alguna de las posiciones sombreadas: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD lo cual llevaría a entrar a la base a x 1 o a x 3. Programación Entera José Luis Quintero 14

15 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual La selección de la variable que se debe hacer entrar a la base depende del efecto del pivoteo sobre la optimalidad. La relación entre el coeficiente de costo reducido z k -c k y el valor k dado por yi (para y k i < 0) indica en cuánto se puede desmejorar el valor actual del objetivo por un crecimiento unitario de la variable x k que beneficie la factibilidad. La idea es pivotear donde se desmejore lo menos posible el valor actual de la función objetivo. Por ello, para escoger la variable que va a entrar se hace un TRM entre los valores negativos de la fila del objetivo y los valores negativos de la fila pivote. El método es como sigue: Programación Entera José Luis Quintero 15

16 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual 1. Elija la fila pivote que corresponda al elemento del vector de recursos más negativo. 2. Elija la columna pivote haciendo el TRM entre los coeficientes de costo reducidos y los valores negativos de la matriz tecnológica en esa fila pivote. Si no se puede hacer el TRM por no encontrar denominadores negativos, el problema no es factible. Programación Entera José Luis Quintero 16

17 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual En el ejemplo actual la fila pivote es la sombreada: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD El TRM indica la columna pivote: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD TRM , Programación Entera José Luis Quintero 17

18 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual Al pivotear se llega a: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD /2 1/2 1-1/ /2 3/2 0-1/2 2 Ahora se procede con la siguiente fila pivote, la cual se ha sombreado: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD /2 1/2 1-1/ /2 3/2 0-1/2 2 Programación Entera José Luis Quintero 18

19 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual El TRM indica la columna pivote: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD /2 1/2 1-1/ /2 3/2 0-1/2 2 TRM --- 1, al pivotear se tiene: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD /5-8/5-1/5 28/ /5-2/5 1/5 2/ /5-1/5-2/5 11/5 el cual sigue siendo un tablero óptimo, pero es además factible. Programación Entera José Luis Quintero 19

20 Ejemplo 1. La mecánica del Método Simplex Dual Gráficamente, la situación puede representarse en un caso bidimensional como sigue: x 2 Óptimo infactible Ganar factibilidad sin perder optimalidad (0,0) x 1 Programación Entera José Luis Quintero 20

21 Puntos a tratar 1. Idea básica de los métodos de corte 2. Aspectos de Programación Lineal (PL) 3. El Método Simplex Dual 4. Análisis de sensibilidad en PL 5. Corte entero puro de Gomory 6. Corte entero mixto de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 21

22 Análisis de sensibilidad INCLUSIÓN DE UNA NUEVA RESTRICCIÓN Si se agrega una nueva restricción, ésta no afecta la optimalidad pero si puede afectar la factibilidad: basta con que la nueva restricción haga que la solución óptima actual sea infactible. De ser ese el caso se puede aplicar el Método Simplex Dual para recuperar la factibilidad. Se tiene una solución óptima de base B, por lo que las soluciones básicas vienen dadas por la relación: y se agrega la restricción + B Esta última puede escribirse como: m 1 a + a m+ 1 x B -1 1 NxN = B b m+ 1 a x bm+ 1 m+ 1 m+ 1 a B xb + an xn + xn+ 1 = bm+ 1 donde B y N son, respectivamente, las componentes básicas y no básicas del vector fila a m+1 y x n+1 es una variable de holgura no negativa. Programación Entera José Luis Quintero 22

23 Luego, en la solución óptima se tiene: entonces, las primeras m soluciones básicas vienen dadas por: y la solución básica m+1, que es x n+1, será factible si: b B a b x N)x B a (a 1 1 m B 1 m 1 n N 1 1 m B 1 m N = + b B Nx B x 1 N 1 B = + 0 b B a b 1 1 m + + Análisis de sensibilidad Programación Entera José Luis Quintero 23 Es decir, si en el tablero óptimo, la holgura de la nueva restricción introducida es no negativa, entonces la nueva restricción no excluye la solución óptima anteriormente alcanzada. En ese caso la solución óptima actual sigue siendo factible, en caso contrario, debe recuperarse factibilidad con el Método Simplex Dual. 0 b B a b B 1 m +

24 Ejemplo 2. Inclusión de una nueva restricción Sea el tablero inicial: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD cuyo tablero óptimo es: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 LD Qué ocurre si se agrega al problema original la restricción -x 1 +2x 3 2? Programación Entera José Luis Quintero 24

25 Ejemplo 2. Inclusión de una nueva restricción Al llevar la nueva restricción a la forma se tiene: x 1-2x 3-2 luego: b3 abb b = ( 1 0) = 2 6 = 8 0 Como la solución pasa a ser infactible, se agrega la nueva restricción y se modifica el tablero anterior a: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 LD Programación Entera José Luis Quintero 25

26 Ejemplo 2. Inclusión de una nueva restricción Se gana forma canónica y se llega al tablero: Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 LD a partir del cual se puede aplicar el Método Simplex Dual para recuperar factibilidad. Programación Entera José Luis Quintero 26

27 Puntos a tratar 1. Idea básica de los métodos de corte 2. Aspectos de Programación Lineal (PL) 3. El Método Simplex Dual 4. Análisis de sensibilidad en PL 5. Corte entero puro de Gomory 6. Corte entero mixto de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 27

28 Corte entero puro de Gomory Sea P un modelo de programación lineal entera pura de la forma: P min cx s.a. Ax x 0 Se supondrá que los datos son enteros. Suponga que se resuelve el modelo lineal P y se halla x (solución óptima). Si x es entero FIN. En caso contrario, se genera una restricción (corte) que elimine a x de la región factible y no elimine ningún punto entero factible. b x entero Sea B una base asociada a x, en tal caso 1 B b 0 B 1 c B N c 0 N Programación Entera José Luis Quintero 28

29 Corte entero puro de Gomory j 1 j Sea xb = B b B NxN = B b B a xj = B b y xj. x B Si x = no es entero, entonces k /(x B) k no es entero j Se tiene (x ) = (B b) (B Nx ) = (B b) ykx descomponer se obtiene j η j η j η B k k N k k j (x ) (B b) f ( y g )x 1 j j B k = k + k k + k j parte j η parte parte parte fraccional entera entera fraccional con 0 < f < 1, 0 < g < 1. k j k donde al Como 0 < fk < 1 y j j gkx j 0, se sigue que fk gkx j < 1. j η j η Programación Entera José Luis Quintero 29

30 Corte entero puro de Gomory La restricción k j η j k f g x 0 j elimina con seguridad a la solución óptima x porque en el óptimo se exigió que 0 < fk < 1, condición que no es satisfecha por la restricción (1). A la restricción (1) se le conoce como CORTE ENTERO PURO DE GOMORY. (1) Para obligar a (x B) k a tomar un valor entero, una vez que el j vector x N deje de ser nulo, basta que fk gkx j sea entero. Por lo tanto la restricción (1) es una condición necesaria para lograr el requisito del apartado anterior. j η Programación Entera José Luis Quintero 30

31 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory Considere el siguiente modelo de programación entera pura Max Z = 120x + 80x s.a. 2x + x x + 8x 28 x,x 0, enteros que resulta equivalente al modelo Min W = Z = 120x 80x s.a. 2x + x x + 8x 28 x,x , enteros 1 2 Programación Entera José Luis Quintero 31

32 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory El tablero óptimo viene dado por W X1 X2 X3 X4 LD /9-40/9-3520/ /9-1/9 20/ /9 2/9 14/9 Se puede leer la solución óptima P1 = (x1,x2) = (20/9,14/9) W = -3520/9 El primer corte de Gomory viene dado por la restricción 3 4 f2 g2x3 g x4 = x3 x4 0 x3 x Programación Entera José Luis Quintero 32

33 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 33

34 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory En términos de las variables originales del problema se tiene x3 x4 2x1 + 2x Al introducir el corte x3 x4 + x5 = W X1 X2 X3 X4 X5 LD /9-40/ / /9-1/9 0 20/ /9 2/9 0 14/ /9-2/9 1-5/9 al tablero óptimo: Se necesita aplicar el Método Simplex Dual para recuperar factibilidad. Programación Entera José Luis Quintero 34

35 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory Después del aplicar el Método Simplex Dual se obtiene: W X1 X2 X3 X4 X5 LD /2 5/ /2 5/2 Se puede leer la solución óptima P2 = (x1,x2) = (5/2,1) W = -380 El segundo corte de Gomory viene dado por la restricción 3 5 f1 g1x g1x5 = x5 0 x Programación Entera José Luis Quintero 35

36 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 36

37 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory En términos de las variables originales del problema se tiene 1 1 x5 x1 + x Al introducir el corte 1 x x6 = 2 2 W X1 X2 X3 X4 X5 X6 LD /2 0 5/ /2 0 5/ /2 1-1/2 al tablero óptimo: Se necesita aplicar el Método Simplex Dual para recuperar factibilidad. Programación Entera José Luis Quintero 37

38 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory Después de aplicar el Método Simplex Dual se obtiene W X1 X2 X3 X4 X5 X6 LD Se puede leer la solución óptima lineal entera P3 = (x1,x2) = (3,0) W = -360 De modo que Z = 360. Programación Entera José Luis Quintero 38

39 Ejemplo 3. Corte entero puro de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 39

40 Puntos a tratar 1. Idea básica de los métodos de corte 2. Aspectos de Programación Lineal (PL) 3. El Método Simplex Dual 4. Análisis de sensibilidad en PL 5. Corte entero puro de Gomory 6. Corte entero mixto de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 40

41 Corte entero mixto de Gomory Sea P un modelo de programación lineal entera mixta de la forma: P min cx s.a. Ax b x 0 x entero si j J j J es un conjunto de índices de var iables que son requeridas enteras Sea B una base asociada a x, en tal caso 1 B b 0 B 1 c B N c 0 N Programación Entera José Luis Quintero 41

42 Corte entero mixto de Gomory j 1 j Sea xb = B b B NxN = B b B a xj = B b y xj. j η j η Sea k /(x B) k que debe ser entera y no lo es j Se tiene (x ) = (B b) (B Nx ) = (B b) ykx descomponer se obtiene j η B k k N k k j donde al con 0 < f < 1. k (x ) (B b) f y x 1 j B k = k + k k j parte j η parte fraccional entera Si se desea que (x B) k sea entera, entonces se debe cumplir solo una de las dos condiciones siguientes: Programación Entera José Luis Quintero 42

43 Corte entero mixto de Gomory 1 1 A. (x B) k (B b) k B. (x B) k (B b) k + 1 De la restricción A se tiene que: (x ) (B b) = f y x 0 1 j B k k k k j j η (2) De la restricción B se tiene que: Se definen (x ) (B b) = f y x 1 1 j B k k k k j j η { j } { j } k k + J = j η /y > 0, J = j η / y < 0 (3) J + J En función de y las restricciones (2) y (3) implican: Programación Entera José Luis Quintero 43

44 Corte entero mixto de Gomory j j j j k k j k k j k k j k j k j J + j η j J + j J + f y x f y x 0 f y x 0 y x f j j j j k k j k k j k k j k j k j J j η j J j J f y x f y x 1 f y x 1 y x 1 f (4) (5) Multiplicando ambos miembros de (5) por f k 1 f k > 0 se tiene: f k 1 fk j J y x j k j f k (6) Como las condiciones (4) y (6) son exclusivas (por definición) se pueden combinar para obtener la restricción Programación Entera José Luis Quintero 44

45 Corte entero mixto de Gomory f k j j ykxj ykxj fk 1 fk j J j J + (7) A la restricción (7) se le conoce como CORTE ENTERO MIXTO DE GOMORY. La restricción (7) es una condición necesaria para lograr que (x ) sea entera. B k Programación Entera José Luis Quintero 45

46 Ejemplo 4. Corte entero mixto de Gomory Considere el siguiente modelo de programación entera mixta Max Z = x + 3x s.a. x + 2x 10 x,x x + 3x 3 0, x entero que resulta equivalente al modelo Min W = Z = x 3x s.a. x + 2x 10 x,x 1 2 x + 3x , x entero Programación Entera José Luis Quintero 46

47 Ejemplo 4. Corte entero mixto de Gomory En la forma estándar se tiene: Min W = x 3x 1 2 s.a. x + 2x + x = x + 3x + x = 3 x,x,x,x El tablero óptimo viene dado por 0, x entero W X1 X2 X3 X4 LD /5-1/5-63/ /5-2/5 24/ /5 1/5 13/5 Se puede leer la solución óptima P1 = (x1,x2) = (24/5,13/5) W = -63/5 Programación Entera José Luis Quintero 47

48 Ejemplo 4. Corte entero mixto de Gomory El primer corte de Gomory viene dado por la restricción y1x4 y1 x3 f 1. x 4 4 x3 1 5 f f x x Programación Entera José Luis Quintero 48

49 Ejemplo 4. Corte entero mixto de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 49

50 Ejemplo 4. Corte entero mixto de Gomory En términos de las variables originales del problema se tiene x3 x4 x1 + 6x Al introducir el corte x3 x4 + x5 = W X1 X2 X3 X4 X5 LD /5-1/5 0-63/ /5-2/5 0 24/ /5 1/5 0 13/ /5-8/5 1-4/5 al tablero óptimo: Se necesita aplicar el Método Simplex Dual para recuperar factibilidad. Programación Entera José Luis Quintero 50

51 Ejemplo 4. Corte entero mixto de Gomory Después del aplicar el Método Simplex Dual se obtiene: W X1 X2 X3 X4 X5 LD /8 0-1/8-25/ /4 0-1/ /8 0 1/8 5/ /8 1-5/8 1/2 Se puede leer la solución óptima P2 = (x1,x2) = (5,5/2) De modo que Z = 25/2. W = -25/2 Programación Entera José Luis Quintero 51

52 Ejemplo 4. Corte entero mixto de Gomory Programación Entera José Luis Quintero 52

53 Pensamiento de hoy Unexpertoesaquelqueyaha cometido todos los errores posibles en una materia muy concreta. Niels Bohr Programación Entera José Luis Quintero 53