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1 PROGRAMACIÓN LINEAL. La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de modelos). La programación lineal (PL) es una técnica matemática de optimización, es decir, un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo. Su interés principal es tomar decisiones óptimas. Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. S i bien esos sectores han sido quizá los principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector público de la economía también la han aprovechado ampliamente. ESTRUCTURA BÁSICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL) Un problema de PL consta de una función objetivo (lineal) por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades. Conceptos clave: Función objetivo: La función por optimizar (maximizar o minimizar) Restricciones: Representan condiciones que es preciso satisfacer. Sistema de igualdades y desigualdades ( Ó ) Maximizar 1.2 Función objetivo Sujeto a 2 Y 180 3Y 300 Restricciones BORJA Página 1

2 Minimizar 6 8 Función objetivo Sujeto a Restricciones TIPOS DE RESTRICCIONES. De no negatividad Estructurales Garantizan que ninguna variable de Decisión sea negativa. Reflejan factores como la limitación Función objetivo De recursos y otras condiciones que Impone la situación del problema. Maximizar 5 6 Sujeto a y 0 Restricciones Estructurales Restricciones de no negatividad BORJA Página 2

3 SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PL. Cuando un modelo de programación lineal se expresa en términos de dos variables puede resolverse con procedimientos gráficos. Conceptos clave: Conjunto factible: Es el conjunto de puntos que integran la región de resolución. Solución factible: Cada punto que integra la región (plana) que resuelve el problema. Solución óptima: Constituye la solución al problema de programación lineal. Cuál es el objetivo de la solución gráfica? Encontrar (entre todos los puntos del conjunto factible) el punto o los puntos que optimicen la función objetivo. Maximizar 3 2 Sujeto a 2 3Y 12 Paso 1 2 Y 8 Se igualan las restricciones: 2 3Y 12 Ecuación 1 2 Y 8 Ecuación 2 BORJA Página 3

4 Paso 2 Se grafican las ecuaciones, se puede hacer escogiendo un conjunto de números que nos permitan dibujar la línea (por ejemplo 0, 1, 2, 3,-1, -2, -3), es decir, para la ecuación 1 X Y 1 10/3 2 8/ /3-2 16/3-3 6 Y de la misma forma se procede con la ecuación 2. Una manera más sencilla es la siguiente: Para la ecuación 1 2 3Y 12 X Y Para la ecuación 2 2 Y 8 X Y Con estos puntos obtendremos la siguiente gráfica. BORJA Página 4

5 El área sombreada de azul es la que corresponde al conjunto factible, cada punto que contiene el conjunto factible es un candidato para resolver este problema. Ya que tienes graficado el conjunto factible (el área azul de la gráfica) identifica las coordenadas de todas las esquinas (vértices) del conjunto factible: A (0,4) B (3,2) C (4,0) BORJA Página 5

6 Nota: Para poder encontrar las coordenadas del punto B tienes que resol ver el sistema de ecuaciones conformado por las dos ecuaciones anteriores (2 3Y 12 y 2 Y 8) puedes resolver el sistema a través de los métodos que ya debes de haber estudiado anteriormente (suma y resta, sustitución, igualación o gráfico). En nuestro caso utilizaremos el método de sustitución. 2 3Y 12 Ecuación 1 2 Y 8 Ecuación 2 Paso 1. Se despeja Y de la ecuación 2 Y 8 2 Paso 2. Se sustituye el valor de Y en la ecuación Paso 3. Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de X / 4 3 Paso 4. Sustituye el valor de X en el despeje que hiciste en el paso 1. Y Y 8 6 Y 2 Y con esto obtienes el resultado del vértice B (3,2) BORJA Página 6

7 Después de haber encontrado las coordenadas de todas las esquinas es necesario que sustituyas el valor de cada una de ellas en la función objetivo, para que encuentres el valor máximo (o mínimo, según sea el caso). Resultados: Sustituyendo el valor del vértice A en la función objetivo. Vértice A (0,4) Valor 8 Vértice B (3,2) Valor 13 Vértice C (4,0) Valor Vértice A (0,4) Vértice B (3,2) Vértice (4,0) Observando los resultados podemos concluir que el máximo se encuentra en el vértice B. FIN BORJA Página 7

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