Optimización y Programación Lineal

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1 Optimización y Programación Lineal Problemas resueltos con el método gráfico 4 de junio de Resuelva el siguiente PL por el método gráfico Max z = x 1 + x 2 x 1 + x 2 4 x 1 x 2 5 En la figura 1 se observa que la región factible es vacía. 2. Resuelva el siguiente PL por el método gráfico Max z = 4 x 1 + x 2 8 x x x x 2 12 En la figura 2 se observa que las curvas de nivel de la función objetivo son paralelas a un lado de la región factible que es hacia donde crece el valor de la función objetivo. Dos posibles soluciones son P (x 1 = 4/3, x 2 = 8/3) y Q(x 1 = 2, x 2 = 0) ambas con evaluación z = 8. Pero cualquier punto en el segmento P Q será máximo. Por tanto, el problema PL tendrá múltiples soluciones. 3. Resuelva el siguiente PL por el método gráfico Max z = x x 2 x 1 x 2 4 x x 2 4 En la figura 3 se observa que la región factible no es acotada y hacia donde las curvas de nivel crecen es en la dirección de no actotamiento. Por tanto, el PL no tendrá solución óptima y no es acotado. 1

2 (0, 4) x 1 + x 2 4 x 1 0 x 2 0 (4, 0) (5, 0) (0, 5) x 1 x 2 5 Figura 1: óptima al problema 1 8 x x 2 16 (0, 8) (0, 6) 5 x x 2 12 P (4/3, 8/3) (12/5, 0) Q(2, 0) z = 8 Figura 2: Múltiples soluciones al problema 2 2

3 z = 26 z = 22 z = 18 z = 14 z = 10 z = 6 z = 2 (0, 2) x 1 x 2 4 (4, 0) x x 2 4 Figura 3: No acotamiento en el problema 3 4. Leary Chemical produce tres productos químicos: A, B y C. Estos productos se obtienen mediante dos procesos: 1 y 2. El funcionamiento del proceso 1 durante una hora cuesta 4 dólares y produce 3 unidades del producto A, 1 unidad del producto B, y 1 unidad del producto C. El funcionamiento del proceso 2 durante 1 hora cuesta 1 dolar y produce 1 unidad del producto A y 1 unidad del producto B. Para satisfacer la demanda de los clientes hay que producir diariamente por lo menos 10 unidades del producto A, 5 del producto B y 3 del producto C. Determine el modelo que le permita a Leary Chemical minimizar el costo diario y que satisfaga las demandas diarias. Resuelva este problema por el método gráfico. Modelo PL Variables de decisión x 1 el número de horas dedicadas al proceso 1 x 2 el número de horas dedicadas al proceso 2 Objetivo Minimizar el costo operativo diario z = 4 dolar x hora dolar x hora 2 (dólares) Restricciones Satisfacer las demandas de los clientes Producto A generados: 3 x x 2 10 Producto B generados: 1 x x 2 5 Producto C generados: 1 x x 2 3 Naturales: x 1, x 2 0 al PL En la figura 4 se ilustra la región factible y la dirección del gradiente (línea verde). Por tanto, el óptimo (en este caso mínimo) lo alcanza x 1 = 3 y x 2 = 2 lo cual da z = 14: la estrategia óptima de minimización es dedicar 3 horas al proceso 1 y 2 hora al proceso 2. Esto genera 11 productos 3

4 (0, 10) 3 x 1 + x 2 10 x 1 3 x 1 + x 2 5 (0, 5) z(x 1 = 3, x 2 = 2) = 14 (10/3, 0) (5, 0) z = 14 z = 20 Figura 4: óptima al problema de Leary Chemical A, 5 productos B y 3 productos C a un costo total de 14 dólares. Observe que la región es infinita pero sí existe valor óptimo. 5. La granjera Jane posee 45 acres de tierra. Ella puede plantar o trigo o maíz. Por cada acre de tierra sembrado con trigo le da una ganancia de 200 dólares, mientras que cada acre sembrado con maíz le da una ganancia de 300 dólares. La labor y el fertilizante requerido por cada acre aparece en la siguiente tabla. Trigo Maíz Labor 3 trabajadores 2 trabajadores Fertilizante 2 toneladas 4 toneladas Se tienen disponibles 100 trabajadores y 120 toneladas de fertilizante. Determine un modelo PL para determinar como Jane puede maximizar la ganancia de su tierra. Resuelva este problema por el método gráfico. Modelo PL Variables de decisión x 1 el total de acres de tierra a ser plantados con trigo. x 2 el total de acres de tierra a ser plantados con maíz. Objetivo Maximizar la utilidad z = 200 x x 2 Restricciones Recurso trabajadores requeridos: 3 x x

5 3 x x (0, 50) (0, 30) z(x 1 = 20, x 2 = 20) = 10, 000 z = 15, 000 z = 10, 000 (60, 0) z = x x Figura 5: gráfica al problema de la granjera Jane Recurso fertilizante, toneladas de fertilizante usadas: 2 x x Naturales: x 1, x 2 0 al PL En la figura 5 se ilustra la región factible y en líneas sólidas las curvas de nivel de k = 200 x+300 y. Por lo tanto el óptimo está en x 1 = 20,x 2 = 20: la estrategia óptima de maximización es plantar 20 acres de trigo y 20 acres de maíz. Esto utiliza todos los trabajadores y todo el fertilizante y produce una utilidad de 10,000 dólares. 5