Ejercicios Propuestos

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: Dr. JUAN LUGO MARÍN Tema No. 1 Modelación Matemática. Programación Lineal Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos 1. Planeación Financiera. Willie Markit es el presidente de una firma de inversiones, de una persona, que maneja los portafolios de valores de cierto número de clientes. Un cliente nuevo ha solicitado recientemente que la firme le maneje una cratera de $ Al cliente le gustaría limitar el portafolio a una combinación de las tres acciones que se muestran en la tabla 1. Formule un modelo de Programación Lineal (PL) que determine cuantas acciones de cada tipo debería comprar Willie para maximizar el beneficio total anual estimado. Tabla 1 Tipo de Acción Extracción de crudo Negocio de lubricantes Negocio de Refinación Precio por acción ($) Utilidad estimada anual por acción ($/ año) Máxima inversión posible ($) Planeación de portafolios. Una compañía de inversiones tiene actualmente $10 millones para invertir. La meta consiste en maximizar la utilidad que se espera obtener en el próximo año. Las cuatro posibilidades de inversión se resumen en la tabla 2. Además la 1

2 compañía ha establecido que por lo menos el 30% de los fondos deberá ser colocado en el tronco común y en bonos de la tesorería, y no más del 40% en el mercado de valores y bonos municipales. Se deben colocar todos los $ 10 millones actualmente disponibles. Formule un modelo de PL que diga cuanto dinero invertir en cada agencia. Tabla 2 Posibilidad de Réditos esperados Inversión Máxima Inversión (Utilidad) % permisible (millones de $) Bonos de la tesorería 8 5 Tronco Común 6 7 Mercado de dinero 12 2 Bonos municipales Administración de granjas. Una firma opera cuatro granjas de productividad comparable. Cada granja tiene una cierta cantidad de acres útiles y un número de horas disponibles para plantar y atender los cultivos. Los datos para la siguiente temporada se muestran en la tabla 3.1. La organización está pensando en sembrar tres clases de cultivos que se diferencian fundamentalmente en el beneficio esperado por acre y en la cantidad de trabajo que requieren, según se muestra en la tabla 3.2. Por otra parte el área total que puede ser destinada a cualquier cultivo en particular está limitada por los requerimientos de equipo de cultivo. Con el objeto de mantener cargas de trabajo uniformes a grandes rasgos entre las granjas, la política de la administración es que la proporción de área aprovechada debe ser la misma entre las granjas. Sin embargo se puede cultivar cualquier combinación de las plantaciones en tanto se satisfagan todas las restricciones (incluyendo el requerimiento de carga de trabajo uniforme). La administración desea saber cuantos acres de cada cultivo deben sembrarse en las respectivas granjas con el objeto de maximizar las utilidades. Formule esto como un modelo de PL. 2

3 Tabla 3.1 GRANJA ÁREA UTILIZABLE HORAS DE TRABAJO (Acres) DISPONIBLES POR MES (Hrs-h /mes) Tabla 3.2 SECHA CO ÁREA MÁXIMA HORAS DE LABOR (Acre) REQUERIDAS AL MES POR ACRE UTILIDAD ESPERADA POR ACRE ($) A B C Proceso de producción. Una pequeña firma tiene dos procesos para combinar cada uno de dos productos, fluido para marcha y fluido para encendedor de cigarrillos. La firma está tratando de decidir cuantas horas correrá cada proceso. Por una hora del proceso 1, se consumen 3 unidades de kerosene y 9 unidades de benceno para producir 15 unidades de fluido para marcha y 6 de fluido para encendedor. Por una hora del proceso 2 se consumen 12 unidades de kerosen y 6 de benceno para producir 9 unidades de fluido para marcha y 24 para encendedor. Sean X1 y X2 el número de horas que la compañía decide usar los procesos 1 y 2 respectivamente. Debido al programa federal de asignaciones, la máxima cantidad de kerosene y benceno disponible son de 300 y 450 unidades respectivamente. Los compromisos de venta, requieren que se produzcan al menos 600 unidades de fluido para marcha y 225 unidades de fluido para encendedor. Las utilidades por hora que reditúan el proceso 1 y el proceso 2 respectivamente son: P1 y P2. Formule esto como un modelo de PL para maximizar las utilidades. 3

4 5. Proceso de fabricación. Se elaboran cuatro productos en forma sucesiva en dos máquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se presentan en la tabla 5 para las dos máquinas. El costo total de producción de una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de la máquina. Supóngase que el costo por horas de la máquina 1 y 2 es de $10 y $5 respectivamente. El total de horas presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son de 500 y 380. Si el precio de venta unitario de los productos 1, 2, 3 y 4 es de $65, $70, $55 y $45, respectivamente, formule este problema como un modelo de PL para maximizar la ganancia neta total. Tabla 5 áquina M Producto Producto 1 (Hr/Unid) 2 (hr/unid) Producto 3 Producto 4 (hr/unid) (hr/unid) Proceso de fabricación. Un fabricante tiene cuatro artículos A, B, C y D que deben ser producidos este mes. Cada artículo puede ser manejado en cualquiera de tres talleres. El tiempo requerido para cada artículo en cada taller, el costo por hora en cada uno de ellos y el número de horas disponibles este mes se dan en la Tabla 6. También es permitido repartir cada artículo entre los talleres en cualquier proporción. Por ejemplo, se puede hacer un cuarto del artículo A en 8 horas del taller 1 y un tercio del artículo C en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar cuantas horas de cada artículo deben manejarse en cada taller para minimizar el costo de terminar los cuatro artículos. Formule esto como un modelo de PL. 4

5 Tabla 6 Talle Costo por Tiempo r Hora de cada Taller disponible (horas) ($/hr) por taller Política de préstamo. Una institución financiera Tha nacional Bank, se encuentra en el proceso de formación de su política de préstamos para el próximo trimestre. Para ese fin se asigna un total de $12 millones. Siendo una institución de servicios integrales, está obligada a otorgar préstamos a diversos clientes. La tabla 7 señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por experiencia. Se supone que estos pagos que no se cubren son irrecuperables y, por tanto, no producen ingreso por concepto de intereses. La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el banco asigne cuando menos el 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la industria de la habitación de la región, los préstamos para casa habitación deben ser iguales cuando menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa habitación. El banco tiene asimismo, una política establecida que especifica que la relación de pagos irrecuperables con respecto al total de préstamos efectuados, no puede ser superior a Formule esto como un modelo de PL que busca maximizar el rendimiento neto esperado. Tabla 7 Tipo de Préstamo Tasa de interés Probabilidad de incobrables 5

6 Personal Automóvil Casa habitación Agrícola Comercial Posibilidades de inversión. Un ejecutivo de una empresa tiene la opción de alternativa de invertir dinero en dos planes. El plan A garantiza que cada unidad monetaria invertida ganará 70 centavos de acá a un año, y el plan B garantiza que cada unidad invertida ganará $2 de aquí a dos años. En el plan B, sólo se permiten inversiones en periodos que sean múltiplos de 2. Cómo debe invertir el ejecutivo $ para maximizar los ingresos al cabo de tres años? Formule el problema como un modelo de PL. 9. Problema de mezclas. Venezuela Ink Company mezcla tres aditivos: A1, A2 Y A3 a una base de diferentes proporciones para obtener distintos colores de tinta. La tinta roja se obtiene mezclando A1, A2 y A3 en la proporción 3:1:2, la tinta azul en la proporción 2:3:4 y la tinta verde en la proporción1:2:3. Después de mezclar estos aditivos, se añade una cantidad igual de base para cada color. La compañía actualmente tiene 1000 galones de A1, 1500 de A2, 2000 de A3 y 4000 de base. Dado que el precio de venta de cada galón de cada tipo de tinta es el mismo, desarrolle un modelo de PL para determinar como deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos. 10. Problema de producción-compra. MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de moldeado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El costo total se estima es $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana MTV Steel 6

7 Company ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies de tubo A, 4000 pies de tubo B y 5000 pies del tubo C. Como solo se dispone de 40 horas de trabajo de máquina esta semana y solo se tienen en inventario 5500 onzas de material para soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda, por lo cual en vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel está considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 10. Como gerente del Departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía. Tabla 10 Tipo Precio de Demanda Tiempo de Material Costo de Costo Venta ($/pie) (pie) Máquina (min/pie) soldar (oz/pie) producción ($/pie) compra ($/pie) A B C de 11. Planeación de Producción. Nacional Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las industrias de aviación y aeroespaciales. El departamento de ventas de NSC ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2500 y 2700 toneladas de acero para cada uno de los siguientes cuatro meses. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero extrayéndolo de su inventario, o usando cualquier combinación de las dos alternativas. Se proyecta que los costos de 7

8 producción por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatro meses sean de $7400, $7500, $7600 y $7650. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de producción se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de $120 por tonelada por cada mes que permanezca allí. Estos datos se resumen en la tabla 11. El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formule un modelo de PL para la planeación de la producción que minimice los costos totales en los próximos cuatro meses. Tabla 11 Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Demanda (Ton) Costo de producción ($/ton) Costo de inventario por mes ($/ton)