15 PROBLEMAS TIPO SOBRE FORMULACION CON PROPUESTAS DE SOLUCIÓN

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1 15 PROBLEMAS TIPO SOBRE FORMULACION CON PROPUESTAS DE SOLUCIÓN Problema Solución Una empresa fabrica dos tipos de juguetes de madera : soldados y trenes. Se vende un soldado a 27 dólares y se usan 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 14 dólares. Se vende un tren a 21 dólares y se usan 9 dólares de materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 10 dólares. La producción de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especializado : carpintería y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y 1 hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 de carpintería. Cada semana, la empresa puede conseguir toda la materia prima que necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y 80 de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límite, pero se venden a lo más 40 soldados semanalmente. Formule un modelo de programación lineal que maximice la ganancia semanal de la empresa. 2. El granjero Jones tiene que determinar cuantos acres de maíz y de trigo hay que sembrar este año. Un acre de trigo produce 25 bushel de trigo y requiere 10 horas semanales de trabajo. Un acre de maíz produce 10 bushel de maíz y requiere 4 horas semanales de trabajo. Se puede vender todo el trigo a 4 dólares el bushel y todo el maíz a 3 dólares el bushel. Se dispone de 7 acres y de 40 horas semanales de trabajo. Disposiciones gubernamentales especifican una producción de maíz de por lo menos 30 bushel durante el año en curso. Formule un modelo de programación lineal que maximice la utilidad del granjero. 3. La empresa Trucko fabrica 2 tipos de camiones : 1 y 2. Cada camión tiene que pasar por un taller de pintura y 1 taller de montaje. Si el taller de pintura tuviera que dedicarse íntegramente a la pintura de camiones tipo 1, se podrían pintar 800 camiones al día, mientras que si se dedicara enteramente a pintar camiones de tipo 2, se podrían pintar 700 camiones al día. Si el taller de montaje se dedicara exclusivamente al ensamble de motores para camiones de tipo 1, se podrían ensamblar 1500 motores diariamente, y si se dedicara únicamente a ensamblar camiones del tipo 2, se podrían ensamblar 1200 motores diariamente. Cada camión del tipo 1 aporta 300 dólares a la ganancia y cada camión del tipo 2 : 500 dólares. ingresos altos. 4. Dorian Auto fabrica autos de lujo y camiones. La compañía opina que sus clientes mas probables son mujeres y hombres de ingresos altos. Para llegar a estos grupos, Dorian Auto lanzo una campaña ambiciosa de publicidad por televisión y decidió comprar comerciales de 1 minuto en 2 tipos de programas : series cómicas y juegos de fútbol. 7 millones de mujeres de ingresos altos y 2 millones de hombres de ingresos altos ven

2 cada comercial en series cómicas. 2 millones de mujeres de ingresos altos y 12 millones de hombres de ingresos altos ven cada comercial en los juegos de fútbol. Un comercial de 1 minuto en una serie cómica cuesta $ 50,000, y un comercial de 1 minuto en un juego de fútbol cuesta $100,000. Dorian quisiera que por lo menos 28 millones de mujeres de ingresos altos y 24 millones de hombres de ingresos altos vieran los comerciales. Utilice la programación lineal para determinar como Dorian Auto puede alcanzar sus requerimientos publicitarios a un costo mínimo. 5. Mi alimentación requiere que todo lo que coma pertenezca a uno de los 4 grupos básicos de alimentos (pastel de chocolate, helado, refrescos y pastel de queso). Actualmente, se dispone de los siguientes alimentos para el consumo: bizcocho de chocolate y nueces, helado de chocolate, cola y pastel de queso con piña. Cada bizcocho cuesta $0.50, cada bola de helado de chocolate, $0.20 ; cada botella de refresco de cola, $0.30 ; y cada pieza de pastel de queso con piña, $0.80. Cada día tengo que ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada elemento se muestra en la siguiente tabla: Calorías Chocolate(onzas) Azúcar(onzas) Grasa(onzas) Bizcocho Helado de chocolate(1 bola) Refresco de cola(una botella) Pastel de queso con piña ( 1 pieza) Formule un modelo lineal que se pueda utilizar para satisfacer mis requerimientos alimenticios diarios a un costo mínimo. 6. U.S Labs produce válvulas mecánicas para el corazón a partir de válvulas de cerdo. Operaciones diferentes del corazón necesitan válvulas de distintos tamaños. U.S Labs compra válvulas de puercos de tres proveedores diferentes. Los costos y la mezcla de tamaños de válvulas compradas a cada proveedor se muestran en la siguiente tabla. Costo por Porcentaje Porcentaje Porcentaje válvula grande mediana pequeña (dólares) Proveedor Proveedor Proveedor

3 Cada mes U.S Labs hace un pedido a cada proveedor. Hay que compara por lo menos 500 válvulas grandes, 300 medianas y 300 pequeñas al mes. Debido a la disponibilidad limitada de válvulas de puercos, solamente se pueden comprar mensualmente 500 válvulas de cada proveedor. Formule un modelo de programación lineal para el caso que minimice el costo de adquisición. 7. Goldilocks tiene que obtener por lo menos 12 libras de oro y por lo menos 18 libras de plata para pagar la renta mensual. Existe dos minas en las cuales Goldilocks puede encontrar oro y plata. Cada día que Glodilocks esta en la mina 1, encuentra dos libras de oro y dos libras de plata. Cada día que esta en la mina 2 encuentra 1 libra de oro y 3 libras de plata. Formule un modelo de programación lineal para ayudar a Goldilocks a satisfacer sus requerimientos, minimizando el tiempo que tiene que estar en las minas. 8. Una oficina de correos necesita un numero diferente de empleados de tiempo completo, para diferentes días de la semana. El numero de empleados de tiempo completo requeridos para cada día se presenta la siguiente tabla. Día de la semana Numero de empleados de tiempo completo requerido Lunes 17 Martes 13 Miércoles 15 Jueves 19 Viernes 14 Sábado 16 Domingo 11 Las reglas sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo tiene que trabajar durante 5 días consecutivos y después descansar 2 días. La oficina de correos quiere cumplir con sus requisitos diarios y utilizar solamente empleados de tiempo completo. Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizar la oficina de correos para minimizar el numero de empleados de tiempo completo que debe contratar. 9. Durante cada periodo del día de 6 horas, el departamento de Policía de Bloomington necesita por lo menos el numero de policías, mostrado en la siguiente tabla : Tiempo periodo Numero de policías requeridos Medianoche- 6 a.m a.m.- Mediodía 8 Mediodía- 6 p.m. 6 6 p.m. - Medianoche 15

4 Se pueden contratar a los policías para que trabajen 12 horas seguidas o 18 horas seguidas. Se pagan a los policías $ 4 la hora por cada una de las primeras 12 horas del día que trabajan y $ 6 la hora por cada una de las siguientes 6 horas. Formule un modelo de programación lineal para minimizar los costos. 10. StarOil Company considera diferentes oportunidades de inversión. En la siguiente tabla se dan los desembolsos de caja y los Valores actuales netos (en millones de dólares). INV 1 INV 2 INV 3 INV 4 INV 5 Salida de caja al tiempo cero Salida de caja al tiempo 1 VAN StarOil dispone de 40 millones de dólares para invertir en el momento actual ( tiempo cero); estima que en 1 año (tiempo 1) dispondrá de 20 millones de dólares para invertir. StarOil puede comprar cualquier fracción de cualquier inversión. En este caso, las salidas de caja y los VAN se ajustan en forma correspondiente. Formule un modelo de programación lineal para que la compañía maximice la inversión. 11. SumcoOil produce 3 tipos de gasolina (1,2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando 3 tipos de petróleo crudo (1,2 y 3). La siguiente tabla presenta los precios de venta por barril de las gasolinas y los precios de compra por barril del petróleo crudo. Precio de Venta por barril (dólares) Precio de compra por barril (dólares) Gasolina 1 70 Crudo 1 45 Gasolina 2 60 Crudo 2 35 Gasolina 3 50 Crudo 3 25 Los 3 tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tienen que tener un índice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo mas 1% de azufre. La mezcla de petroleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 tienen que tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo mas 2% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tienen que tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo mas 1% de azufre. El índice de octano y el contenido de azufre de los 3 tipos de petróleo se dan en la siguiente tabla :

5 Índice de Octano Contenido de azufre Crudo % Crudo % Crudo % La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta $ 4 y la refinería de Sumco puede producir diariamente hasta 14,000 barriles de gasolina. Los clientes de Sumco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina : Gasolina 1; 3,000 barriles, Gasolina 2; 2,000 barriles Gasolina 3; 1,000 barriles. La compañía se siente comprometida a cumplir con estas demandas. Formule un modelo de programación lineal que le permita a la compañía maximizar sus ganancias. 12. Ud. Ha decidido entrar en los negocios de los dulces. Está considerando producir 2 tipos de dulces : D1 Y D2, que se componen solamente de azúcar, nueces y chocolate. Actualmente, tiene en bodega 100 onzas de azúcar, 20 onzas de nueces y 30 onzas de chocolate. La mezcla para producir D2 tiene que contener por lo menos 20% de nueces. La mezcla para producir D1 tiene que contener por lo menos 10% de nueces y por lo menos 10% de chocolate. Cada onza D2 se vende a $ 0.25, y una onza de D1 a $ Formule un modelo de programación lineal que le permita maximizar sus ingresos. 13. O.J Juice Company vende bolsas con naranjas y cajas de cartón con jugo de naranja. Está empresa clasifica las naranjas (desde 1 deficiente hasta 10 excelente). Actualmente, la empresa tiene 1`000,000 libras de naranjas de clase 9 y libras de naranjas de clase 6. La calidad media de las naranjas que se venden en bolsas, tiene que ser por lo menos 7, y la calidad media de las naranjas que se usan para producir jugo, tiene que ser por lo menos 8. Cada libra de naranja que se usan para producir jugo proporciona un ingreso de $ 1.50 y produce un costo variable de $1.05. Cada libra de naranjas vendidas en bolsas proporciona un ingreso de $ 0.50 y produce un costo variable de $0.20. Formule un modelo de programación lineal que le permita maximizar sus ganancias. 14. Un Banco trata de determinar en que invertir sus activos en el año en curso. Actualmente dispone de $500,000 para invertir en bonos, préstamos hipotecarios, prestamos para compra de autos y prestamos personales. La tasa de rendimiento anual de cada inversión resulta ser : 10% para bonos, 16% para préstamos hipotecarios, 13% para prestamos para compra de autos y 20 % para prestamos personales. Para asegurar la cartera del banco no es demasiado arriesgada, el gerente de Inversiones del Banco ha puesto las siguientes 3 restricciones : (1) La cantidad invertida en prestamos personales no puede ser mayor que la cantidad invertida en bonos. (2) La cantidad invertida en prestamos hipotecarios no puede ser mayor que la cantidad invertida en prestamos para autos. (3) No puede invertirse mas del 25 % de la cantidad total invertida en prestamos personales.

6 El objetivo del Banco es maximizar el rendimiento anual de su cartera de inversiones. Formule un modelo de programación lineal para tal efecto. 15. Bullco mezcla silicio y nitrógeno para producir dos tipos de fertilizantes. El fertilizante 1 tiene que contener por lo menos 40% de nitrógeno y se vende a $70 por libra.. El fertilizante 2 tiene que contener por lo menos 70% de silicio y se vende a $40 por libra. Bullco puede comprar hasta 80 libras de nitrógeno a $15 por libra y hasta 100 libras de silicio a $10 la libra. Formule un modelo de programación lineal que ayude a Bullco a maximizar sus ganancias suponiendo que se puede vender todo el fertilizante producido. SOLUCIÓN: los siguientes problemas se solucionaron por el software LP. 1 Fábrica de Juguetes F.O. Maximizar Ganancias o Número de soldados S o Número de trenes T o Número de horas de acabado <= 100 o Número de horas de carpintería <= 80 o Número de soldados <= 40 F.O. Max [ ( )*S + ( )*T ] F.O. Max ( 3*S + 2*T ) o 2S + T <= 100 o S + T <= 80 o S, T >= 0 o S <= Granjero Jones F.O. Maximizar Utilidad o Número de acres de maíz M o Número de acres de trigo T o Número de acres <= 7 o Número de horas <= 40 o 10 * Maíz >= 30 F.O. Max [ (10*3)*M + (25*4)*T ] F.O. Max ( 30*M + 100*T ) o M + T <= 7

7 o 4*M + 10*T <= 40 o 10* M >= 30 o M, T >= 0 3 Empresa Trucko F.O. Maximizar Utilidad o Número de camiones Tipo 1 T1 o Número de camiones Tipo 2 T2 o Camiones Tipo 1 / Camiones Tipo 2 / 700 <= 1 día de pintura o Camiones Tipo 1 / Camiones Tipo 2 / 1200 <= 1 día de montaje F.O. Max ( 300*T *T2 ) o T1 / T2 / 700 <= 1 o T1 / T2 / 1200 <= 1 o T1, T2 >= 0 4 Dorian Autos F.O. Minimizar Costos o Número de minutos en cómicas C o Número de minutos en juegos J o Número de hombres en millones >= 24 o Número de mujeres en millones >= 28 F.O. Min ( 50,000*C + 100,000*J ) o 2*C + 12*J <= 24 o 7*C + 2*J <= 28 o C, J >= 0 5 Mi alimentación F.O. Minimizar Costos o Número de bizcochos B o Número de helados H o Número de refrescos R o Número de pasteles P o Número de calorías >= 500 o Onzas de chocolates >= 6 o Onzas de azúcar >= 10 o Onzas de Grasa >= 8 F.O. Min ( 50*B + 20*H + 30*R + 80*P ) o 400*B + 200*H + 150*R + 500*P >= 500

8 o 3*B + 2*H + 0*R + 0*P >= 6 o 2*B + 2*H + 4*R + 4*P >= 10 o 2*B + 4*H + 1*R + 5*P >= 8 o B, H, R, P >= 0 6 U.S. Labs F.O. Minimizar Costos o Número total de válvulas de Proveedor Nº1 P1 o Número total de válvulas de Proveedor Nº2 P2 o Número total de válvulas de Proveedor Nº3 P3 o Número de válvulas grandes >= 500 o Número de válvulas medianas >= 300 o Número de válvulas chicas >= 300 o P1, P2, P3 <= 500 F.O. Min ( 5*P1 + 4*P2 + 3*P3 ) o 0.4*P *P *P3 >= 500 o 0.4*P *P *P3 >= 300 o 0.2*P *P *P3 >= 300 o P1, P2, P3 >= 0 o P1, P2, P3 <= Goldilocks F.O. Minimizar Tiempo o Tiempo en mina 1 T1 o Tiempo en mina 2 T2 o Tiempo en mina 1 y mina 2 >= 0 o Tiempo en mina 2 y mina 2 <= 30 o Libras de oro >= 12 o Libras de plata >= 18 F.O. Min ( T1 + T2 ) o 2*T1 + T2 >= 12 o 2*T1 + 3*T2 >= 18 o T1, T2 >= 0 o T1, T2 <= 30 8 Oficina de correos F.O. Minimizar Nº de empleados o Número de empleados contratados que inician labor el Lunes o Número de empleados contratados que inician labor el Martes Lu Ma

9 o Número de empleados contratados que inician labor el Miércoles Mi o Número de empleados contratados que inician labor el Jueves Ju o Número de empleados contratados que inician labor el Viernes Vi o Número de empleados contratados que inician labor el Sábado Sa o Número de empleados contratados que inician labor el Domingo Do F.O. Min ( Lu + Ma + Mi + Ju + Vi + Sa + Do ) o Lu + Ju + Vi + Sa + Do >= 17 o Ma + Vi + Sa + Do + Lu >= 13 o Mi + Sa + Do + Lu + Ma >= 15 o Ju + Do + Lu + Ma + Mi >= 19 o Vi + Lu + Ma + Mi + Ju >= 14 o Sa + Ma + Mi + Ju + Vi >= 16 o Do + Mi + Ju + Vi + Sa >= 11 o Lu, Ma, Mi, Ju, Vi, Sa, Do >= 0 9 Departamento de Policía de Bloomington F.O. Minimizar Costos o Número de policías de 12 horas que inician a las 12:00 p.m. o Número de policías de 18 horas que inician a las 12:00 p.m. o Número de policías de 12 horas que inician a las 6:00 a.m. T21 o Número de policías de 18 horas que inician a las 6:00 a.m. T22 o Número de policías de 12 horas que inician a las 12:00 m. T31 o Número de policías de 18 horas que inician a las 12:00 m. T32 o Número de policías de 12 horas que inician a las 6:00 p.m. T41 o Número de policías de 18 horas que inician a las 6:00 p.m. T42 o Número de policías requeridos a las 12:00 p.m. >= 12 o Número de policías requeridos a las 6:00 a.m. >= 8 o Número de policías requeridos a las 12:00 m. >= 6 o Número de policías requeridos a las 6:00 p.m. >= 15 F.O. Min [ 48 * ( T11 + T21 + T31 + T41 ) + 84 * ( T12 + T22 + T32 + T42) ] o T11 + T12 + T32 + T41 + T42 >= 12 o T21 + T22 + T42 + T11 + T12 >= 8 o T31 + T32 + T12 + T21 + T22 >= 6 o T41 + T42 + T22 + T31 + T32 >= 15 o T11, T12, T21, T22, T31, T32, T41, T42 >= 0 10 Star Oil Company F.O. Maximizar VAN T11 T12

10 o Monto invertido en tiempo 0 en Plan 1 M1 o Monto invertido en tiempo 0 en Plan 2 M2 o Monto invertido en tiempo 0 en Plan 3 M3 o Monto invertido en tiempo 0 en Plan 4 M4 o Monto invertido en tiempo 0 en Plan 5 M5 o Suma de montos en tiempo 0 <= 40 o Suma de montos en tiempo 1 <= 20 F.O. Max ( 13/14*M1 + 16/53*M2 + 16/5*M3 + 14/5*M4 + 39/29*M5 ) o M1 + M2 + M3 + M4 + M5 <= 40 o 3/11*M1 + 6/53*M2 + 5/5*M3 + 1/5*M4 + 34/29*M5 <= 20 o M1, M2, M3, M4, M5 >= 0 o M1, M2, M3, M4, M5 <= 40 o 3/11*M1, 6/53*M2, 5/5*M3, 1/5*M4, 34/29*M5 <= Sunco Oil F.O. Maximizar Ganancias o Crudo tipo i en gasolina tipo j Cij o Suma de Cij <= 14,000 o Suma de Ci1 >= 3,000 o Suma de Ci2 >= 2,000 o Suma de Ci3 >= 1,000 o Promedio de Octanaje de Ci1 >= 10 o Promedio de Octanaje de Ci2 >= 8 o Promedio de Octanaje de Ci3 >= 6 o Promedio de % de azufre de Ci1 >= 1 % o Promedio de % de azufre de Ci2 >= 2 % o Promedio de % de azufre de Ci3 >= 1 % F.O. Max [ 70*( C11 + C21 + C31 ) + 60*( C12 + C22 + C32 ) + 50*( C13 + C23 + C33 ) - 45*( C11 + C12 + C13 ) 35*( C21 + C22 + C23 ) 25*( C31 + C32 + C33 ) 4*( C11 + C12 + C13 + C21 + C22 + C23 + C31 + C32 + C33 ) ] o C11 + C12 + C13 + C21 + C22 + C23 + C31 + C32 + C33 <= 14,000 o C11 + C21 + C31 >= 3,000 o C12 + C22 + C32 >= 2,000 o C13 + C23 + C33 >= 1,000

11 o 12*C11 + 6*C21 + 8*C31 >= 10 C11 + C21 + C31 o 12*C12 + 6*C22 + 8*C32 >= 8 C12 + C22 + C31 o 12*C13 + 6*C23 + 8*C33 >= 6 C13 + C23 + C33 o 0.5*C *C *C31 <= 1 C11 + C21 + C31 o 0.5*C *C *C32 <= 2 C12 + C22 + C31 o 0.5*C *C *C33 <= 1 C13 + C23 + C33 12 Negocio de Dulces F.O. Maximizar Ingresos o Onzas de Azúcar en Dulce D1 A1 o Onzas de Azúcar en Dulce D2 A2 o Onzas de Nueces en Dulce D1 N1 o Onzas de Nueces en Dulce D2 N2 o Onzas de Chocolate en Dulce D1 C1 o Onzas de Chocolate en Dulce D2 C2 o Onzas de azúcar <= 100 o Onzas de nueces >= 20 o Onzas de chocolate >= 30 o Porcentaje de nueces en D2 >= 20% o Porcentaje de nueces en D1 >= 10% o Porcentaje de chocolates en D1 >= 10% F.O. Max [ 20*(A1 + N1 + C1) + 25*(A2 + N2 + C2) ] o A1 + A2 >= 100 o N1 + N2 >= 20 o C1 + C2 >= 30 o N2 / ( A2 + N2 + C2 ) >= 0.2 o N1 / ( A1 + N1 + C1 ) >= 0.1 o C1 / ( A1 + N1 + C1 ) >= 0.1 o A1, A2, N1, N2, C1, C2 >= 0 13 O.J. Juice Company F.O. Maximizar Ganancias o Libras de la clase 6 que se usa en bolsa B1

12 o Libras de la clase 6 que se usa en caja C1 o Libras de la clase 9 que se usa en bolsa B2 o Libras de la clase 9 que se usa en caja C2 o Onzas de azúcar <= 100 o Onzas de nueces >= 20 o Onzas de chocolate >= 30 o Porcentaje de nueces en D2 >= 20% o Porcentaje de nueces en D1 >= 10% o Porcentaje de chocolates en D1 >= 10% F.O. Max [ 0.30*( B1 + B2 ) *( C1 + C2 ) ] o B1 + C1 >= 120,000 o B2 + C2 >= 1 000,000 o 6 * B1 + 9 * B2 >= 7 B1 + B2 o 6 * C1 + 9 * C2 >= 8 C1 + C2 o B1, B2, C1, C2 >= 0 14 Banco F.O. Maximizar Rendimiento Anual o Cantidad a invertir en bonos B o Cantidad a invertir en Préstamos hipotecarios PH o Cantidad a invertir en Préstamos para automóviles A o Cantidad a invertir en Préstamos personales P o Suma de inversión <= 500,000 o P <= B o PH <= A o P / Total <= 25% F.O. Max ( 0.10*B *PH *A *P ) o B + PH + A + P >= 500,000 o PH <= A o P <= B o P / ( B + PH + A + P ) <= 0.25 o B1, B2, C1, C2 >= Bullco F.O. Maximizar Ganancias o Libras de Silicio en Fertilizante tipo 1 S1 o Libras de Nitrógeno en Fertilizante tipo 1 N1

13 o Libras de Silicio en Fertilizante tipo 2 S2 o Libras de Nitrógeno en Fertilizante tipo 2 N2 o N1 >= 40% en Tipo 1 o S2 >= 70 en Tipo 2 F.O. Max [ 70*( N1 + S1 ) + 40*( N2 + S2 ) 15*( N1 + N2 ) 10*( S1 + S2) ] o N1 / ( N1 + S1 ) >= 0.40 o S2 / ( N2 + S2 ) >= 0.70 o N1 + N2 <= 80 o S1 + S2 <= 100 o N1, N2, S1, S2 >= 0

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