Optimización y Programación Lineal

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1 Optimización y Programación Lineal Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 31 de agosto de 2010 SOLUCIÓN 1. El granjero Jones debe determinar cuántos acres de maíz y trigo debe plantar este año. Un acre sembrado de trigo produce 25 bushels de trigo y requiere de 10 horas de labor a la semana. Un acre sembrado de maíz produce 10 bushels de maíz y requiere 4 horas de labor a la semana. Todo el trigo producido puede ser vendido a 4 dólares el bushel y todo el maíz producido puede ser vendido a 3 dólares el bushel. Se tienen disponibles 7 acres de terreno y 40 horas de labor. El gobierno impone la condición de que se produzcan al menos 30 bushel de maíz. Sea x 1 el número de acres de trigo a ser plantados y x 2 el número de acres de maíz a ser plantados. Usando tales variables de decisión, formule un modelo de programación lineal(pl) donde el granjero Jones pueda mazimizar la ganancia de las ventas de trigo y maíz sembrado. x 1 : Cantidad de acres de terreno sembrados con trigo x 2 : Cantidad de acres de terreno sembrados con maíz Maximizar la ganancia total de ventas de los productos sembrados: Ventas = ( 4 bushel dólares 25 ) ( bushel acre ) (x 1 ) + ( 3 bushel dólares 10 ) ( bushel acre ) (x 2 ) = 100 x x 2 dólares Por recursos de terreno: Total plantado = x 1 + x 2 7 acres 10 Por recursos de manor de obra: Total de horas de labor = ( horas acre ) x 1 + ( 4 horas acre ) x 2 40 horas 10 Por condiciones de producción impuestas: Producción de maíz = ( bushels acre ) x 2 30 bushels Naturales: x 1 0 y x Respecto al problema anterior, x 1 = 2, x 2 = 3 está en la región factible? Sí, todas las restricciones se cumplen. x 1 = 4, x 2 = 3 está en la región factible? No, falla la restricción de horas de labor. x 1 = 2, x 2 = 1 está en la región factible? No, no se cumplen las restricciones naturales. x 1 = 3, x 2 = 2 está en la región factible? No, no se cumple la restricción impuesta por el gobierno en la producción de maíz. 3. Respecto al problema inicia, reformule el modelo usando ahora

2 x 1 = número de bushels de maíz a producir y x 2 = número de bushels de trigo a producir. Maximizar la ganancia de ventas de los productos sembrados: Ventas = ( 3 dólares 1 bushel ) x 1 + ( 4 dólares 1 bushel ) x 2 = 3 x x 2 dólares Condiciones de producción: Bushels de maíz producido = x 1 30 bushels ) ( ) Recursos de terreno: Total sembrado=( 1 acre x 10 bushels acre x 25 bushels 2 7 acres ) ( ) ( ) ( ) Horas de labor : Total horas=( 4 horas 1 acre 1 acre x 10 bushels horas 1 acre 1 acre x 25 bushels 2 40 horas Naturales: x 1 0 y x Hay 3 fábricas a la orilla del río Momiss. Cada una de ellas emite 2 tipos de contaminante en el río. Si la basura es procesada en cada fábrica es posible reducir el contaminante vertido al río. Cuesta 15 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 1 y reduce en 0.1 toneladas en el contaminante 1 y en el contaminante 2 en 0.45 toneladas. Cuesta 10 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 2 y reduce en 0.2 toneladas en el contaminante 1 y en el contaminante 2 en 0.25 toneladas. Cuesta 20 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 2 y reduce en 0.4 toneladas en el contaminante 1 y en el contaminante 2 en 0.3 toneladas. El Estado quiere reducir la contaminación vertida al río en al menos 30 toneladas del contaminante 1 y en al menos 40 toneladas en el contaminante 2. Formule un modelo de programación lineal que minimice el costo de reducir la contaminación. Argumente sobre el cumplimiento de las suposiciones de que exige el modelo lineal. Tome como variables de decisión las cantidades (en toneladas) de la basura a ser procesada por cada fábrica. X i : El número de toneladas de basura procesada por la fábrica i (i = 1, 2, 3). C i : El costo en dólares de procesar una tonelada de basura en la fábrica i (i = 1, 2, 3). i = 1 i = 2 i = 3 C i j: El tipo de contaminante a disminuir (j = 1, 2). f ij : La cantidad en toneladas de contaminante j que se elimina al procesar una tonelada de basura en la fábrica i. f ij i = 1 i = 2 i = 3 j = j = M j : La cantidad en toneladas en que se impone reducir el contaminate j en el río Momiss por las tres fábricas. 2

3 j = 1 j = 2 M j Minimizar el costo total de procesar X i toneladas de basura en la fábrica i. Costo = 3 C i X i i=1 Reducir cada tipo de contaminante en la cantidad total reducida no es menor que la meta Para cada j = 1, 2 : 3 f ij X i M j i=1 Naturales: X i 0 para i = 1, 2, Supóngase que en el ejemplo de la oficina de correos, que cada emplado de tiempo completo trabaja 8 horas. De esta manera, el requerimiento de 17 trabajadores el lunes puede verse como una necesidad de 8 17 = 136 horas. La oficina de correos quiere cumplir con sus necesidades laborables diarias empleando personal de tiempo completo y de tiempo parcial. Durante una semana, un trabajador de tiempo completo labora 5 días consecutivos y uno de tiempo parcial trabaja 4 horas durante 5 días consecutivos. Un empleado de tiempo completo cuesta 15 dólares la hora mientras que un empleado de tiempo parcial cuesta 10 dólares la hora. Los requirimientos sindicales limitan el trabajo de tiempo parcial al 25 % de las necesidades laborales semanales. Formule un PL para minimizar los costos laborales semanales de la oficina de correos. x i = número de trabajadores de planta que inicia su semana en el día i y i = número de trabajadores de tiempo parcial que inicia su semana el día i. X = total de trabajadores de tiempo completo Y = total de trabajadores de tiempo parcial C 1 = Costo de hora laboral de un empleado de tiempo completo. C 2 = Costo de hora laboral de un empleado de tiempo parcial. H i = Número de horas hombre requeridas en el día i. Min z = 40 C 1 X + 20 C 2 Y X = 7 i=1, Y = 7 i=1 y i. Horas requeridas día 1: 8 (X (x 2 + x 3 )) + 4 (Y (y 2 + y 3 )) H 1 Horas requeridas día 2: 8 (X (x 3 + x 4 )) + 4 (Y (y 3 + y 4 )) H 2 Horas requeridas día 3: 8 (X (x 4 + x 5 )) + 4 (Y (y 4 + y 5 )) H 3 3

4 Horas requeridas día 4: 8 (X (x 5 + x 6 )) + 4 (Y (y 5 + y 6 )) H 4 Horas requeridas día 5: 8 (X (x 6 + x 7 )) + 4 (Y (y 6 + y 7 )) H 5 Horas requeridas día 6: 8 (X (x 7 + x 1 )) + 4 (Y (y 7 + y 1 )) H 6 Horas requeridas día 7: 8 (X (x 1 + x 2 )) + 4 (Y (y 1 + y 2 )) H 7 Relación tiempo parcial/completo: 400 Y 25 (8 X + 4 Y ) Naturales x i, y, X, Y Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces: Slugger Candy y Easy Out Candy, que se componen únicamente de azúcar, chocolate y nueces. Actualmente tiene en bodega 100 Onzas de azúcar, 20 onzas de nueces y 30 onzas de chocolate. La mezcla para producir Slugger tiene que contener al menos 10 % de nueces y por la menos 10 % de chocolate, mientras que para producir Easy Out debe contener al menos 20 % de nueces. Cada onza de Easy Out se vende en 25 centavos de dólar mientras que una de Slugger se vende en 20 centavos. Formule un PL que permita maximizar los ingresos por venta. x ij = número de onzas del ingrediente i usada en el producto j. X j = total de onzas producidas del producto j. N = número de productos a producir. M = número de ingredientes usados. G j = ganancia en el producto j, j = 1,..., N. P i = número de onzas del ingrediente i disponibles i = 1,..., M. Q 11 = 10 % del producto 1 (Slugger) debe ser del ingrediente 1 (nuez) al menos. Q 21 = 10 % del producto 1 (Slugger) debe ser del ingrediente 2 (chocolate) al menos. Q 12 = 20 % del producto 2 (Easy Out) debe ser del ingrediente 1 (nuez) al menos. N Max z = G j X j j=1 Producción: para todo j = 1,..., N, X j = M i=1 x ij. Recursos: para todo i = 1,..., M, N j=1 x ij P i. Calidad: Nueces en Slugger: x 11 Q 11 X 1 Chocolate en Sluger: x 21 Q 21 X 1 Nueces en Easy-Out: x 12 Q 12 X 2 Naturales: x ij, X j 0. 4

5 7. La cervecería Bloomington produce cerveza del tipo I y cerveza del tipo II. La cerveza del tipo I se vende a 5 dólares el barril y la cerveza del tipo II se vende a 2 dólares el barril. La producción de un barril de cerveza tipo I requiere 5 libras de cebada y 2 libras de lúpulo, mientras que un barril de cerveza del tipo II requiere 2 libras de cebada y 1 libra de lúpulo. Se disponen 60 libras de cebada y 23 libras de lúpulo. Formule un modelo de PL de manera que la compañía maximice sus ingresos bajo el supuesto que toda la producción será vendida. x ij = número de libras del ingrediente i usada en el producto j. X j = total de barriles producidos del producto j. N = número de productos a producir 2. M = número de ingredientes usados 2. G j = ganancia en el producto j, j = 1,..., N. P i = número de libras del ingrediente i disponibles i = 1,..., M. R ij = libras del ingrediente i requeridas en un barril del producto j. N Max z = G j X j j=1 Producción: para todo j = 1,..., N y para todo i, R ij X j = x ij. Materia prima: para todo i = 1,..., M, N j=1 x ij P i. Recursos humanos: no considerados. Calidad: No hay restricciones. Demanda: No hay restricciones. Naturales: x ij, X j El pastelero Jones produce dos tipos de pastelillos (de chocolate y de vainilla). Se puede vender cada pastelillo de chocolate a 1 dólar y cada pastelillo de vainilla a 50 centavos. Cada pastelillo de chocolate tarda 20 minutos en cocerse y requiere 4 huevos. Cada pastelillo de vainilla tarda 40 minutos en cocerse y requiere 1 huevo. Se disponen 8 horas de horneado y 30 huevos. Formule un modelo de PL de manera que el pastelero maximice sus ingresos bajo el supuesto que todos sus productos serán vendidos. x i = número de productos tipo i a producir N = número de productos a producir 2. G i = ganancia en el producto i, i = 1,..., N. C i = horas requeridas de cocimiento para el producto i 5

6 H i = número de huevos requeridos para el producto i HT = total de huevos disponibles CT = total de horas de horno disponibles Max z = N G i x i i=1 Materia prima huevo: para todo N i=1 H i x i HT. Materia prima tiempo cocimiento: N i=1 C i x i CT. Recursos humanos: no considerdos. Calidad: No hay restricciones. Demanda: No hay restricciones. Naturales: x i Todo el acero producido por SteelCo tiene que cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2 a 3.5 % de carbono; 1.8 a 2.5 % de silicio; 0.9 a 1.2 % de níquel; y resistencia a la tracción de por lo menos 45,000 lb/pulg 2. SteelCo produce su acero mezclando dos tipos de aleaciones. El costo y sus propiedades aparecen en la siguiente tabla. Suponga que se puede determinar la resistencia a la tracción haciendo un promedio ponderado de los tipos de aceros que se mezclan. Modele un PL que minimize los costos de producción de una tonelada de acero. Variables de decisión: Función objetivo: Minimizar los costos de producción: Aleación 1 Aleación 2 Costo % Si 2 % 2.5 % % Ni 1 % 1.5 % % C 3 % 4.0 % Resistencia 42,000 lb/pulg 2 50,000 lb/pulg 2 x 1 = Toneladas de la aleación 1 a usar x 2 = Toneladas de la aleación 2 a usar z = 190 x x 2 Se desea producir solo una tonelada de acero: x 1 + x 2 = 1 Rango de níquel: (x 1 + x 2 ) (0.01 x x 2 ) (0.01 x x 2 ) (x 1 + x 2 ) Rango de silicio: (x 1 + x 2 ) (0.02 x x 2 ) 6

7 (0.02 x x 2 ) (x 1 + x 2 ) Rango de carbono: (x 1 + x 2 ) (0.03 x x 2 ) (0.03 x x 2 ) (x 1 + x 2 ) Resistencia de tracción mínima: (42000 x x 2 ) (x 1 + x 2 ) Naturales: x 1, x SteelCo produce dos tipos de aceros en tres diferentes acerías. Durante un mes dado, cada acerería dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y el costo de producción de una tonelada de acero, difiere de una acería a otra debido a las diferencias de hornos en cada acería. En la siguiente tabla se muestran el tiempo y el costo de producción para cada acería. Cada mes, SteelCo debe producir al menos 500 ton de acero tipo 1 y 600 ton de acero tipo 2. Formule un PL para nimimizar el costo de producir el acero deseado. Acero 1 Acero 2 costo(dls) tiempo(min) costo(dls) tiempo(min) Acería Acería Acería x ij = número de toneladas de acero tipo i producidas en la acería j. N = número de tipos de acero a producir 2. M = número de acerías disponibles 3. H j = número de horas de alto horno disponibles en la acería j. A i = toneladas de acero tipo i requeridas en total. C ij = costo de producción de una tonelada de acero tipo i en la acería j. H ij = número de horas de alto horno requeridas para la producción de una tonelada acero tipo i en la acería j. : Minimizar el costo total de producción: Min z = N M C ij x ij i=1 j=1 Producción: para cada acero i = 1,..., N: M j=1 x ij = A i. Recursos horas de alto horno: para cada acería j = 1,..., M N i=1 H ij x ij H j. Naturales x ij 0. 7

8 11. FeedCo produce dos tipos de alimento para ganado. Ambos productos están hechos completamente de trigo y de alfalfa. El alimento 1 debe contener por lo menos 80 % de trigo y el alimento 2 por lo menos 60 % de alfalfa. El alimento 1 se vende a 1.50 dólares la libra y el alimento 2 a 1.30 dólares la libra. FeedCO puede comprar hasta 1,000 libras de trigo a 50 centavos la libra y hasta 800 libras a 40 centavos la libra. Suponiendo que todo producto producido se puede vender, formule un PL para maximizar las ganancias de FeedCo. Variables de decisión: Así x 11 = Libras de trigo usadas para producir el alimento 1 x 12 = Libras de trigo usadas para producir el alimento 2 x 21 = Libras de alfalfa usadas para producir el alimento 1 x 22 = Libras de alfalfa usadas para producir el alimento 2 x 11 + x 12 total de trigo usado x 21 + x 22 total de alfalfa usada x 11 + x 21 total de producto 1 producido x 12 + x 22 total de producto 2 producido Función objetivo: Maximizar la ganancia: Ganancia = Ventas Gastos z = (1.5 (x 11 + x 21 ) + 1.3(x 12 + x 22 )) (0.5(x 11 + x 12 ) + 0.4(x 21 + x 22 ) Libras de trigo que se pueden comprar: x 11 + x Libras de alfalfa que se pueden comprar: x 21 + x Porcentaje de trigo en el alimento 1: x (x 11 + x 21 ) Porcentaje de alfalfa en el alimento 2: x (x 12 + x 22 ) Naturales: x 11, x 12, x 21, x El departamento de policía de la ciudad X dispone de 30 oficiales. Cada oficial trabaja 5 días de la semana. El número de delitos varía dependiendo de el día de la semana y por tanto, el número de oficiales requeridos diariamente depende del día de la semana: el sábado se requieren 28 oficiales, el domingo 18, el lunes 18 el martes 24, el miércoles 25, el jueves 16, y el viernes 21. El departamento de policía quiere programar los oficiales para minimizar el número de policías cuyos días de descanso no son consecutivos. Sugerencia: Para i < j, sea x ij el número de oficiales que descansan los días i y j. Día 1 = domingo, día 2 = lunes,...,día 7 = sábado. 8

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