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1 Modelos Lineales ANALISIS DE SENSIBILIDAD PROTAC Inc. produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipo de excavación, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo de silvicultura, está destinada a la industria maderera. Tanto la máquina más grande de la línea de equipo de excavación (E-9), como la mayor de toda la línea de equipo de silvicultura (F-9) son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de mercadeo de PROTAC Inc. ha considerado que durante ese período se podrían vender todas las E- 9 y F-9 que la compañía sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción para el próximo mes. Es decir cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si se desea maximizar la contribución del mes entrante a las ganancias de la empresa. A continuación se establecen los datos importantes para el planteamiento del problema: a) La utilidad de cada máquina es de $5000 por cada E-9 vendida y de $4000 por cada F-9 b)cada producto pasa por una operación de maquinado, tanto en el Departamento A como en el B. Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tienen tiempos disponibles de 150 horas (Dpto. A) y 160 horas (Dpto. B). La fabricación de cada E-9 requiere de 10 horas de maquinado en el Departamento A y 20 horas en el Departamento B, mientras que la F-9 requiere de 15 horas en el Departamento A y 10 en el B. c)para que la empresa cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, debe garantizar un mínimo de 135 horas de trabajo invertidas en la prueba de los productos terminados del mes siguiente. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10. 1

2 d)con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la gerencia ha establecido como política operativa que deberá fabricarse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean producidas. e) Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de al menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinación) por lo que el próximo mes tendrá que producirse por lo menos esa cantidad. El problema de la gerencia es decidir cuántas E-9 y F-9 fabricar el próximo mes. Formule y resuelva un problema de PL que permita determinar el plan óptimo de producción. Variables de Decisión: x 1 : Cantidad de unidades de E-9 a fabricar x 2 : Cantidad de unidades de F-9 a fabricar Restricciones: i. Disponibilidad de horas departamento A: 10 x x ii. Disponibilidad de horas departamento B: 20 x x iii. Mínimo de horas de prueba : 30 x x iv. Fabricar cuando menos una F-9 por cada tres E-9 : x 2 x 1 /3 -x x 2 0 v. Producir al menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinación) : x 1 + x 2 5 vi. No negatividad: x 1 0 x 2 0 Función Objetivo: Maximizar 5000 x x 2 2

3 El modelo es: Maximizar z(x) = 5000 x x 2 Sujeto a: 10 x x Disponibilidad de horas departamento A 20 x x Disponibilidad de horas departamento B 30 x x horas de prueba -x x 2 0 Fabricar al menos una F-9 por cada tres E-9 x 1 + x 2 5 Producir al menos cinco E-9 y F-9 x 1 0 x 2 0 Con la salida de WINQSB que se anexa, conteste las siguientes preguntas: a. Si la utilidad de las máquinas F-9 fuera de $10000 por unidad. Qué pasaría con la solución óptima? WINQSB para C 2 en el cual se mantiene la base óptima es Por lo tanto, si C 2 pasa a entonces cambia la base óptima y por lo tanto z* y x*. b. Si el costo por unidad de máquina F-9 aumenta en $1000. Qué pasaría con la solución óptima? Si el costo por unidad de máquina F-9 aumenta en $1.000 entonces el valor de C 2 disminuye a El valor valor mínimo reportado por WINQSB para C 2 en el cual se mantiene la base óptima es

4 Por lo tanto, si C 2 pasa a se mantiene la base y los valores de x* no cambian. Como x* 2 es una variable básica, z* cambia. z* = Z anterior Variación x* 2 = z* = * 7 = c. Qué pasa si el sindicato exige un mínimo de 175 horas de prueba en el departamento C? WINQSB para b 3 en el cual se mantiene la base óptima es 205. Por lo tanto, si b 3 cambia a 175 esta se mantiene, cambian valores de x*, no cambia z*. La solución óptima reportada por WINQSB establece que se realicen 205 horas de prueba en el departamento C. Los valores de x1 y x2 no cambiarían pues ya se satisfaría la nueva exigencia de 175 horas de prueba. Sin embargo, la holgura de la restricción 3 cambia de 70 a 30. d. Le ofrecen la posibilidad de adquirir una nueva máquina para los departamentos A y B. La nueva máquina puede usarse en el departamento A por 20 horas o en el departamento B por 25 horas a un costo de $100 por hora. En cuál departamento la colocaría y por qué? Qué pasaría con la solución óptima? WINQSB para b 1 en el cual se mantiene la base óptima es 240. Por lo tanto, si b 1 pasa a 170 esta se mantiene. Los valores de x* y z* cambian. z* = Z anterior + Variación (Precio dual-100) = z* = * ( ) =

5 WINQSB para b 2 en el cual se mantiene la base óptima es 233,33. Por lo tanto, si b 2 pasa a 185 esta se mantiene. Los valores de x* y z* cambian. z* = Z anterior + Variación (Precio dual-100) = z* = * ( ) = Entonces, la nueva máquina se debe colocar en el departamento B. e. El cliente ahora está dispuesto a comprar 4 nuevas unidades de máquinas E-9 o F-9. Cambiaría esta situación la solución óptima del problema? WINQSB para b 5 en el cual se mantiene la base óptima es 11,5. Por lo tanto, si b 5 cambia a 9 esta se mantiene, cambian los valores de x*, no cambia z*, por no ser un recurso escaso. La solución óptima reportada por WINQSB establece que se fabriquen 11,5 unidades de máquinas E-9 o F-9. La solución no cambiaría pues ya se satisfaría la nueva exigencia 9 unidades de máquinas E-9 o F-9. Sin embargo, la holgura de la restricción 5 cambia de 6,5 a 2,5. TOYCO arma tres juguetes: trenes, camiones y autos, con tres operaciones. Los límites diarios de tiempo disponible para las tres operaciones son de 430, 460 y 420 minutos, respectivamente, y las utilidades por tren, camión y auto de juguete son $3, $2 y $5, respectivamente. Los tiempos de armado por tren, en las tres operaciones son 1, 3 y 1 minutos, respectivamente y los tiempos de armado por camión y por auto son 2, 0 y 4 y de 1, 2, 0 minutos (un tiempo de cero indica que no se utiliza la operación). Formule y resuelva un problema de PL que maximice la utilidad de la compañía 5

6 Variables de Decisión: x 1 : Cantidad de unidades de trenes a fabricar x 2 : Cantidad de unidades de camiones a fabricar x 3 : Cantidad de unidades de autos a fabricar El modelo es: Maximizar z(x) = 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 Sujeto a: x 1 + 2x 2 + x tiempo máximo disponible operación 1 3x 1 + 2x tiempo máximo disponible operación 2 x 1 + 4x tiempo máximo disponible operación 3 x 1 0 x 2 0 x 3 0 Conteste las siguientes preguntas, usando la salida de WINQSB: a. Si el precio de los trenes aumenta en $2, qué pasaría con la solución óptima? WINQSB para C 1 en el cual se mantiene la base óptima es 7. Por lo tanto, si C 1 cambia a 5 se mantiene la base y los valores de x* no cambian. Como x* 1 es una variable no básica, z* no cambia. b. Si el precio de los camiones aumenta en $10, qué pasaría con la solución óptima? 6

7 WINQSB para C 2 en el cual se mantiene la base óptima es 10. Por lo tanto, si C 2 cambia a 12 entonces cambia la base óptima, x* y z*. c. Si el precio de los autos disminuye en $2, qué pasaría con la solución óptima? El valor valor mínimo reportado por WINQSB para C 3 en el cual se mantiene la base óptima es 2,33. Por lo tanto, si C 3 muda a 3 se mantiene la base y los valores de x* no cambian. Como x* 3 es una variable básica, z* cambia. z* = Z anterior Variación x* 3 = z* = * 230 = 890 d. Suponga que todo tiempo adicional para la operación 1, respecto a su capacidad diaria se debe hacer en tiempo extra, a $50 por hora (este costo incluye tanto mano de obra como el funcionamiento de la máquina). Hay ventajas económicas de utilizar tiempo extra para la operación 1? El tiempo extra cuesta $50 por hora ($0,83 por minuto). Como el beneficio aportado por cada minuto extra para la operación 1 es de $1, (precio sombra de la restricción 1) y se pueden utilizar hasta 10 minutos adicionales sin que mude la base, entonces si hay ventaja económica de utilizar tiempo extra para la operación 1. El beneficio es de $0,17 por minuto extra (hasta 10 minutos extras). 7

8 e. Suponga que el trabajador 2 conviene en trabajar dos horas de tiempo extra, a $45 por hora. Además, el costo de la operación misma es $10 por hora. Cuál es el efecto neto de esta actividad sobre la utilidad diaria.? WINQSB para b 2 en el cual se mantiene la base óptima es 860 (minutos). Por lo tanto, si b 2 pasa a 580 (minutos) esta se mantiene. Los valores de x* y z* cambian. z* = Z anterior + Variación (Precio dual-55/60) = z* = * (2-0,916) = La ganancia diaria de TOYCO aumenta $130. f. Vale la pena usar tiempo extra para la operación 3? No vale la pena usar tiempo extra para la operación 3, ya que este no es un recurso escaso. El precio dual asociado es cero y se mantendrá en este valor por más que aumentemos este recurso (ver limite máximo). Puede observarse además que existe una holgura de 20 minutos para la operación 3. g. Suponga que aumenta la disponibilidad de la operación 1 a 440 minutos. Todo tiempo extra incurrido en exceso de la capacidad máxima actual costará $40 por hora. Determine la nueva solución óptima, incluyendo la utilidad neta asociada. WINQSB para b 1 en el cual se mantiene la base óptima es 440 (minutos). Por lo tanto, si b 1 pasa a 440 (minutos) ésta se mantiene. Los valores de x* y z* cambian. z* = Z anterior + Variación (Precio dual-40/60) = z* = * (1-0,67) = 1.353,33. La utilidad neta asociada es de $ 1.353,33 diarios. 8

9 Para determinar los valores de X 2 y X 3 tenemos que, como la base óptima no muda entonces las restricciones que se cumplen como igualdad son la 1 y la 2 (como se reporta), es decir: x 1 + 2x 2 + x 3 = 440 3x 1 + 2x 3 = 460 Como X 1 es una variable no básica, es decir su valor es cero, se puede obtener los valores de X 2 y X 3 resolviendo el sistema de ecuaciones: (1) 2x 2 + x 3 = 440 (2) 2x 3 = 460 Por lo cual X 3 = 230 de (2) y X 2 =105 (sustituyendo el valor de X 3 en (1)) h. Suponga que disminuye la disponibilidad de la operación 2 en 15 minutos diarios y que el costo por hora de la operación durante el tiempo normal es de $30. Vale la pena disminuir la disponibilidad de la operación 2? El valor valor mínimo reportado por WINQSB para b 2 en el cual se mantiene la base óptima es 440 (minutos). Por lo tanto, si b 2 pasa a 445 (minutos diarios) se mantiene la base y podemos hacer el análisis utilizando el precio dual de $ 2 por unidad (minuto) adicional de recurso. Aún cuando el ahorro sea de $ 0,5 por minuto ($ 30 por hora) dejamos de percibir $ 2 por minuto decrementado, es decir representa una pérdida por minuto de $ 1,5, por lo cual no vale la pena disminuir la disponibilidad de minutos de la operación 2. i. Suponga que TOYCO cambia el diseño de los juguetes y para hacer este cambio se requerirá agregar una cuarta operación en las líneas de ensamblaje. La capacidad diaria de la nueva operación es de 500 minutos y los tiempos requeridos en esta operación para cada juguete son: 3 (tren), 1 (camión) y 1(auto). Afectaría esta nueva operación la solución del problema? En este caso estaríamos agregando al problema, la siguiente restricción: 3x 1 + x 2 + x tiempo máximo disponible operación 4 Evaluando la solución óptima obtenida en esta restricción tenemos: = Como la solución óptima satisface la nueva restricción, la misma se mantiene. La empresa PROYECTOS GLOBALES C.A. está tratando de organizarse para elaboración de un proyecto para la construcción de una planta industrial que le han contratado. Para ello podrá contar con asistencia proveniente de tres fuentes: un número ilimitado de horas de estudiantes de ingeniería a un costo de $ 4 por hora, hasta 500 horas de técnicos superiores en ingeniería a un costo de $ 10 la hora y un número ilimitado de horas de ingenieros proyectistas graduados a un costo de $ 25 la hora 9

10 Para la realización del proyecto, la gerencia de la empresa ha determinado el requerimiento de al menos 1000 horas de trabajo profesional. Ahora bien, la hora de un estudiante de ingeniería se considera con un nivel de productividad del 20% y la de un técnico superior con una productividad del 30% en relación a la hora de un profesional de la ingeniería ya graduado La empresa ha designado a uno de sus socios para que dirija la elaboración del proyecto y supervise y controle el trabajo del equipo de ingenieros, técnicos y estudiantes. Para esta tarea, el socio dispone de sólo 164 horas de su tiempo, y él sabe por experiencia que los estudiantes requieren de mayor supervisión, que los técnicos y éstos a su vez, más que los ingenieros graduados Específicamente, el socio tendrá que dedicar 0.2 horas de su tiempo en la supervisión de una hora de trabajo de un estudiante, 0.1 horas en la supervisión de una hora de un técnico superior y 0.05 horas por cada hora de trabajo de un ingeniero graduado. Formule y resuelva un problema de PL que minimice los costos de la compañía El modelo es: Minimizar z(x) = 4x x x 3 Sujeto a: x horas de técnicos superiores 0.2x x 2 + x horas de trabajo profesional 0.2x x x horas de supervisión x 1 0 x 2 0 x 3 0 Utilizando la salida de WINQSB responda las siguientes preguntas: a. Cuánto se incrementaría el costo del proyecto si se requieren 1050 horas de trabajo profesional? 10

11 WINQSB para b 2 en el cual se mantiene la base óptima es (horas). Por lo tanto, si b 2 pasa a 1050 (horas) se mantiene la base. Los valores de x* y z* cambian. z* = Z anterior + Variación (Precio dual) = z* = * (25,2632) = ,16 El costo se incrementa en $ 1.263,16 b. Influye en la solución óptima la disponibilidad de horas del socio? Sí influye dado que en la solución óptima se puede observar que se consumen las 164 horas disponibles del socio para supervisión (recurso escaso). Esto quiere decir que si él dispone de más horas (hasta horas) o menos horas (hasta 50 horas) se mantendrá la base, pero cambiarán los valores de x* y de z*: z* = Z anterior + Variación (Precio dual) Nota: como el precio dual es negativo (la variable dual es negativa), si aumenta las horas, disminuye z* (mejora) ; y si disminuye las horas, aumenta z* (desmejora) (Comparar como reportaría Lindo) c. Cuánto cambia el costo del proyecto si el socio sólo puede dedicar 150 horas a la dirección y supervisión del proyecto? El valor valor mínimo reportado por WINQSB para b3 en el cual se mantiene la base óptima es 50 (horas). Por lo tanto, si b3 pasa a 150 (horas) se mantiene la base. Los valores de x* y z* cambian. z* = Zanterior + Variación (Precio dual) = z* = * (-5,2632) = ,6848 El costo del proyecto se incrementa en $ 73,6848 d. Cuánto debería cambiar la tarifa horaria de los técnicos superiores para que sea atractiva su utilización dentro del proyecto? 11

12 Al ver la salida se observa que no se contratan horas de técnicos superiores (X 2 es una variable no básica), y se observa que el intervalo para C 2 donde se mantiene la optimalidad (donde se mantiene la base) es desde 7,0526 hasta infinito; esto quiere decir que C 2 puede aumentarse en cualquier valor y aún así nunca sería atractiva la utilización de horas de técnicos superiores en el proyecto, pero al disminuir por debajo de 7,0526 si sería atractiva su utilización. e. Cuánto aumentaría el costo del proyecto si la tarifa de los ingenieros profesionales aumenta a $ 30 por hora? Si la tarifa por hora de los ingenieros profesionales aumenta a $ 30 se debe analizar el intervalo de variación para C 3 donde se mantiene la optimalidad. En la salida se reporta que aun cuando este parámetro aumente a 39 (máximo) se sigue manteniendo la base. Si C 3 cambia a 30, se mantiene la base y los valores de x*, pero como X 3 es una variable básica, z* cambia: z* = Z anterior + Variación x* 3 = Z* = (880) = El costo del proyecto aumenta en $ f. Suponga que el socio decide que al menos la mitad de todas las horas de proyecto se contraten a estudiantes y técnicos superiores. Alteraría este requerimiento la solución óptima? En este caso estaríamos agregando al problema, la siguiente restricción: x 1 + x 2 ½(x 1 + x 2 + x 3 ) 1/2x 1 + 1/2x 2-1/2x 3 0 Evaluando la solución óptima obtenida en el lado izquierdo de esta restricción tenemos: Como la solución óptima no satisface la nueva restricción, la misma no se mantiene, es decir: se alteraría. g. Suponga que se dispone de un número ilimitado de horas de técnicos superiores. Alteraría esta flexibilización de las condiciones la solución óptima? 12

13 WINQSB para b 1 en el cual se mantiene la base óptima es infinito, es decir no importa en cuanto aumentemos este valor, la solución óptima se mantendrá (se mantendrá la optimalidad). Es decir esta flexibilización no altera la solución optima (la base no cambia), los valores de x* si (sí aumentamos b 1, aumentará la holgura en esa misma proporción); ahora bien Z* no variará dado que el precio dual asociado a ese recurso es cero (no es un recurso escaso). 13

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