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1 TEORIA DE LA DUALIDAD. Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con él. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro. Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de cómputo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad. DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL. Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma: El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera: 1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro. 2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro. 3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar. 4. El problema de maximización tiene restricciones que y el problema de minimización tiene restricciones que. 5. Las variables en ambos casos son no negativas.

2 EJEMPLO: Considere el problema primal siguiente: Elaborar el dual a partir del primal. Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes para poder presentarlo así. Los cambios más frecuentes son: 1. Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo de maximizar de la siguiente forma: 2. Una restricción mayor o igual que se transforma en una restricción menor o igual que de la siguiente manera:

3 3. Una restricción de igualdad se transforma en 2 inecuaciones. EJEMPLO: (PRIMAL).

4 Dual Miminizar Encuentre el problema dual a partir del primal siguiente: EJEMPLO:

5 EJEMPLO:

6 EJEMPLO:

7 Encuentre el problema dual asociado al problema primal siguiente: SOLUCION OPTIMA PRIMAL (2FASES) V. Básica Z X 1 X 2 S 1 S 2 Solución Z / / S X 2 0 2/3 1-1/3 0 12

8 SOLUCION ÓPTIMA DEL DUAL V. Básica Z W 1 W 2 S 1 S 2 Solución Z S /3 5000/3 W /3 500/3 EJEMPLO: Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2). La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2. El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la siguiente tabla. HORAS REQUERIDAS CAPACIDAD OPERACIÓN MANUAL ELECTRICA (HRS MENSUALES) O O Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

9 OBJETIVO : el ingreso total RESTRICCIONES : horas mensuales de las operaciones VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir X 1 = número de máquinas de escribir manuales X 2 = número de máquinas de escribir eléctricas V. Básica Z W 1 W 2 S 1 S 2 Solución Z S / 2-1/2 500 W / 4 3/ 4 250

10 METODO DUAL SIMPLEX. Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones ). La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema. CONDICION DE FACTIBILIDAD. La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se rompen arbitrariamente si todas las variables básicas son negativas, el proceso termina y esta última tabla es la solución óptima factible). CONDICION DE OPTIMIDAD. La variable que entra se elige entre las variables no básicas como sigue. Tome los cocientes de los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes correspondientes a la ecuación asociada a la variable que sale. Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero. La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización (rompa los empates arbitrariamente). Si los denominadores son ceros o positivos el problema no tiene ninguna solución factible.

11 V. Básica Z X 1 X 2 S 1 S 2 Solución Z S S V. Básica Z X 1 X 2 S 1 S 2 Solución Z S /2-10 X /2 30 Z X 1 X 2 S 1 S 2 Solución V. Básica Z S /2 1/ 4 5 S / 2-5/4 25

12 Fuente. ML

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