UNIVERSIDAD DE MANAGUA Asignatura: Investigación de Operaciones I. Prof.: MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés junio 2012

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE MANAGUA Asignatura: Investigación de Operaciones I Prof.: MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés junio 2012 Problemas de PL con varias variables Análisis de Sensibilidad Problema 1: Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en cuatro sabores: chocolate, vainilla, chicle y plátano. Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene un déficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche, azúcar y crema. Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidas de sus expendios. Por estas circunstancias, la compañía a decidido seleccionar la cantidad que debe producir de cada sabor para maximizar la ganancia total, dadas las restricciones en las cantidades de ingredientes básicos. Sujeto a: La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170 libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes)

2 Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón de leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema. Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema. Un galón de helado de plátano consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema. Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema. La compañía para mantener su mercado cautivo de sabores a decidido también producir al menos 30 galones de helados de cada uno de los cuatro sabores. Los sabores de chocolate, vainilla, plátano y chicle generan ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9 y $.95 por galón. Variables de decisión X1 = Números de Galones de helados de chocolate X2 = Números de Galones de helados de vainilla X3 = Números de Galones de helados de plátano X4= Números de Galones de helados de chicle Función objetivo Max. Z = 1.1 X X X X4 $ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate) + ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla) + ($/galón de plátano) x (Número galones banano) + ($/galón de chicle) x (Número galones chicle) Restricción de producción 0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X1 galones de chocolates 0.5X2 es el total de galones de leche que se requieren para producir X2 galones de vainilla 0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para producir X3 galones de banano. 0.4X4 es el total de galones de leche que se requieren para producir X4 galones de chicle 0.45X X X X4 220

3 0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X1 galones de chocolates 0.4X2 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X2 galones de vainilla 0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X3 galones de banano. 0.4X4 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X4 galones de chicle 0.5X X X X X1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X1 galones de chocolates 0.15X2 es el total de galones de crema que se requieren para producir X2 galones de vainilla 0.2X3 es el total de galones de crema que se requieren para producir X3 galones de banano. 0.3X4 es el total de galones de crema que se requieren para producir X4 galones de chicle 0.1X X X X4 70 Compromisos de demanda X1 galones de chocolate 30 galones X2 galones de vainilla 30 galones X3 galones de plátanos 30 galones X4 galones de chicles 30 galones Modelo de PL Max. Z = 1.1 X X X X4 Sujeto a: 0.45X X X X X X X X X X X X4 70 X1 30 X2 30 X3 30 X4 30

4 No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda para todas las variables. Solución RESPONDER. Suponga que la ganancia por galón de plátano a $1.00 cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? Suponga que la ganancia por galón de plátano a $0.92 cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? Suponga que descubren tres galones de crema agrio que tienen que tirarse cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? Suponga que tienen la oportunidad de comprar 15 libras adicionales de azúcar por un costo total de $15.00 Deben comprarlas? explique Problema 2: Constructora. Qué cantidad de grava enviar de cada distribuidor (tres) a cada proyecto (tres) con el objeto de minimizar los costos totales? Sujeto a las restricciones siguientes: No enviar más de; 150 toneladas del distribuidor 1; 175 toneladas del distribuidor 2 y 275 toneladas del distribuidor 3. Enviar 200 toneladas al proyecto 1; 100 toneladas al proyecto 2 y 300 toneladas al proyecto 3. Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes: Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C 11 =$6

5 Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8 Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10 Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C 21 =$7 Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C 22 =$11 Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C 23 =$11 Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C 31 =$4 Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C 32 =$5 Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C 33 =$12 Costos de Envío (por tonelada) Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Distribuidor Distribuidor Distribuidor Cuánto enviar a cada proyecto? Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Distribuidor 1 X 11 X 12 X 13 Distribuidor 2 X 21 X 22 X 23 Distribuidor 3 X 31 X 32 X 33 Variables de decisión X IJ = Número de toneladas a enviar del distribuidor I al proyecto J. Modelo Matemático: Min Z=6 X 11 +8X X X X X X X X 33 s.a : Restricciones de requerimientos X 11 + X 21 + X 31 = 200 X 12 + X 22 + X 32 + X 33 = 100 X 13 + X 23 + X 33 = 300 Restricciones de disponibilidad X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X Restricciones de negatividad X 11, X 12, X X 33 0

6 Solución del modelo Problema 3: Una empresa de Zapatos, fabrica tres tipos de zapatos. Qué cantidad de cada estilo debe fabricar durante el mes con el objeto de maximizar las utilidades? Sujeto a: No deben asignarse más de 1,200 horas de tiempo de producción. Todos los costos de producción, de materiales y costos fijos deben cubrirse con el efectivo disponible durante el mes que es de $16,560. Satisfacer ciertos compromisos de demanda: 30 pares de estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3. Variables de decisión X 1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que deben fabricarse durante el mes. X 2 = Número de pares de zapatos estilo 2 que deben fabricarse durante el mes. X 3 = Número de pares de zapatos estilo 3 que deben fabricarse durante el mes.

7 Función objetivo Max. Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 $ = ($/par de zap. estilo 1)x (pares de zap. estilo 1) + ($/par de zap. estilo 2) x (pares de zap. estilo 2) + ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3) Cálculo de C 1 (3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par (3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par $48/par C 1 = $60/par - $48/par = $12/par de zap. estilo 1 De forma similar, C 2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2 C 3 = $50/par - $28/par = $22/par de zap. estilo 3 Max. Z = 12X X 2 +22X 3 Restricción de producción 3.5X 1 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo X 2 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo X 3 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo X X X 3 1,200 Restricción de efectivo Costo fijo = $3,000 Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560 para cubrir los costos variables. 48X X X 3 13,560 Compromisos de demanda X 1 pares de zap. estilo 1 30 pares de zap. estilo 1 X 2 pares de zap. estilo 2 55 pares de zap. estilo 2 X 3 pares de zap. estilo 3 32 pares de zap. estilo 3 Modelo matemático completo: Max. Z = 12X X 2 +22X 3 Sujeto a: 3.5X X X 3 1,200 48X X X 3 13,560 X 1 30 X 2 55 X 3 32 No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda para todas las variables.

8 Problema 4: La empresa KWZ se dedica a la fabricación de tres producto; A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación. Datos de producción para la compañía (minutos por producto) El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compañía. Datos de costo e ingreso para la compañía Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. Considerando la información, se planteó el modelo de programación lineal: Modelo:

9 Z 20x sujeto a : 2x 3x 1 1 2x 1 1 6x 2x 2x x 2x 2x 3 3 4x x formación inspección acabado 1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual permanece 2. Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece? 3. En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por qué? 4. Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección, cambiaría la función objetivo? 5. En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el departamento de formado? 6. Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de mantenimiento en el departamento de acabado? 7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, cómo se afecta la base actual y el objetivo? 8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto, recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en qué departamento y cuánto tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual? 9. Qué pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A? 10. Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos, el producto A cambiara sus tiempos de fabricación en 11. a. a 1 = (2,3,2) b. a 1 = (1,2,2) T 12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes características C 4 =60, a 4 = (2,1,3) T, Qué recomendaría?

10