UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel

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1 UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel Programación Lineal Encuentro #9 Tema: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A. Grupos: CCEE y ADMVA /201 Objetivos: Resolver problemas de asignación aplicando el método de Húngaro y obtener la solución óptima. Resolver problemas de asignación por método simple. Introducción: Los problemas de asignación incluyen aplicaciones tales como asignar personas a tareas. Aunque sus aplicaciones parecen diferir de las del problema del transporte, constituye un caso particular. Los problemas de transporte y asignación son casos particulares de un grupo más grande de problemas, llamados problemas de flujo en redes. Suposiciones de un problema de asignación: 1. El número de asignados es igual al número de tareas (se denota por n). (Esto puede variar). 2. Cada asignado se asigna eactamente a una tarea. 3. Cada tarea debe realizarla eactamente un asignado. 4. Eiste un costo c asociado con el asignado i (i=1,2,,n). 5. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimizar los costos totales. Planteamiento matemático del problema de asignación: min Z sujeta a j1 j1 n m 1 1 m i1 j1 c para i 1,2,..., m, para j 1,2,..., n, 0, para i y j ( n binarias, para toda i y j). Julio Rito Vargas Pág. 1

2 Método Húngaro: Pasos para resolver un problema de Asignación por el método Húngaro. 1. A todos los elementos de cada columna restar el menor elemento de la columna. En la matriz resultante, restar a todos los elementos de cada fila el menor elemento de la fila. Así se garantiza la obtención de por lo menos un cero en cada fila y columna. 2. Con la matriz resultante, verificar la eistencia de una solución óptima. Para encontrarla se debe asignar un cero a cada fila (comenzando por las que tengan menor Nº de ceros), y cancelar los demás ceros de esa fila y los ceros de la columna en la que se encuentra ese cero. Repetir esta operación hasta que no queden ceros sin asignar o cancelar. Si no eiste solución óptima ir al paso Realizar lo siguiente: a. Marcar con un * todas la filas que no contengan ceros asignados. b. Marcar todas las columnas que contengan uno o más ceros cancelados en alguna fila marcada. c. Marcar toda fila que tenga un cero asignado en una columna marcada. d. Repetir b) y c) hasta que no sea posible marcar más filas o columnas. e. Poner un trazo (línea) sobre toda fila no marcada y sobre toda columna marcada. 4. Tomar el menor número no atravesado por un trazo (línea) y: a. Restarlo a todos los elementos de las filas no atravesadas. b. Sumarlo a todos los elementos de columnas atravesadas. c. Volver al paso 2. Ejemplo 1: El gerente de la línea de producción de una empresa electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Eisten cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de línea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un eamen de operación y prueba administrado por el departamento de ingeniería industrial (véase la tabla P3-20). Suponiendo que un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima de tareas. a. Formular el modelo como problema lineal y resolverlo b. Resolverlo por Método Húngaro. Julio Rito Vargas Pág. 2

3 Número de operador Número de trabajo Op1 Op2 Op3 Op4 Op Julio Rito Vargas Pág. 3

4 Ejemplo 2: La compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla: Julio Rito Vargas Pág. 4

5 Ejemplo 3: Una empresa dispone de cinco máquinas I, II, III, IV y V. Así como de cinco operarios A, B, C, D y E para asignarlos a las máquinas. Siendo la matriz de costos, la indicada: a. Se desea establecer la asignación de costo mínimo. b. Resolver el mismo problema suponiendo que la matriz dada corresponde a la utilidad de asignar a cada operario a una máquina determinada. Julio Rito Vargas Pág. 5

6 RESOLVER EN CASA: 1. Se desea asignar 4 máquinas a 4 lugares posibles. A continuación se presentan los costos asociados. Se solicita minimizar los costos de asignación. 2. Llegan cuatro automóviles al taller de reparación de Bubba para varios tipos de trabajos: desde una transmisión averiada hasta un ajuste de frenos. El nivel de eperiencia de los mecánicos varía considerablemente y Bubba quiere minimizar el tiempo requerido para completar todos los trabajos. Estima el tiempo en minutos para que cada mecánico termine cada trabajo. Billy puede terminar el trabajo 1 en 400 minutos, el trabajo 2 en 90 minutos, el trabajo 3 en 0 minutos y el trabajo 4 en 120 minutos. Taylor terminará el trabajo 1 en 50 minutos, el trabajo 2 en 120 minutos, el trabajo 3 en 90 minutos y el trabajo 4 en 180 minutos. Mark puede terminar trabajo 1 en 480 minutos, el trabajo 2 en 120 minutos, el trabajo 3 en 80 minutos y el trabajo 4 en 180 minutos. John terminará el trabajo 1 en 500 minutos, el trabajo 2 en 110 minutos, el trabajo 3 en 90 minutos y el trabajo 4 en 150 minutos. Cada mecánico debe asignarse a solo uno de los trabajos. Cuál es el tiempo total mínimo requerido para terminar los cuatro trabajos? Quién debería asignarse a cada trabajo? 3. Roscoe Davis, presidente del departamento de negocios de una universidad, ha decidido aplicar un método nuevo para asignar a profesores a los cursos del siguiente semestre. Como criterio para juzgar quién debe enseñar cada curso, el señor Davis revisa las evaluaciones de profesores (hechas por estudiantes) de los dos años anteriores. Como cada uno de los cuatro profesores ha enseñado los cuatro cursos en algún momento durante los dos años, Davis puede registrar una puntuación del curso para cada profesor. Las puntuaciones se muestran en la tabla Julio Rito Vargas Pág.

7 que sigue. Encuentre la mejor asignación de profesores para los cursos que maimice la puntuación general de enseñanza. Julio Rito Vargas Pág. 7