UTALCA IMAFI. Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método gráfico. Para ello:

Transcripción

1 Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método gráfico. Para ello: (a). Modelar matemáticamente la situación planteada. (b). Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, todas las restricciones del problema. (c). Identificar, claramente, la región factible. (d). Buscar todos los vértices de la región factible. (e). Hacer una tabla que muestre los vértices recién encontrados, junto al valor correspondiente de la función objetivo. (f). Por inspección de esta tabla, identicar la solución del problema (g). No olvidar entregar la respuesta del ejercicio. 1) En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1800 millones de pesos, siendo el costo de cada tipo de casa de 30 y 20 millones, respectivamente. la municipalidad exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 millones y de 3 millones por una de tipo B, cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio?. 2) Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla: Montaje Acabado Utilitaria 3 horas 3 horas Lujo 3 horas 6 horas El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo. Cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio? 3) Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La A contiene un 15 % de extracto de jazmín, un 20 % de alcohol y el resto es agua, y la B lleva un 30 % de extracto de jazmín, un 15 % de alcohol y el resto de agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es 500 ptas. y el de la B 2,000 ptas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. 4) Una empresa de automóviles tiene dos plantas P y Q de montaje de vehículos en las que produce tres modelos A, B y C. De la planta P salen semanalmente 10 unidades del modelo A, 30 del B y 15 del C y de la Q, 20 unidades del modelo A, 20 del B y 70 del C., cada semana. La firma necesita, al menos 800 unidades de A, 1600 de B y 1800 de C. Si el gasto de mantenimiento de cada planta es de 6 millones de pesetas semanales, Cuántas semanas ha de funcionar cada planta para que el costo de producción sea mínimo?. 1

2 5) Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por kg son los de la siguiente tabla: Proteínas Hidratos Grasa Costo (/ Kg.) A B Cuántos Kg de cada producto deberá comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo? 6) Un Joyero fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1, 5 g de plata y se vende a $25. La de tipo B se vende a $30 y lleva 1, 5 g de oro y 1 g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal, Cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 7) Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nu?mero de mecánicos que de electricistas y del número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de $150 por electricista y $120 por mecánico. Cuántos trabajadores de cada clase deben elegir para obtener el máximo beneficio? 8) Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas gráficas, de 16 Mb y 32 Mb de memoria, respectivamente. Se utilizan dos máquinas que emplean 2min. en fabricar las de 16 Mb y 3 min. en fabricar las de 32 Mb. La cadena de montaje puede funcionar un máximo de 300 minutos diarios. Además cada máquina tiene una capacidad máxima de fabricación diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber más de 90 tarjetas de 16 Mb ni más de 80 tarjetas de 32 Mb, siendo el beneficio neto de las primeras de 45 pts y el de las segundas de 60 pts. Cuántas tarjetas de 16 Mb y 32 Mb debe fabricar diariamente cada máquina para que el beneficio sea máximo?. 9) Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta euros; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta euros. Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? 10) La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y de exterior. El precio que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de $100 y de $200 por cada una de exterior. Al día de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y de 30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y le supone unos costos, que son de $60 por cada planta de interior y de $80 por cada planta de exterior, y la floristería tiene por norma que estos costos de transporte no sobrepasen las $4,800 por pedido semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de $60 por cada planta de interior que venda y $50 por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos $3,000. 2

3 Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido: cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir? cuánto deberá pagar al proveedor? Respuestas: 1) x = casas del tipo A e y = casas del tipo B Z = 4x + 3y 30x + 20y 1800; x + y 80; Se deben construir 20 casas de tipo A y 60 de tipo B con un costo de 260 millones de pesetas. 2) x = nevera utilitaria e y = nevera de lujo. Z = 300x + 400y 3x + 3y 120; 3x + 6y 180; Se deben fabricar 20 neveras de cada uno de los dos tipos con un beneficio de euros. 3) x = colonia tipo A e y = colonia de tipo B. Z = 500x y x y 60; x y 50; El Beneficio máximo se obtiene con 100 unidades tipo A y 200 unidades tipo B, siendo este de pts. 3

4 4) x = planta P e y = planta Q. Z = 6x + 6y 10x + 20y 800; 30x + 20y 1600; 15x + 70y 1800; El mínimo costo de producción se obtiene trabajando 40 semanas en la planta P y 20 días en la planta Q, siendo este costo de 360 millones. 5) x = producto A e y = producto B. Z = 600x + 400y 2x + y 8; 6x + y 12; x + 3y 9; Se deben producir 3 de A y 2 de B para producir el mínimo costo de ) x = tipo A e y = tipo B. Z = 25x + 30y x + 1,5y 750; 1,5x + y 750; Se deben fabricar 300 de cada tipo con un beneficio de $ ) x = mecánico e y = eléctrico. Z = 120x + 150y x y; x 2y; x 20; y 30; 4

5 Se deben elegir 20 de cada tipo con un beneficio de $ ) x = tarjeta de 16 Mb e y = tarjeta de 32 Mb. Z = 45x + 60y 2x + 3y 300; x + y 125; x 90; y 80; Se deben elegir 75 de 16 Mb y 50 de 32 Mb con un beneficio de $ ) x = tipo A e y = tipo B. Z = 40000x y 200x + 100y 1600; 6x + 15y 96; x 11; y 8; La solución óptima es de con 4 aviones del tipo A y 8 aviones del tipo B. 10) x = plantas de interior e y = plantas de exterior. Z = 100x + 200y 60x + 80y 4800; 60x + 50y 3000; x 20; y 30; Por tanto, la floristería debería de pedir 25 plantas de Interior y 30 plantas de Exterior. Y su mínimo valor es de