TEMA 4 PROGRAMACIÓN LINEAL

Transcripción

1 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach TEMA PROGRAMACIÓN LINEAL INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA EJERCICIO : a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente semiplano: b) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: a) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos. Por ejemplo (, ) (, ). La pendiente será: m La ecuación de la recta es: - -.( ) Como (, ) no es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: b) Representamos la recta. Pasa por los puntos (, ) (, ). Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (, ): (, ) sí es solución. Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano: EJERCICIO : a) Representa las soluciones de la inecuación: b) Identifica la inecuación que corresponde al siguiente semiplano: a) Representamos la recta. Pasa por los puntos,,. Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (, ): (, ) no es solución. Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano:

2 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo (, ) (, ). será: pendiente La m La ecuación de la recta es: ( ) Como (, ) es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA EJERCICIO : a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones: 6 b) Di si los puntos (, ), (, ) (, ) son soluciones del sistema anterior. 6 6 Representamos las rectas a) Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (, ), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (, ) sí es solución del sistema, (, ) también lo es, pero (, ) no. EJERCICIO : a) Representa el recinto que cumple estas restricciones: 8 9 b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior Representamos las rectas a) Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (, ), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

3 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach El recinto buscado es: b) Por ejemplo: (, ), (, ) (, ). EJERCICIO 5 : a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones: b) Indica si los puntos (, ), (, ) (, ) forman parte de las soluciones del sistema anterior. Representamos las rectas a) Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (, ), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (, ) (, ) no son soluciones del sistema, pero (, ) sí lo es. EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO 6 : Maimiza la función z, sujeta a las siguientes restricciones: las rectas Representamos hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e.

4 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach Como es una región acotada eiste máimo se alcanza en uno de sus vértices A(,) z f(a) B(,) z f(b) C(8,) z f(c) 8 D(,8) z f(d) 8 E(.6/) z f(e) 6/ El máimo valor de z es se alcanza en el punto C(8,) EJERCICIO 7 : Halla el mínimo de la función z con las siguientes restricciones: Representamos las rectas hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e. Como es una región acotada eiste mínimo lo alcanza en uno de sus vértices: A(/,) z f(a).(/). B(,) z f(b).. C(,) z f(c).. 6 D(,) z f(d).. El mínimo se alcanza en todos los puntos del segmento que une ( ).,, este mínimo vale. EJERCICIO 8 : a) Dibuja el recinto definido por: b) Halla los vértices del recinto anterior. c) Halla el máimo de la función z, sujeta a las restricciones propuestas en a). En qué punto del recinto alcanza dicho máimo? Representamos las rectas

5 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach 5 hallamos la región que cumple las condiciones del problema. Los vértices del recinto son los puntos: 8 6 A, z f(a) /5 /5 6/5 9, B, z f(b) /5 8/5 6/5, Como es una región no acotada habrá máimo o mínimo. Cogemos un punto del recinto, por ejemplo el punto O(,) z f(o) Como es menor que los valores en A B, no eiste mínimo eiste máimo el máimo se alcanza en el punto, 5 5 A vale 9, EJERCICIO 9 : Maimiza la función z, sujeta a las restricciones:,, -,. Representamos las rectas ; hallamos la región que cumple las condiciones del problema. Como es una región acotada el máimo se alcanza en uno de los vértices: A(,) z f(a).. B(5,) z f(b).5. 9 C(,6) z f(c)..6 D(,/) z f(d)../ 7, El máimo se alcanza en el punto C(,6) vale EJERCICIO : Determina el máimo valor de la función F (, ) en el recinto: ; ;. Representamos las rectas ; hallamos la región que cumple las condiciones del problema.

6 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach 6 Como la región está acotada el máimo se alcanza en uno de sus vértices: A(,) z f(a) B(,) z f(b) C(,) z f(c) D(,) z f(d) El máimo se alcanza en el punto C(,) vale EJERCICIO : Maimiza la función f (, ) sujeta a las siguientes restricciones:, 6,,, ; representa el conjunto de soluciones factibles. Representamos las rectas ; 6 hallamos la región que cumple las restricciones del problema. Como la región está acotada, el máimo se alcanza en uno de sus vértices: A(,) z f(a).. 8 B(,) z f(b).. 8 C(8,6) z f(c).8.6 D(6,6) z f(d).6.6 E(,) z f(e).. El máimo se alcanza en el punto C(8,6) vale. EJERCICIO : Maimiza minimiza la función z, sujeta a las siguientes restricciones: Repesentamos las rectas hallamos la región que cumple las condiciones del problema.

7 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach 7 Como es una región acotada el máimo el mínimo se alcanza en uno de sus vértices: A(-,-) z -6 B(,-) z 9 C(,) z - El mínimo se alcanza en el punto A(-,-) vale z -6 El máimo se alcanza en el punto B(,-) vale z EJERCICIO : Maimiza la función z, sujeta a estas restricciones: 5 5 Representamos las rectas hallamos la región que cumple las condiciones del problema. Como es una región acotada, el máimo se alcanza en uno de sus vértices A(5,5) z 5 B((,) z C(,5) z D(75,75) z 75 El máimo se alcanza en el punto (, 5) vale z 5. 6 EJERCICIO : Representa la región del plano delimitada por: Es posible maimizar minimizar la función z en ella? Razona la respuesta, en caso afirmativo, indica en qué puntos se consiguen el máimo el mínimo.

8 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach 8 Representamos las rectas problema. 6 6 hallamos la región que cumple las condiciones del Es un recinto no acotado, por tanto ha máimo o mínimo se alcanza en uno de sus vértices A(6,) z B(,/) z 6,5 C(,6) z 8 Tomamos otro punto del recinto: E(6,6) z Por tanto no ha máimo, ha mínimo se alcanza en el punto B(,/) vale z 6,5 PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO 5 : Un orfebre fabrica dos tipos de joas. Las del tipo A precisan g de oro,5 g de plata, vendiéndolas a euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea,5 g de oro g de plata, las vende a 5 euros. El orfebre tiene solo en el taller 75 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máimo. Llamamos al número de joas del tipo A e al número de joas del tipo B. Resumimos los datos en una tabla: La función que nos da los ingresos es z 5 que debemos hacer máima. Dibujamos la región factible: Las restricciones son:,5 75,5 75 Como está acotada, el máimo se alcanza en uno de sus vértices. A(,) z. 5. euros B(5,) z.5 5. euros C(,) z euros D(,5) z euros El máimo se alcanza en el punto C(,). Por tanto, ha de fabricar joas del tipo A del tipo B para obtener el máimo beneficio. Los ingresos en este caso serían 7 euros.

9 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach 9 EJERCICIO 6 : Un veterinario ha recomendado que durante un mes, un animal enfermo tome diariamente para su recuperación, al menos, unidades de hidratos de carbono, de proteínas 6 de grasa. En el mercado se encuentran dos marcas de pienso, A B, con la siguiente composición: Cómo deben combinarse ambas marcas para obtener la dieta deseada al mínimo precio? Llamamos a la cantidad de pienso de la marca A e a la cantidad de pienso de la marca B. Resumimos los datos en una tabla: Las restricciones son: ; La función que nos da el coste es z,6. Debemos minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones: Como no es una región acotada, habrá máimo o mínimo se alcanza en uno de los vértices: A(,) z f(a),6. 6, B(/,) z f(b),5,6.,7 C(,/) z f(c),6.,5,8 D(6,) z f(d) 6,6. 6 Cogemos un punto del interior del recinto E(,) z f(e),6. 7,8 Por tanto ha mínimo pero no máimo se alcanza en el punto B(/,) vale,7 Por tanto, debe utilizar media unidad de la marca A unidades de la marca B. En este caso, el coste sería de: z,6,5,,7 euros.

10 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach EJERCICIO 7 : Un ganadero utiliza un pienso que tiene una composición mínima de unidades de una sustancia A otras de una sustancia B. En el mercado solo encuentra dos tipos: uno con unidades de A 7 de B, cuo precio es de 5 euros; otro con 6 unidades de A de B, cuo precio es de 5 euros. Que cantidad ha de comprar de cada uno de modo que el coste sea mínimo? Llamamos a la cantidad que compra del primer tipo e a la cantidad que compra del segundo tipo. Resumimos los datos en una tabla: ; Las restricciones son: La función que nos da el coste es z 5 5. Debemos minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones: Como no es una región acotada, habrá máimo o mínimo se alcanza en uno de los vértices: A(6,) z f(6,) B,. z f,. 66, Cogemos un punto del interior del recinto C(5,5) z f(5,5) 5 7 Por tanto ha mínimo no máimo se alcanza en el punto B,. 6 Por tanto, ha de comprar 5 del primer 5 7 z ,67 euros. 6 tipo 7 6 del segundo tipo. En este caso el coste sería de: EJERCICIO 8 : Con el comienzo del curso se van a lanzar una ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 6 cuadernos, 5 carpetas bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas: en el primer bloque pondrán cuadernos, carpeta bolígrafos; en el segundo, pondrán cuadernos, carpeta bolígrafo. Los precios de cada paquete serán de 6,5 euros 7 euros, respectivamente. Cuántos paquetes les conviene hacer de cada tipo para obtener los máimos beneficios? Llamamos al número de paquetes del primer tipo e al número de paquetes del segundo tipo. Resumimos los datos en una tabla:

11 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach Las restricciones son: ; 6 5 La función que nos da los ingresos es z 6,5 7. Debemos maimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones Como es un región acotada eiste máimo mínimo se alcanzan en uno de sus vértices: A(,) z B(,) z C(5, ). z 675 D(,) z El máimo se alcanza en el punto C(5,) Por tanto, deben hacer 5 paquetes del primer tipo paquetes del segundo tipo. En este caso, los ingresos serían de: z 6, euros EJERCICIO 9 : En una urbanización se van a construir casas de dos tipos; A B. La empresa constructora dispone para ello de un máimo de 8 millones de euros, siendo el coste de cada tipo de casa de euros euros, respectivamente. El Auntamiento eige que el número total de casas no sea superior a 8. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de euros de euros por una del tipo B, cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máimo beneficio? Llamamos al número de casas de tipo A e al número de casas de tipo B. Resumimos los datos en una tabla: ; Las restricciones son: La función que nos da los beneficios es: z. Debemos maimizar esta función sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones 8 El máimo se alcanza en el punto de corte de las rectas, es decir, en el punto (, 6). 8

12 Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach Por tanto, se deben construir casas de tipo A 6 casas de tipo B. En este caso, el beneficio sería de: z euros. 7 ) 8 litros. EJERCICIO : Una compañía aérea tiene dos aviones, A B, para cubrir un determinado traecto. El avión A debe hacer más veces el traecto que el avión B, pero no puede sobrepasar viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 6 vuelos, pero menos de. En cada vuelo, A consume 9 litros de combustible B 7 litros. Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? Llamamos al número de vuelos del avión A e al número de vuelos del avión B. 6 Las restricciones son: La función que nos da el consumo total es z 9 7. Debemos minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones El recinto está acotado, por tanto eiste mínimo se alcanza en uno de sus vértices: A(6,) z 5. B(,) z 8. C(,8) z 6. D(,) z 9. E(,) z 8. El mínimo se alcanza en el punto E(,) vale z 8. Por tanto, A debe hacer vuelos B otros para minimizar el consumo de combustible. En este caso, el consumo sería de z 8. litris