Habilidad para lograr aprendizajes efectivos en matemática

Transcripción

1 Curso: Habilidad para lograr aprendizajes efectivos en matemática Titulo: Programación lineal: Ejercicio Unidad: 2

2 Ejercicio Grandes tiendas encargan a un fabricante de Indonesia pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 y el de la chaqueta en 40. Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

3 Elección de las variables x = número de pantalones y = número de chaquetas Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y

4 Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: x + 1,5y 750 entonces 2x+3y x + y 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x 0 y 0 pantalones chaquetas disponible algodón 1 m 1,5 m 750 m poliéster 2 m 1 m 1000 m

5 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

6 Hallar el conjunto de soluciones factibles Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0) Como entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo análogo resolvemos 2x + y La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

7 Hallar el conjunto de soluciones factibles

8 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Estos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

9 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

10 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = = f(500, 0) = = f(375, 250) = = Máximo La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de

11 Ejercicio Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las de tipo A y, como mínimo, euros en las de tipo B. Además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?

12 Solución Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B. Resumimos los datos en una tabla:

13 Solución Las restricciones son: x x y x x y y y La función que nos da el rendimiento total es: f(x,y) z ,1 x 0,08y y x 8y 5x 4y 5x 4.

14 Solución Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es ) y larecta x 4y 0 5x 4y 0, quenosdaladireccióndelasrectas f(x,y) z x 4y.

15 Solución

16 Solución El máximo se alcanza en el punto (13, 8). Por tanto, debemos invertir euros en acciones del tipo A y euros en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de z euros.

17 Ejercicio Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros. Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.

18 Solución z = 20x + 40y = 20(x + 2y). Por tanto, deben producirse 3 unidades de A y 2 de B. En este caso, el beneficio será de z = =140 euros y x y x y x