El estudio de la programación lineal y sus aplicaciones serán el hilo conductor de la unidad. Los alumnos aprenderán

Transcripción

1 PROGRAMACIÓN LINEAL El estudio de la programación lineal y sus aplicaciones serán el hilo conductor de la unidad. Los alumnos aprenderán a optimizar funciones lineales sujetas a una serie de restricciones también lineales en contextos bidimensionales (inecuaciones con dos incógnitas). Por otra parte se estudian algunos de los modelos básicos de la programación lineal, trabajando en la medida de lo posible la modelización de problemas reales. La unidad comienza exponiendo las inecuaciones lineales con dos incógnitas con las que se trabajará a lo largo de la unidad. Si bien no incluye conceptos verdaderamente nuevos, es fundamental saber interpretar, representar y operar con inecuaciones lineales en dos variables. Posteriormente se da el paso a los sistemas de inecuaciones lineales y su resolución gráfica u obtención de la región factible, concepto clave en esta unidad. Tras esto se entra de lleno en la programación lineal, con la definición de la misma y de la función objetivo y enunciando el teorema fundamental de la programación lineal, lo que permite justificar tanto el método gráfico como el método analítico. A través de ejemplos y ejercicios resueltos se muestran algunos modelos como el del problema del transporte y el del problema de la dieta. También se muestran ejemplos de programación entera, aunque no se desarrollan métodos específicos. Se trata de una unidad que con una carga de teoría bastante ligera logra mostrar métodos de optimización aplicables a muchos problemas reales (dentro de las restricciones de linealidad, por otro lado bastante comunes en los problemas cotidianos) cuya utilidad es fácilmente apreciable. La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo. Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del estudio de las derivadas y sus propiedades, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones, así como un mayor conocimiento de la naturaleza de las funciones. Por otra parte se estimula la relación entre el razonamiento lógico y deductivo y la resolución de problemas reales y cotidianos. La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos. Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad. A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas. La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema. Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en esta unidad a través de la toma de conciencia de cómo pueden aplicarse los conocimientos matemáticos para resolver problemas de optimización de recursos. Un manejo eficiente de estos es fundamental para el crecimiento y desarrollo de las sociedades así como de las ciudades, sus infraestructuras y otras organizaciones. Temporalización El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.. Programación lineal 55

2 Objetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: Saber representar inecuaciones lineales así como su intersección, o región factible. Modelizar y resolver problemas de programación lineal a través del método gráfico o el analítico. Plantear problemas de optimización relacionados las ciencias experimentales, sociales y financieras, resolverlos e interpretar el resultado obtenido dentro del contexto. Atención a la diversidad Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave Inecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Programación lineal Método gráfico Método analítico Aplicaciones prácticas de la programación lineal. Representar inecuaciones con dos incógnitas en el plano 2. Definir y representar la región factible plana generada por un sistema de restricciones lineales de dos incógnitas. 3. Determinar e interpretar las soluciones óptimas en problemas de programación lineal... Interpreta inecuaciones con dos variables como una región del plano..2. Representa inecuaciones con dos incógnitas en el plano. 2.. Define con precisión el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas y lo representa. 3.. Encuentra y justifica las soluciones óptimas en problemas de programación lineal Reconoce y diferencia los casos con una única solución óptima, sin solución y con infinitas soluciones en un segmento. CMCT CL CAA CSC CMCT CL CAA CMCT CD CL CAA CSC. Formular algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida cotidiana, resolver el sistema de inecuaciones planteado, en los casos que sea posible, y aplicarlo para resolver problemas en contextos reales... Modeliza problemas cotidianos con restricciones lineales y los resuelve e interpreta contextualizándolos. 56 Álgebra y Programación lineal

3 PARA EL PROFESOR MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD PARA EL ALUMNO Presentación de la unidad Repasa lo que sabes. Inecuaciones lineales con dos incógnitas Actividades de refuerzo Actividades de ampliación 2. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas GeoGebra. Sistema de inecuaciones Prueba de evaluación 3. Programación lineal Método gráfico Método analítico Aplicaciones prácticas de la programación lineal Vídeo. Resolución Vídeo. Problema de máximo Vídeo. Problema de mínimo EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROBLEMAS EVALUACIÓN Actividades interactivas. Test de autoevaluación. Programación lineal 57

4 Repasa lo que sabes (página 89). Dibuja estas rectas del plano. a) 3x 2y 5 b) x y 6 Para representar cada recta determinamos dos puntos por los que pasa cada una: a) (, ) y (, ) b) (2, 2) y (2, ) O 2. Indica qué representa en el plano la solución del sistema del siguiente ecuaciones: 3x 3y x y 2 La representación gráfica de cada ecuación es una recta y el sistema de ecuaciones determina el conjunto de puntos que verifican ambas rectas. En este caso (x, y) (, ) es la solución del sistema y por tanto, el punto de corte de ambas rectas. 3. Resuelve estas inecuaciones. a) 3x 7 b) x 3 5x 2 6 c) x 25 x 6 a) 3x 6 x 6/3 (, 6/3) b) x(x 2 5x 6) x(x 2)(x 3) Si el producto de 3 monomios es mayor que o los tres son positivos (x 3), o dos son negativos y uno positivo ( x 2). Esto es: x (, 2) (3, ) c) Por un lado x 2 25 x 5, y por otro, x 6 x 6. Ahora bien, el cociente será positivo siempre que numerador y denominador tengan el mismo signo. En este caso son ambos positivos si x 6 (6, ) y serán ambos negativos siempre que x (5, 5). Luego la desigualdad se cumple si: x (5, 5) (6, ) 58 Álgebra y Programación lineal

5 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO Sugerencias didácticas. Recursos TIC Sistema de inecuaciones (página 92) En el recurso de GeoGebra pueden verse las regiones del plano correspondientes a cada inecuación del primer ejercicio resuelto de esta página. Moviendo los deslizadores con los coeficientes de las ecuaciones pueden obtenerse otros ejemplos para mostrarlos en la pizarra digital o para practicar este tipo de ejercicios más tarde. Resolución (página 2) En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio resuelto paso a paso, hallando los puntos de intersección entre las rectas y determinando la región factible. También se resuelve gráficamente para comprobar que la solución no depende del método utilizado. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplo completo de este tipo de ejercicios o para repasar el procedimiento de resolución. Problema de mínimo (página 5) En el vídeo puede verse el planteamiento y la resolución del ejercicio resuelto de esta página. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplo completo de este tipo de problemas o para repasar el procedimiento para resolver problemas de programación lineal. Problema de máximo (página 6) En el vídeo se muestra el planteamiento y la resolución paso a paso del ejercicio resuelto de esta página. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplo completo de este tipo de problemas o para repasar el procedimiento para resolver problemas de programación lineal. 3 3x 2y 6 pues la recta representada es 3x 2y 6 y al estar trazada en discontinua nos indica que se trata de una desigualdad estricta. Para identificar hacia qué lado es la desigualdad sustituimos el (, ) en (x, y), que pertenece a la región, obteniendo 6. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones. a) b) a) b) 3x 2y 7 5x y 5 O O x y 2 3x y 5 c) x y x 3y 2 Actividades (páginas 9/8) Representa gráficamente los semiplanos solución de las siguientes inecuaciones. a) x 3y 7 b) 2x y 3 c) O 2 O Indica de qué inecuación es solución el semiplano de la figura.2. O Maximiza la función objetivo dada por f(x, y) 2x y sujeta a las siguientes restricciones: x y 2 x y 6 x y 3 Calculamos: f(, ), f(3/2, 9/2) 5/2 y f(, 2) El valor máximo de la función f(x, y) es y se alcanza en el vértice (, 2). O. Programación lineal 59

6 5 Minimiza la función f(x, y) x 2y, sujeta a estas Así pues, conviene fabricar 2 broches simples y 3 broches restricciones: de fiesta por los que se obtendrá un beneficio máximo de y 2 3x 2y 5 y x 5 3y x 2 O La recta nula es paralela a uno de los segmentos del perímetro de la región factible, así pues todos los infinitos puntos de dicho segmento serán solución óptima. El segmento es el que va desde el vértice (, 2) hasta el vértice (57/33, /), y en todos sus puntos la función objetivo alcanza el mismo valor. f(, 2) f(, ) f(57/33, /) 8 Maximiza la función f(x, y) 3x 5y cuyas restricciones son las siguientes: x 3y 6 5x 3y 5 f(, ) f(, 5) 25 f(3, ) 9 f(9/, 5/) 3 El máximo de la función f(x, y) es 3 y se alcanza en el punto O (9/, 5/). 7 Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches para fiestas. Se obtiene un beneficio de 2,7 por cada broche sencillo y de 3,6 por cada broche para fiestas. En una jornada de trabajo no se pueden fabricar más de broches sencillos ni más de 3 para fiestas; tampoco es posible producirse más de 5 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción del día, cuál es el número de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener un beneficio máximo? La función objetivo será el beneficio que se pretende maximizar, para definirla asignamos las variables: x Broches sencillos y Broches para fiestas f(x, y) 2,7x 3,6y x sujeto a las siguientes y 3 restricciones:x y 5 Las dos primeras parejas de restricciones definen un rectángulo, que es cortado en una esquina por la recta x y 5. Por tanto, la región factible está delimitada por los vértices: (, ), (, ), (, ), (2, 3) y (, 3) Evaluamos la función objetivo solamente en dos vértices: (2, 3) y (, ), pues (, 3) o (, ), no van a producir mayores beneficios como se puede observar. f(2, 3) 62 f(, ) 8 Un concesionario de coches comercializa dos modelos de automóviles: uno deportivo, con el que gana 6 por unidad vendida, y el familiar, cuyos beneficios por unidad son de 3. El número de coches deportivos vendidos anualmente, x, debe verificar que 5 x 75. Por su parte, el número de modelos familiares vendidos anualmente, y, ha de ser mayor o igual que el de deportivos vendidos. Sabiendo que el concesionario puede vender hasta un máximo de automóviles al año, determina cuántos coches de cada modelo debe vender anualmente para que su beneficio sea máximo. Siguiendo las indicaciones del enunciado, x representa el número de coches deportivos vendidos, e y el número de coches familiares vendidos. De esta manera la función objetivo es: f(x, y) 6x 3y, sujeto a: La región factible estará acotada entre las intersecciones de las rectas que delimitan las inecuaciones, esto es, (5, 5), (75, 75) y (5, 35), (75, 325). Teniendo en cuenta que nuestra función objetivo es positiva en ambas variables, esto es, que vender más coches (deportivos o familiares) reporta un mayor beneficio, no tenemos que evaluar la función en los cuatro vértices. Por ejemplo entre el punto (5, 5) y el (35, 5) no es necesario evaluar la función objetivo, pues se obtendrá más beneficio vendiendo 3 coches más. Por este motivo basta comparar los resultados de los dos vértices superiores: f(5, 35) f(75, 325) Así, concluimos que el beneficio óptimo se encuentra vendiendo el máximo de coches deportivos (75 en este caso) y el resto hasta coches familiares. Ejercicios y problemas (páginas /2) Dibuja el conjunto de puntos del plano que satisface las siguientes desigualdades: 6 y 3 5x 2y 6x y 3 x 2y 2 5 x 75 x y x y O 6 Álgebra y Programación lineal

7 2 Optimiza la función f(x, y) 3x 2y, sujeta a las siguientes restricciones: Intersecando las rectas frontera de las restricciones se obtienen los vértices de la región factible: x A(, ), B(, 5), C(2/5, 2/5) y D(56/7, 6/7) y 2 Al evaluar la función objetivo en los cuatro vértices vemos 3y 2 2x que se alcanza el mismo valor en C y en D, f(c) f(d) 6, y 2x 2 siendo además el valor máximo, por lo tanto los infinitos puntos del segmento que va de C a D serán solución óptima del problema. 3 5 Procedemos de manera analítica en este caso. Intersecamos las rectas dos a dos y obtenemos el siguiente conjunto de puntos candidatos a vértices: (, 2), (, 22/3), (9, 2), (, ), (5, 2) y (3, 6), pero no todos ellos cumplen las restricciones, por ejemplo el punto (9, 2) no cumple la última desigualdad, al igual que (, ) tampoco cumple la tercera, por lo tanto los vértices a considerar son: A(, 2); B(, 22/3); C(5, 2) y D(3, 6). Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y obtenemos: f(a), f(b) 35/3, f(c), f(d) 3 Por lo tanto el máximo se alcanza en el punto C(5, 2) con el valor, y el mínimo en el punto B(, 22/3) con el valor 35/3. Escribe inecuaciones que definan una región plana cerrada, de modo que: Los puntos (, ) y (, ) pertenezcan a dicha región. Los puntos (, ) y (2, 2) no pertenezcan a ella. Representa después gráficamente la región que has elegido. Respuesta abierta, por ejemplo:/2 x y 2 Hay que asegurarse de que se representa la región asociada a la solución que variará en cada caso. Determina el valor máximo de la función: f(x, y) y x en el recinto limitado por las y 2 inecuaciones:2x y Estudiamos analíticamente los vértices de la región factible, comenzando con las intersecciones de las rectas: O(, ), A(, ), B(2, ), C(, 2), D(, 2) de donde descartamos A(, ) que no cumple todas las restricciones. Evaluamos la función objetivo en los vértices: f(, ) f(2, ) 2 f(, 2) 3 f(, 2) 2 Así el valor máximo de 3 se alcanza en el punto (, 2). Maximiza la función f(x, y) 2x y, sujeta a las siguientes restricciones: x y 2 x y 6 x y 3 Obtenemos los vértices de la región factible intersecando las rectas que marcan las restricciones y en ellas evaluamos la función objetivo. f(, ) f(2, ) f(, 3) 3 f(3/2, 9/2) 5/2 f(, 2) Luego el máximo se halla en el punto (, 2) y toma el valor. 6 Maximiza la función f(x, y),75x y que se halla sujeta a estas restricciones: x 3y 5 5x y 2 3x y Es interesante observar que la función objetivo es paralela a la tercera restricción, que es la que define el segmento solución. Minimiza y maximiza la función f(x, y) 5x y en el siguiente recinto: 2x 5y 2 6x 8y 8 5x y 2 O 2 En la representación se observa que la segunda restricción no juega ningún papel. Evaluamos f(x, y): f(, ) f(, ) f(, ) 5 f(/9, 2/9) 62, El máximo se encuentra en (/9, 2/9). Maximiza la función f(x, y) 3x 2y sujeta a las restricciones siguientes: 7x 5y 7x 3y 5 2x 3y f(, ) f(, 2) f(2, ) 6 f(2/, 5/) 6/ f(5, 2/3) 85/3 Luego el máximo se alcanza en el vértice (5, 2/3). O 9 Representa el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente estas inecuaciones: x 2 x 2 y O. Programación lineal 6

8 Maximiza f(x, y) 6x 2y en el primer cuadrante, teniendo en cuenta las siguientes restricciones, y analiza la posibilidad de resolución del problema: Procedemos de manera gráfica. Las rectas de nivel de la función objetivo son de la forma f(x, y) k, y consideramos solo aquellas que pasan por algún vértice de la región factible. Entre ellas, la que corta a los ejes en un valor más alto nos indica y 2x en qué vértice de la región se alcanza el máximo, y con cualquiera de los puntos de corte con los ejes podemos obtener 2y x y / el valor máximo que alcanza la función objetivo: f(7, ) , que coincide con el valor que se alcanza en el vértice f(8, 6) , ya que se trata de una recta de nivel. 3 Dibuja el conjunto de puntos del plano que satisfacen las siguientes desigualdades: 6 x, O, y 3 5x 2y 6x y 3 Los vértices de la región factible son: x 2y 2 (, /), (, /2), (/5, 3/5) y (3/8, /) Evaluando la función objetivo en estos puntos se obtiene como valor máximo: f(3/8, /) / Observa este recinto del plano en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices: 2 a) Halla las inecuaciones que definen el recinto. b) Maximiza f(x, y) 3x 6y en dicho recinto. y 3 a) y 3x x y b) El recinto está contenido en el primer cuadrante (las coordenadas de todos sus puntos son ambas positivas), y la función objetivo es negativa en ambas variables, por lo tanto obtendrá siempre valores negativos salvo en el (, ) donde se alcanza el máximo con el valor. Maximiza la función f(x, y) 2x 3y, sujeta a las siguientes restricciones, y representa después el conjunto de las soluciones factibles. O x y 6 y x x y O Representa la región del plano delimitada por este sistema de inecuaciones: x y 5 x y 2 Razona si es posible optimizar f(x, y) 2x 5y en dicha región. Indica en qué puntos se alcanza el máximo y el mínimo y cuáles son sus valores. 2 O 2 Al tratarse de una región factible acotada debe existir tanto máximo como mínimo. Procedemos a evaluar la función objetivo en los cuatro vértices de la región factible: f(, 2) 5 f(2, ) 28 f(, 5) 2 f(5, ) observamos el mínimo (, 2) y el máximo (2, ). 2 (7, ) O 2 62 Álgebra y Programación lineal

9 5 Considera el recinto convexo definido por el siguiente sistema de inecuaciones: a) Razona si es posible maximizar en él f(x, y) x 2y. b) En caso afirmativo, calcula el valor óptimo correspondiente y los puntos donde se alcanza. x y x 2y 5 O 5 Los vértices son: (, ), (, ), (, 5) y (25, 5) O 8 Minimiza f(x, y) 3x y 2, sujeta a estas restricciones: x 2y 6 x y 2x y 6 Los vértices son: (, ), (, ), (, ) y (/3, /3) a) Deben existir máximo y mínimo por tratarse de una región acotada. b) El mínimo valor es y se alcanza en el origen, el valor máximo es y se alcanza en todos los puntos del segmento que une los vértices (, ) y (/3, /3), pues la las rectas de nivel de la función objetivo son paralelas a dicho segmento. Considera el siguiente de desigualdades lineales: a) Resuélvelo gráficamente. b) Maximiza f(x, y) 3x 5y, sujeta a esas restricciones. c) Discute razonadamente el resultado del apartado b) sería el mismo al sustituir la primera condición por x 5. a) 5 O 5 6 x y 3 5x 2y 6x y 3 x 2y 2 b) El máximo se alcanza en el punto (8, 3) y toma el valor 7. c) No puede coincidir la solución si sustituimos 6 x por x5, ya que ambas inecuaciones definen semiplanos disjuntos, y por lo tanto no habrá ningún punto común entre las regiones factibles que generan cada una de las restricciones. En este caso el punto del plano (8, 3) no cumple la restricción x Intersecando las rectas dos a dos y eligiendo de entre las restricciones aquellas que cumplen todas las restricciones hallamos los vértices: (/2, /), (/2, ) (2, 2) y (, ) El mínimo se alcanza en (, ) donde la función objetivo toma el valor 6. Determina los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) 3x y sujeta a estas restricciones: 3x y 3 x y 5 x 2 y La primera inecuación se puede reordenar de la siguiente manera: 3 2x x y, lo que nos permite considerarla junto con la segunda restricción: 3 2x x y 5 2 2x, esto es x lo que es totalmente incompatible con la tercera x 2 y por tanto, la región factible es vacía. Ningún punto del plano cumple las tres primeras restricciones. Para abonar una huerta, se necesitan por lo menos 8 kg de nitrógeno y 2 kg de fósforo. Se dispone de un producto, M, cuyo precio es de,8 /kg y que contiene un % de nitrógeno y un 3 % de fósforo. Existe en el mercado otro producto, N, que contiene un 2 % de nitrógeno y un 2 % de fosforo, y cuyo precio es de,2 /kg. Con que cantidades de M y N se abona la parcela con el menor gasto posible? Definimos las variables y la función objetivo: x kilos del producto M y kilos del producto N f(x, y),8,2y a minimizar, pues representa el gasto. Las restricciones vienen en función de nitrógeno y fósforo y las habituales restricciones de no negatividad (no podemos comprar cantidades negativas):,,2y 8,3,2y 2 7 Dibuja el recinto definido halla sus vértices: y 5 x y x y La región factible es no acotada (en el sentido de crecimiento positivo de las variables) y tiene tres vértices que son: (, 6), (2, 3) y (8, ) El mínimo se alcanza comprando 2 kg de producto M y 3 kg de producto N con un coste total de,8.. Programación lineal 63

10 2 Escribe las inecuaciones que definen una región plana cerrada tal que: 2 Un industrial fabrica dos productos A y B. Cada kilo de A requiere h de trabajo y 6 en gastos de material y (2, 2) y (2, ) pertenezcan a dicha región. arroja unos beneficios de 5. Cada kilo de B, por su parte, supone 7 h de trabajo y material por un valor de 8 ; las (2, ) y (, 2) no pertenezcan a ella. ganancias obtenidas por dicha cantidad de productos son Haz una representación gráfica de la región elegida. de 3. Cada semana, el industrial cuenta con 2 h de trabajo. Por otro lado, está obligado por contrato a producir un mínimo de 5 kg de A y kg de B, y no gastar más de 923 en material. El industrial quiere saber cuántos kilos de cada producto debe fabricar por semana para obtener el mayor beneficio posible O x y 3 x 3 y 5 En este caso las restricciones de no negatividad serían prescindibles. En la producción de dos tipos de carpetas (de garras y de anillas) se utilizan dos máquinas, L y M. Para elaborar una carpeta de garras, la máquina necesita 2 min, y la M, min, y para producir una de anillas, la máquina L necesita 8 min, y la M, min. El beneficio neto que se obtiene por una carpeta de garras es de,7, y por una de anillas de,27. Cuántas carpetas de cada tipo debe producir en h cada máquina para maximizar beneficios? Definimos variables y función objetivo: x n.º de carpetas de garras y n.º de carpetas de anillas La función beneficio a maximizar es: f(x, y),7,27y Cada máquina genera una restricción, junto a las de no negatividad nos produce el siguiente sistema de inecuaciones: 2x 8y 6 x y 6 Se obtiene una región factible delimitada por los segmentos que unen los siguientes vértices: (, ) (; 7,5), (, 5) y (, 5) Evaluando la función objetivo en los cuatro vértices se tiene que el máximo se alcanza al producir carpetas de garras y 5 de anillas obteniendo un beneficio de 3,5 por cada hora que trabajan ambas máquinas. Un laboratorio utiliza las sustancias A y B para preparar dos vacunas. La primera se prepara con 2 unidades de A y de B, y dará lugar a 8 dosis, la segunda se elabora con 2 unidades de A y 3 de B, y produce 2 dosis. Si el laboratorio tiene unidades de A y 3 de B, cuántas vacunas de cada tipo deberán preparar para obtener el máximo número de dosis? x n.º vacunas del primer tipo y n.º de vacunas del segundo tipo La función beneficio a maximizar es: f(x, y) 8x 2y Las restricciones vienen dadas por las limitaciones de las sustancias A y B y por las restricciones de no negatividad. 2x 2y x 3y 3 La región factible está definida por los siguientes cuatro vértices: (, ), (, ), (5, 5), (2, ) Evaluando en ellos la función objetivo se concluye que el máximo número de dosis se logra al producir 5 vacunas del primer tipo y 5 del segundo. 25 a) Formula este problema de optimización en términos de programación lineal. b) Representa gráficamente el conjunto de soluciones posibles y halla la solución óptima. a) x kilos del producto A y kilos del producto B La función de beneficios a maximizar es: f(x, y) 5x 3y En este caso las restricciones las generan: El límite de horas (2 h). El límite de presupuesto ( 923 ). Los mínimos de producción por contrato (5kg de A y kg de B). x 7y 2 6x 8y 923 x 5 y b) Evaluamos la función objetivo en los cuatro vértices: f(a) 328,88 f(b) 275 f(c) 382,25 f(d) 975 O 5 B A D C Una compañía petrolera necesita 9 t, 2 t y 2 t de crudo de calidad alta, media y baja, respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce diariamente t, 3 t y t de petróleo de calidades alta, media y baja, respectivamente. La refinería B produce 2 t de cada una de las tres calidades. El gasto diario de cada una de las refinerías es de 2. Cuántos días debe trabajar cada refinería para que el gasto sea mínimo? x n.º de días que trabaja la refinería A y n.º de días que trabaja la refinería B La función coste a minimizar es: f(x, y) 2 x 2 y Como restricciones tenemos las habituales de no negatividad y las tres que generan las necesidades de las tres calidades de crudo: x 2y 9 3x 2y 2 x 2y 2 Se trata de una región factible no acotada, contenida en el primer cuadrante (variables no negativas) y acotada inferiormente por los segmentos que unen los puntos: (, 2), (5, 2) y (9, ) Dado que ambas refinerías tienen el mismo coste diario y que , el coste mínimo está abrir 5 días la refinería A y 2 días la refinería B, con un coste de: (2 5) Álgebra y Programación lineal

11 26 Una empresa dedicada a la fabricación de motocicletas de 5 cc y 25 cc dispone de una sección de montaje y otra de pintura. Las horas de mano de obra necesarias para la producción de cada motocicleta son: 27 Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de envases Montaje Pintura pequeños y 2 grandes. La demanda de envases grandes 5 cc 8 h 6 h es igual o superior a la de los pequeños. El coste por almacenaje es de CENT para cada envase pequeño y 2 CENT 25 cc 8 h 3 h para cada envase grande. Qué cantidad de cada tipo de envases proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Halla La sección de montaje tiene 25 trabajadores y la de pintura dicho mínimo. 8, todos los cuales trabajan un máximo de 8 h al día. Calcula la producción que maximice las ganancias si el beneficio x n.º de envases pequeños obtenido es de 2, y por cada motocicleta de y n.º de envases grandes 5 cc y de 25 cc, respectivamente. La función coste de almacenaje, en, a minimizar es: x n.º de motocicletas de 5 cc f(x, y),,2y y n.º de motocicletas de 25 cc f(x, y) 2x y 8x 8y 2 6x 3y Las restricciones se corresponden a que las variables no pueden ser negativas, y la limitación de horas máximas que se pueden trabajar en cada sección: ( y 8 8 ), definiendo una región convexa delimitada por los segmentos que conectan los vértices: (, ), (, 25), (23, 2) y (2, ) f(, ) f(23, 2) 88 f(, 25) 3 5 f(2, ) 8 Luego el máximo beneficio se obtiene al producir 23 motocicletas de 5 cc y 2 de 25 cc, obteniendo 88. Las restricciones vienen dadas por el límite de los congeladores, el stock mínimo necesario (que sustituyen a las condiciones de no negatividad) y la demanda siempre mayor de envases grandes, esto es: x y x y x y 2 Estas restricciones definen una región convexa acotada definida por los vértices: (, 2), (2, 2), (5, 5) y (, 9) En este caso puede no ser necesario evaluar la función objetivo en cada vértice, pues el mínimo se halla en el almacenaje de stock mínimo ( envases pequeños y 2 grandes) con un coste de 5. Evaluación (página 3) x y 2. Representa el conjunto convexo definido por las siguientes x y desigualdades:x 2y Calcula los vértices del conjunto convexo definido. O Los vértices corresponden a las tres intersecciones de cada par de rectas. En este caso las dos primeras se cortan en el punto (, 3), la primera y la tercera en (5, 3) y las dos últimas en (3, ). 2. Calcula los valores máximo y mínimo que alcanza la función f(x, y) 3x 2y en el conjunto convexo anterior. f(5, 3) 2, se trata del mínimo f(, 3) 9 y f(3, ) que es el valor máximo 3. Considera la función g(x, y) ax by, donde a y b son números reales. Determina razonadamente el valor de a y b de manera que existan infinitos puntos de la región convexa anterior en los que g(x, y) alcance el valor máximo. Para que haya infinitos puntos en los que se alcance el máximo, las rectas de nivel deben ser paralelas a alguno de los segmentos frontera de la región factible y por tanto a alguna de las restricciones. Esto es, los coeficientes (a, b) deberían ser proporcionales a alguna de estas tres parejas: (, ), (, ) y (, 2). Una pastelería produce pasteles de chocolate y de vainilla. Un pastel de chocolate necesita 2 min de cocción y 2 huevos, mientras que uno de vainilla se hace con un huevo y precisa min de cocción. Un pastel de chocolate se vende a,2, y uno de vainilla, a,9. La pastelería dispone únicamente de 3 huevos, y el horno, con capacidad para un solo pastel, puede funcionar un máximo de 8 h. Cuántos pasteles de chocolate y de vainilla deberá producir el establecimiento para maximizar sus ingresos?. Programación lineal 65

12 x n.º de pasteles de chocolate y n.º de pasteles de vainilla 2x y 8 2x y 3 5. Un país dispone de dos minas de carbón, A y B, y tres centros de consumo, las ciudades C,C 2 y C 3. Las minas producen 26 t y 3 t de carbón, respectivamente. Las necesidades de los tres centros son de 2 t, 22 t y t de carbón, también respectivamente. Indica cómo ha de efectuarse el transporte para que el gasto sea mínimo si los costes del transporte por tonelada desde las minas a las ciudades son, en euros, los que se indican en la siguiente tabla: A B C 2 C 2 3 C 3 Asignamos variables y creamos la tabla de restricciones, de tal manera que se respeten las necesidades y la producción: x 2 y 22 2 x y 26 f(x, y) x 3y (26 x y) 2(2 x) (22 y) (x y 2) x 2y 76 La región factible es el hexágono irregular que se forma al representar la situación. Evaluamos la función objetivo en los vértices: x y f(x, y) Encontramos el mínimo en el punto (2, ), y obtenemos la siguiente tabla solución: C Luego el coste mínimo de 56 se dará al satisfacer toda la demanda de la ciudad desde la mina A, la demanda de la ciudad 2 C 2 C 3 Producción A B íntegramente desde la mina B, completando la demanda de la tercera ciudad con los sobrantes de producción de ambas minas. Necesidades Una compañía naviera dispone de dos barcos A y B para realizar un determinado crucero. El barco A debe tener tantos viajes o más que el barco B, pero no puede sobrepasar los 2 viajes. Entre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes y no más de 2. La naviera obtiene un beneficio de 8 por cada viaje del barco A y 2 por cada viaje del B. Se desea que las ganancias sean máximas. a) Expresa la función objetivo. b) Describe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto obtenido. c) Halla el número de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el máximo beneficio. Calcula dicho beneficio máximo. a) f(x, y) 8 x 2 y es la función objetivo a maximizar, siendo: x viajes que realiza el barco A y viajes que realiza el barco B b) y x 2 c) 6 x y 2 f(x, y) x y O 2 Chocolate Vainilla Cocción Huevos Precio 2,2,9 O 3 C C 2 C 3 Producción A x y 26 x y 26 B Necesidades 2 x 2 22 y x y 2 2 La región factible está delimitada por los segmentos que unen los siguientes cuatro vértices: (, ), (, 2), (2, 6) y (5, ) Evaluando la función objetivo en los vértices, se encuentra su máximo al producir 2 pasteles de chocolate y 6 de vainilla obteniendo 9,8 de beneficio. 3 8 Luego el beneficio máximo se alcanza al realizar 2 viajes con la naviera A y 8 con la naviera B. Este beneficio es de Álgebra y Programación lineal