Tema 8: Programación lineal. Nociones elementales. Ejemplos.

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1 Tema 8: Programación lineal. Nociones elementales. Ejemplos.. Introducción / motivación: -La optimización en problemas reales depende en general de varias variables -Las técnicas de diferenciabilidad siguen siendo válidas (con una extensión adecuada a varias variables) -La tarea se simplifica si la expresión a optimizar (en adelante función objetivo) usa sólo combinaciones lineales f(x,..., x n ) = a x a n x n, donde los coeficientes a i R son conocidos. Definición. Los problemas de óptimos para expresiones lineales donde las restricciones son desigualdades dadas a partir de más expresiones lineales (inecuaciones) conforman la PROGRAMACIÓN LINEAL. Ejemplo. Un ejemplo de tal tipo de problemas es el siguiente: Maximizar la función P (x, y) = x + y sujeta a las siguientes restricciones: x y x + y 78 x + 6y 8 Nota. Nota histórica: el suministro a Berlín durante el bloqueo de la guerra fría (98-9) se planificó usando programación lineal.. Aplicaciones básicas: -Problema de la dieta: determinar cantidades a mezclar de diferentes alimentos para recibir la alimentación necesaria a un coste mínimo En una granja se da una dieta para engordar con una composición mínima de unidades de una sustancia A y otras de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de euros y el del tipo Y es de euros. Se pregunta:

2 Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? El planteamiento matemático es: Hallar x (latas del tipo X) e y (latas del tipo Y) que resuelven el problema mín(x + y) D siendo x, y, D = (x, y) R x + y,. x + y -Problema del transporte: organizar reparto de mercancías con coste mínimo de tiempo, dinero o riesgo Para atender el suministro diario de gas a tres ciudades C, C y C una empresa tiene destinadas dos fábricas F y F que producen y m respectivamente. Las necesidades de las tres ciudades son:, 8 y m respectivamente. Si los costes de transporte por tonelada de las industrias a las ciudades son, en cientos de euros, los indicados en la tabla adjunta, planificar el reparto óptimo para que dicho coste sea mínimo. F F C C C -Problema de la ruta más corta (o del viajante): ordenar etapas de un viaje con el propósito de minimizar el recorrido -Otras variantes: maximizar (el siguiente ejemplo está en la hoja de problemas) En una confitería se dispone de kg. de polvorones y kg. de mantecados que se envasan en dos tipos de cajas de la siguiente forma: Caja : g. de polvorones y g. de mantecados. Precio:, euros. Caja : g. de polvorones y g. de mantecados. Precio: euros. Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos?

3 . Objetivo del tema: resolución por el método geométrico -Resolver problemas prácticos de programación lineal con dos variables independientes [-Para más variables, se puede usar el Método del Simplex. Esto no se verá en este curso.] Usaremos el método geométrico, que implica dominar los conceptos de función objetivo, restricciones, región factible, rectas de nivel así como la resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales... Análisis previo: Regiones factibles En los ejercicios de programación lineal existe un dominio (análogo al de las funciones reales de variable real) de puntos donde tiene sentido plantear/resolver el problema. Inecuaciones lineales con dos incógnitas son expresiones de la forma Ax+By < C (o bien, >, ). Los puntos que satisfacen la inecuación forman un semiplano de R. La región factible estará determinada por un sistema de inecuaciones lineales. Geométricamente esto es la intersección de los semiplanos que generan las soluciones de cada una de las inecuaciones por separado. En lo que sigue manejaremos las desigualdades y, por lo que la región será cerrada, y cuando los haya, hablaremos de máximo y mínimo (si la región no es cerrada, en principio sólo hablaríamos de supremo e ínfimo). Por ejemplo, consideramos: D = {(x, y) R x, y, x + y, x + y 6}. Representamos primero las rectas y = x e y = x

4 Ahora marcamos la intersección de los semiplanos (región coloreada) que verifican todas las desigualdades que definen D Ahora consideramos la función objetivo, que debemos maximizar o minimizar dentro de la región factible. En estos problemas será otra combinación lineal de las variables x e y : c x + c y, pongamos por ejemplo x + y. Las funciones c x + c y = constante son rectas, y todas son paralelas entre si cuando la constante cambia (dicha constante es el valor de la función objetivo a lo largo de todos los puntos (x, y) de esa recta), Dicha función, trasladada paralelamente sobre la región genera los valores posibles de la constante. Así, los valores mayores y menores se obtienen en los extremos, por ejemplo, el máximo saldría de... (Programación lineal: Método geométrico)

5 .. Método geométrico en regiones factibles acotadas. (Cálculo directo sin representación gráfica) Aunque no se haya sido muy preciso con la representación gráfica no obstante se necesita hacer para confirmar que la región es acotada se pueden sacar estas conclusiones: el mayor y menor valor de la función objetivo se alcanzan en algunos de los puntos límites (llamados vértices) de la región factible. Así, los candidatos a extremos absolutos de la función objetivo son los vértices de ésta. Paso : calculamos los vértices Esto es, los puntos de la intersección dos a dos de las ecuaciones asociadas d x+d y = d a las inecuaciones d x+d y < (>,, ) d que definen el dominio (ojo: asegurarse que están en la región factible). En el caso de la región D del dibujo anterior se trata de los puntos (, ), (, ), (/, ), (6/7, /7). Paso : evaluar la función objetivo en dichos candidatos para obtener el máximo y mínimo (o supremo e ínfimo si es sobre puntos no incluidos en el dominio). La función f : D R R : (x, y) f(x, y) = x + y evaluada en los puntos anteriores es,, / y 6/7. Máximo de f : 6/7, se alcanza en (6/7, /7). Mínimo de f :, alcanzado en (, ) (ojo: no tiene porqué alcanzarse en un único punto: si se alcanza en dos vértices, por convexidad, se alcanza en toda una arista del polígono que delimita la región)... Sobre la existencia de solución y regiones factibles no acotadas Igual que ocurría con funciones continuas de una variable, las funciones objetivo tratadas en este tema tienen máximo y mínimo si la región factible es cerrada y acotada. O al menos tienen supremo e ínfimo si la región es acotada aunque no cerrada. Pero puede ocurrir que la región factible sea no acotada, en cuyo caso puede que el problema no tenga o bien máximo o bien mínimo (o supremo o ínfimo, como ya dijimos, si la región no es cerrada). Ilustramos con un ejemplo las posibilidades: sea como antes la función f(x, y) = x + y, pero ahora considerada sobre la región factible: E = {(x, y) R x, y, x + y, x + y 6}.

6 Entonces, dados los problemas mín f(x, y), máx (x,y) E f(x, y), (x,y) E el primero tiene solución mientras que el segundo no posee solución: f tiene mínimo sobre E pero no máximo, de hecho veremos que sup f(x, y) = +. E Razónese la respuesta en ambos casos trazando rectas paralelas a x + y =. Ahora se puede comprobar que, si bien líneas que minimizan el valor constante= x + y tienen un tope pues van descendiendo y el último punto factible es el (6/7, /7), en sentido ascendente (generando valores cada vez mayores constante= x + y) no tiene máximo finito: Existen puntos (x, y) E tan grandes como queramos, haciendo, como anunciamos, que sup f(x, y) = +. E 6