Universidad de Managua Curso de Optimización

Transcripción

1 Universidad de Managua Curso de Optimización Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Objetivos y Temáticas del Curso Estudiantes: Facultad de Ingeniería Año académico: I Cuatrimestre 2018

2 ORIENTACIONES GENERALES SITIOS WEB: jrvargas.wordpress.com juliovargas.udem.edu.ni Libro básico: PRÁCTAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES CON POM-QM. Software: POM-QM

3 Bibliografía

4 Bibliografía

5 OBJETIVOS DEL CURSO Decidir los algoritmos que aplicará a los problemas planteados de programación lineal, emplearlos en los mismos y analizar críticamente los resultados para producir informes tendientes a la toma de decisiones. Aplicar los conceptos de optimización de redes en la formulación de modelos, principalmente en la formulación de proyectos. Aplicar las técnicas fundamentales de modelos de optimización para la solución de problemas de optimización. Determinar a través de los modelos de transporte y asignación las acciones adecuadas que deben ser tomadas por las empresas, Analizar los conceptos de análisis de sensibilidad, su aplicación a la solución de modelos de optimización..

6 TEMAS DEL CURSO DE OPTIMIZACIÓN 1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL - MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER PPL - REGIÓN FACTIBLE, FUNCIÓN OBJETIVO, RESTRICCIONES. 2. MÉTODO SIMPLEX PARA RESOLVER PPL ESTRUCTURA DE LA TABLA DEL SIMPLEX PROBLEMAS 3. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD A PPL - CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES, CAMBIOS EN LAS VARIABLES, CAMBIOS EN LOS RECURSOS, CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLOGICOS, ETC. 4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE, TRANSBORDO Y ASIGNACIÓN. - MÉTODOS DE SOLUCIÓN. PROBLEMAS 5. PLANIFICACIÓN CON PERT-CPM

7 La programación lineal consiste básicamente en la construcción, solución y análisis del modelo lineal de un problema dado. Concepto de Programación Lineal: Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. La programación lineal es una técnica matemática que se utiliza para la solución de diferentes tipos de problemas. El éxito en su aplicación a problemas reales y complejos es avalado por una gran cantidad de instituciones productoras de bienes y servicios en muchos países del mundo.

8 Optimización: En matemáticas o programación matemática la optimización intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir la mejor entre un conjunto de soluciones posibles. En su forma más simple, el problema equivale un sistema de ecuaciones e inecuaciones lineales. Optimización: En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función objetiva, de tal forma que satisfagan un conjunto de condiciones dadas.

9 Universidad de Managua Curso de Programación Lineal Metodologías para la Solución de Problemas de Programación Lineal.

10 METODOLOGÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PL 1. Definición del problema Esto incluye: 1. determinar los objetivos apropiados 2. las restricciones sobre lo que se puede hacer 3. las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización 4. los diferentes cursos de acción posibles 5. los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.

11 2. Formulación de un modelo matemático La forma convencional en que PROGRAMACIÓN LINEAL realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.

12 3. Obtención de una solución a partir del modelo. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.

13 4. Prueba del modelo Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar 5. Validación del modelo Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de modelo se comporten de una manera factible.

14 6. Análisis de Sensibilidad Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

15 7. Implantación de la solución El paso final se inicia con el proceso de vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.

16 Fases de un Estudio PL FORMULACIÓN DEL PROBLEMA NECESIDAD DE REORGANIZACIÓN CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MODELO DEL SISTEMA REAL SISTEMA DE INTERÉS OBTENCIÓN DE DATOS TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y CONTROL SOLUCIÓN DEL MODELO INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS E IMPLICACIONES VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

17 Introducción a la Programación lineal El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima). Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas

18 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo.

19 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal es un método eficiente para determinar una decisión óptima entre un gran número de decisiones posibles Es impresionante el número y la diversidad de problemas en los que se puede aplicar.

20 Características de la problemas de programación lineal Proporcionalidad: las variables y la función objetivo deben ser lineales Aditividad: Es necesario que cada variable sea aditiva respecto a la variable objetivo

21 Características de la problemas de programación lineal Divisibilidad: las soluciones no deben ser necesariamente números enteros Optimalidad: La solución óptima (máximo o mínimo) debe ocurrir en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles

22 MODELO GENERAL DE PL Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Z =valor de la medida global de efectividad Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi =cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) aij =cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

23 Estructura de un modelo de PL 1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza. 2. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

24 Estructura de un Modelo de pl 3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc. 4. Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

25 Modelo general de PL Optimizar Z = n j 1 c j x j Sujeta a: n j 1 a ij x j b i i 1,2,..., m x 0 j 1,2,..., j n

26 Conjunto factible: Región del plano Cerrada (polígono) Abierta Cuál es la región factible x 0 y 0 del sistema x 5 x y 0 x 5 x 0 x 5 y 0 x-y 0 x y = 0 x y 0 x = 5

27 Conjunto factible(gráfica) Max z=2x +y sujeto 2x+y 480 2x+3y 600 x 0 y 0 Cuando un modelo de programación lineal se expresa en términos de dos variables puede resolverse con procedimientos gráficos.

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29 Conceptos clave: Conjunto factible: Es el conjunto de puntos que integran la región de resolución. Solución factible: Cada punto que integra la región (plana) que resuelve el problema. Solución óptima: Constituye la solución al problema de programación lineal.

30 Cuál es el objetivo de la solución gráfica? Encontrar (entre todos los puntos del conjunto factible) el punto o los puntos que optimicen la función objetivo.

31 Siguiente diapositiva De clic sobre cada imagen. Planteamiento Descarga del WinQsb Uso del WinQsb

32 Solución óptima Si la región factible es cerrada la solución óptima está en un vértice del polígono (cuando es única) o todo un lado del polígono (infinitas soluciones) Si la región factible es abierta, puede haber solución única (en un vértice), infinitas soluciones (todo un lado) o no tener solución

33 Número de soluciones de un problema de programación lineal Para un problema de minimización Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay mínimo

34 Para un problema de maximización Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay máximo

35 Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 Kg. de chocolate, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de chocolate, 1.5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Las utilidades de las cajas de tipo A y B son $3 y $3.50, respectivamente. Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus utilidades?

36 Un problema de máximos de programación lineal Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 Kg. de chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de chocolate, 1,5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13,50, respectivamente. Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus venta? La siguiente tabla resume los datos del problema Designando por x = nº de cajas de tipo A y = nº de cajas de tipo B Función objetivo z = f (x, y) = 13x y Con las restricciones: Caja tipo A Caja tip B Disponibles Chocolate Almendras Frutas Precio en euros que hay que maximizar 3x + 2y 500 (por el chocolate almacenado) x + 1.5y 100 (por la almendra almacenada) x + y 85 (por la fruta almacenada) x 0 y 0

37 3X1 + 2X2 500 X X2 100

38 En un primer paso representamos la región factible. En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible. R(0, 100/1,5) Finalmente evaluamos la función objetivo z = 13x + 13,50y en cada vértice, para obtener el máximo z(p) = ,50. 0 = 1105 z(q) = , = 1120 z(r) = , /1,5 = 900 Q(55, 30) P(85, 0)

39 Problema 2: Una compañía fábrica mesas y sillas. La fabricación de una mesa requiere 10 horas y la de una silla 5 horas. El número total de horas de trabajo disponibles por periodo es de 3200 horas. Aunque el tiempo ocioso y las horas extras son opciones aceptables. La compañía desea que el número total horas de trabajo se aproxime lo más posible a 3200 horas. Se utiliza una pieza de madera para fabricar una mesa y media pieza para una silla; durante el periodo se dispone de 300 piezas de madera y no es posible comprar más, la compañía desea utilizar lo más posible de esta reserva de madera durante cada periodo. La compañía fabrica mesas sobre pedidos y se ha comprometido a proveer 200 mesas durante un periodo dado. Cualquier mesa adicional que se produjera tendría que mantenerse en inventario, y la empresa desea minimizar el numero de mesas que mantenga en inventario. La demanda de sillas es incierta, pero se estima que será entre 200 y 250. la compañía desea fabricar sillas aproximándose lo mas posible a estas cifras. Las utilidades por mesas es de $30 y las de silla $15.

40 Problema 2: X1: # mesas X2: # sillas Max Z= 30X1 + 15X2 Sujeto a: 10X1 + 5X X X X X2 250

41 Un problema de mínimos de programación lineal Problema2: Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente 5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta al grupo Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, cuántos días deberá emitir con ese material cada una de la emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana? La siguiente tabla resume los datos del problema Emisora FM Emisora AM Disponibles Música rock Designando por Música clásica Información general x = nº de días de AM y = nº de días de FM Coste en euros Función objetivo z = f (x, y) = 5000x y que hemos de minimizar Con las restricciones: 12x + 5y 120 (por la música rock) 6x + 8y 180 (por la música clásica) 5x + 10y 100 (por la información general) x + y 7 (emitir al menos una semana) x 0 y 0

42 En un primer paso representamos la región factible. En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible. Finalmente evaluamos la función objetivo z = 5000x y en cada vértice, para obtener el mínimo. R(0, 10) S(0, 7) Q(7.37, 6.32) z(p) = = z(q) = = z(r) = = z(s) = = z(t) = = T(7, 0) P(10, 0)

43 Resumen Función objetivo Optimizar (maximizar o minimizar) z = a x + by sujeta a las siguientes restricciones a 1x + b 1 y d 1 a 2 x + b 2 y d a n x + b n y d n Solución posible: cualquier par de valores (x 1, y 1 ) que cumpla todas la restricciones. Al conjunto de soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible. Solución óptima: un par de valores (x 1, y 1 ), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo Un problema de programación lineal puede: Tener solución única Tener infinitas soluciones No tener solución

44 FIN INVESTIGACION DE OPERACIONES I JRVA