Facultad de Farmacia. Grado en Nutrición Humana y Dietética. Depto. de Estadística e Investigación Operativa ESTADÍSTICA

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1 Facultad de Farmacia Grado en Nutrición Humana y Dietética Depto. de Estadística e Investigación Operativa ESTADÍSTICA TEMA 6: Introducción a la Programación Lineal GRUPO C y E. Curso Profesor: Dr. Francisco Manuel Ocaña Peinado

2 Índice 1. Qué es la Programación Lineal (P.L.)? 2 2. Elementos de un Problema de P.L Ejemplo Definiciones Básicas 5 4. Método Gráfico para resolver Problemas de P.L Problema de óptimo único Problema con óptimos alternativos Problema no acotado Problema Infactible Formulación General de un Problema de P.L Ejemplo El Algoritmo del Simplex Problemas propuestos 14 1

3 1. Qué es la Programación Lineal (P.L.)? La programación lineal (P.L.) es una técnica cuantitativa aplicada ampliamente en sistemas u organizaciones donde se presentan relaciones lineales para utilizar recursos escasos de la mejor forma posible. En la definición de P.L. el término Programación, se refiere a que se van a planear actividades para obtener un resulatodo óptimo. En cuanto al término lineal, hace referencia a que todas las funciones del problema son lineales. El desarrollo de la P.L. es considerado entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX, y su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de euros a muchas empresas, incluyendo empresas medianas en los distintos países industrializados del mundo. Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipos de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar unos recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, de forma óptima). Por ejemplo, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Después, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es muy grande, y va desde la asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la selección de una cartera de inversiones, hasta el diseño de una terapia de radiación. El elemento común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas. En el ámbito de la nutrición y dietética, la P.L. resuelve un problema típico como es el denominado problema de la dieta. Este problema constituyó una de las primeras aplicaciones de la P.L. y comenzó a utilizarse en los hospitales para determinar la dieta más económica con la que alimentar a los pacientes a partir de unas especificaciones nutritivas mínimas. En la actualidad, también se aplica con éxito en el ámbito agrícola con la misma idea de encontrar la combinación óptima de alimentos que, logrando un aporte nutritivo mínimo, suponga el menor coste posible (veáse el texto de Hazell y Norton, Mathematical Programming for Economic Analysis in Agriculture. Mcmillan, New York, 1986.) 2. Elementos de un Problema de P.L. Un problema de P.L. es un problema de optimización donde se tiene: Una función lineal, denominada función objetivo, que se tratará de ma- 2

4 ximizar (ingresos, ganancias), o minimizar (costes). Se suele representar con la letra Z. Un conjunto de variables de las cuales depende la función objetivo, denominadas variables objetivo, que representan completamente las decisiones a tomar en el problema. Los valores de las variables de la función objetivo tienen que satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción es una desigualdad lineal. Hay una restricción de signo para cada variable de la función objetivo, lo cual significa que cada variable será no negativa (x i 0), o bien que x i podría ser sin restricción de signo. A continuación, se definen lo que se entiende por función lineal y desigualdad lineal. Una función de n variables f(x 1, x 2,..., x n ), es una función lineal en las variables x 1, x 2,..., x n si: f(x 1, x 2,..., x n ) = C 1 x 1 +C 2 x C n x n donde C 1, C 2,..., C n R. Si f(x 1, x 2,..., x n ) es una función lineal, y b R, entonces la desigualdad f(x 1, x 2,..., x n ) b y la desigualdad f(x 1, x 2,..., x n ) b se denominan desigualdades lineales. A continuación tomaremos el siguiente ejemplo para ilustrar las definiciones que hay arriba, y como modelo para plantear problemas de optimización Ejemplo Un nutricionista utiliza dos tipos de granos A y B, para elaborar un cereal natural que se vende por kilos. El eslogan que se utiliza en la venta es que cada 125 gramos de su cereal, tomados con leche entera, cubre las ncesidades alimenticias de un adulto en cuanto a proteínas e hidratos de carbono. El coste de cada tipo de grano y sus contenidos por kg. se reflejan en la siguiente tabla: GRANO COSTE POR KG PROTEÍNAS HIDRATOS CARBONO A B Los requisitos nutricionales mínimos por día de un adulto son de al menos 28 unidades de proteínas y de al menos 24 unidades de hidratos de carbono. Determine la combinación óptima de grano de tipo A y de tipo B en la elaboración del cereal natural que minimiza los costes. Identificamos los 4 elementos de los cuáles consta un problema de P.L.: 3

5 Variables y Función Objetivo: En nuestro caso el objetivo es minimizar costes. Dichos costes dependen de dos variables (variables objetivo): x 1 número de kilos de grano tipo A en el cereal natural. x 2 número de kilos de grano tipo B en el cereal natural. En cuanto a la función objetivo, Z, se tiene Z = 50x x 2, y como se dijo antes se desea minimizarla. Restricciones: Si se pudiera coger libremente cualquier valor de x 1 y de x 2, se tratarían de coger lo más pequeñas posibles para minimizar costes (menor cantidad, supone menor coste). En este caso x 1 y x 2 están limitadas por las siguientes dos resticciones: a) Restricción de proteínas. Los requisitos nutricionales mínimos por día de un adulto son de al menos 28 unidades de proteínas: Contenido prot. grano tipo A n o kgs grano tipo A + Contenido prot. grano tipo B n o kgs grano tipo B 28 por lo que la restricción sería por tanto: 7x 1 + 2x 2 28 b) Restricción de hidratos de carbono (H.C.). Los requisitos nutricionales mínimos por día de un adulto son de al menos 24 unidades de hidratos de carbono: Contenido H.C. grano tipo A n o kgs grano tipo A + Contenido H.C. grano tipo B n o kgs grano tipo B 24 por lo que la restricción sería por tanto: 2x x 2 24 Restricciones de signo: Es lógico pensar que en el contexto del problema es necesario incorporar en la formulación del problema que tanto x 1, como x 2 sean no negativas (son cantidades de grano, jamás podrían ser negativas), por lo que se tendrían como restricciones adicionales en el problema que: x 1 0, y que además x 2 0. La formulación del correspondiente problema de P.L. sería: Minimizar Z = 50x x 2 s.a. 7x 1 + 2x x x 2 24 En todo problema de P.L. (y por tanto en este también), hay implícitas además otras suposiciones adicionales, como por ejemplo la de divisibilidad, proporcionalidad y aditividad 4

6 Figura 1: Ejemplo de conjunto no convexo y convexo Divisibilidad: una variable de decisión puede tomar valores fraccionarios. Si un problema de P.L., debido a su naturaleza requiere que alguna/s o todas las variables de decisión tomen valores enteros no negativos se denomina problema de Programación Entera. 1 Proporcionalidad: La contribución de cada variable de decisión a la función objetivo es proporcional al valor de la variable de decisión. Aditividad: La contribución de cada variable de decisión a la función objetivo es independiente de los valores de las otras variables de decisión. 3. Definiciones Básicas Se introducen a continuación algunos conceptos clave en P.L., de cara a poder resolver problemas como el citado en el apartado 2.1. Conjunto Convexo: Se dice que un conjunto de puntos, S, es convexo, si el segemento rectilíneo que une cualquier pareja de puntos del conjunto S se encuentra completamente en dicho conjunto. En la Figura 1 se muestra un ejemplo Punto Extremo de un Conjunto Convexo: Se dice que un punot P, es un punto extremo de un conjunto convexo S, si para todo segmento rectilíneo que se encuentra completamente en S y que pasa por el punto P, se tiene que P es un extremo de dicho segmento. Región Factible, F, de un Problema de P.L.: Es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las restricciones y las restricciones de signo del Problema de P.L. En referencia a F, Se pueden demostrar además los dos siguientes resultados: i) Para cualquier problema de P.L. la región factible F, es un conjunto convexo. ii) La región factible F de un problema de P.L. tiene sólamente un número finito de puntos extremo. 1 Los métodos de Programación Entera quedan fuera del temario de la asignatura. 5

7 Solución Óptima de un Problema de P.L.: es un punto de F, tal que en él se alcanza el valor mínimo (si el problema es de minimizar), o máximo (si el problema es de maximizar) de la función objetivo. Se podría demostrar que El valor óptimo de la función objetivo (si existe), se alcanza siempre en un punto extremo de F. Este resultado es importante porque reduce el conjunto de puntos que producen una solución óptima de la región factible F (que es un conjunto infinito de puntos), a un conjunto de puntos extremo (que es un conjunto finito). La existencia o no de solución en un problema de P.L. viene dado por la naturaleza del problema (maximizar o minimizar), así como de las restrcciones que contiene el mismo. A la hora de resolver un problema de P.L., se podrá estar en una de estas cuatro situaciones: i) Problema con un óptimo único. ii) Problema con óptimos alternativos: se dará si hay más de una solución óptima, pero todas ellas con igual valor de la función objetivo. iii) Problema no acotado: si no se tiene un valor óptimo finito, es decir, si hay puntos de F con valores arbitrariamente grandes (en el caso de un problema de maximizar) o pequeños (en el caso de un problema de minimizar). iv) Problema infactible: si la región factible F es un conjunto vacío, es decir no hay soluciones posibles 4. Método Gráfico para resolver Problemas de P.L. El método que se detalla a continuación sólo puede usarse en el caso de tener problemas con dos variables de decisión, (x 1, x 2 ) R. Los pasos de dicho método son: 1. Plantear el problema en forma matemática: definir Z, las variables de decisión y las restricciones. 2. Representar gráficamente las restricciones. 3. Determinar la región factible F. 4. Representar gráficamente Z. 5. Determinar los puntos extremo de F. 6. Evaluar Z en cada punto extremo y elegir el óptimo. A continuación vemos cada uno de los cuatro casos posibles de problemas de P.L. descritos al final del apartado 3, a partir de tratar de reolver el problema con el método gráfico. 6

8 4.1. Problema de óptimo único Se toma como ejemplo el problema descrito en el apartado 2.1. Dicho problema era: Minimizar Z = 50x x 2 s.a. 7x 1 + 2x x x 2 24 Aplicando los pasos del método gráfico se tendría la situación descrita en la Figura 2 donde se tiene que: Figura 2: Restricciones, puntos extremo y F en el ejemplo de la dieta El segmento que une a los puntos A (x 1 = 0, x 2 = 14) y B (x 1 = 4, x 2 = 0) es la representación gráfica de la recta 7x 1 + 2x 2 = 28, relacionada con la restricción 7x 1 + 2x Téngase en cuenta que los puntos (x 1 = x 1, x 2 ) que cumplen con la restricción 7x 1 + 2x 2 28 son los que están por encima de la recta. El segmento que une a los puntos D (x 1 = 0, x 2 = 2) y E (x 1 = 12, x 2 = 0) es la representación gráfica de la recta 2x x 2 = 24, relacionada con la restricción 2x x Téngase en cuenta que los puntos (x 1, x 2 ) que cumplen con la restricción 2x x 2 24 son los que están por encima de la recta. La región representada en verde, es F, la Región Factible del problema, que se recuerda es el conjunto de puntos que verifica todas las desigualdades. Los puntos extremos de F son los puntos A, el punto C (x 1 = 3.6, x 2 = 1.4), que es el punto de corte de los dos rectas que quedan definidas a partir de las restricciones y finalmente el punto E. 7

9 Tal y como se dijo en el apartado 3, de existir el óptimo de la función objetivo, dicho óptimo se alcanzará en alguno de estos puntos extremo. Hallando el valor de la función objetivo Z, para cada uno de los tres puntos extremo, se tiene que: En el punto A (x 1 = 0, x 2 = 14), Z = 50x x 2 = 1400 En el punto C (x 1 = 3.6, x 2 = 1.4), Z = 50x x 2 = 320 En el punto E (x 1 = 12, x 2 = 0), Z = 50x x 2 = 600 Teniendo en cuenta que lo que se desea es minimizar la función objetivo, la solución óptima del problema se da para x 1 = 3.6 y x 2 = 1.4 Es decir que habría que poner en el cereal natural 3.6kg de grano tipo A y 1.4kg de grano tipo B. La región factible F de este problema es una región no acotada, por lo que si el problema hubiese sido por ejemplo de maximizar, en vez de minimizar, el problema hubiese sido un problema no acotado, dado que siempre sería posible encontrar puntos que maximizaran la función objetivo con valores de Z superiores a cualquier valor considerado. Veáse el apartado 4.3 para ilustrar lo que se entiende por este tipo de problema Problema con óptimos alternativos Considérese el siguiente problema de P.L. (ejemplo 2): Minimizar Z = 3x 1 6x 2 s.a. 5x 1 + 7x 2 35 x 1 + 2x 2 2 Aplicando el método gráfico de resolución se tendría la situación descrita en la Figura 3 donde se tiene que: El segmento que une a los puntos A (x 1 = 0, x 2 = 5) y B (x 1 = 7, x 2 = 0) es la representación gráfica de la recta 5x 1 + 7x 2 = 35, relacionada con la restricción 5x 1 + 7x Téngase en cuenta que los puntos (x 1 = x 1, x 2 ) que cumplen con la restricción x 1 + 2x 2 5 son los que están por debajo de dicha recta. El segmento que pasa por los puntos C (x 1 = , x 2 = ) y D (x 1 = 0, x 2 = 1) es la representación gráfica de la recta x 1 +x 2 = 2, relacionada con la restricción x 1 + 2x 2 2. Téngase en cuenta que los puntos (x 1, x 2 ) que cumplen con la restricción x 1 + 2x 2 2, son los que están por debajo de la recta. 8

10 Figura 3: Restricciones, puntos extremo y F en el ejemplo 2 La región representada en verde, es F, la Región Factible del problema, que es el conjunto de puntos que verifica todas las desigualdades. Los puntos extremos de F son los puntos O (x 1 = 0, x 2 = 0), el punto B, el punto C (punto de corte de las dos rectas) y el punto D. Tal y como se dijo en el apartado 3, de existir el óptimo de la función objetivo, dicho óptimo se alcanzará en alguno de estos puntos extremo. Hallando el valor de la función objetivo Z, para cada uno de los cuatro puntos extremo, se tiene que: En el punto O (x 1 = 0, x 2 = 0), Z = 3x 1 6x 2 = 0 En el punto B (x 1 = 1, x 2 = 0), Z = 3x 1 6x 2 = 21 En el punto C (x 1 = , x 2 = ), Z = 3x 1 6x 2 = 6 En el punto D (x 1 = 0, x 2 = 1), Z = 3x 1 6x 2 = 6 Teniendo en cuenta que lo que se desea es minmizar la función objetivo, la solución óptima del problema se da para los puntos C y D. Se podría demostrar que si dos puntos (en nuestro caso los puntos C y D) son óptimos, entonces cualquier punto del segmento rectilíneo que los une, también es óptimo Problema no acotado Considérese el siguiente problema de P.L. (ejemplo 3): Maximizar Z = 2x 1 + x 2 s.a. x 1 x x

11 Aplicando el método gráfico de resolución se tendría la situación descrita en la Figura 4 donde se tiene que: Figura 4: Restricciones, puntos extremo y F en el ejemplo 3 El segmento que une a los puntos A (x 1 = 10, x 2 = 0) y B (x 1 = 20, x 2 = 10) es la representación gráfica de la recta x 1 x 2 = 10, relacionada con la restricción x 1 x Téngase en cuenta que los puntos (x 1 = x 1, x 2 ) que cumplen con la restricción x 1 + 2x 2 5 son los que están a la izquierda y por encima de la recta. El segmento que une a los puntos C (x 1 = 20, x 2 = 0) y B (x 1 = 20, x 2 = 10) es la representación gráfica de la recta 2x 1 = 40, relacionada con la restricción 2x Téngase en cuenta que los puntos (x 1, x 2 ) que cumplen con la restricción x 1 + x 2 4 son los que están a la izquierda de dicha recta. La región representada en verde, es F, la Región Factible del problema, que es el conjunto de puntos que verifica todas las desigualdades. Los puntos extremos de F son los puntos O (x 1 = 0, x 2 = 0), el punto A y el punto B. La región factible F de este problema es una región no acotada, por lo que siendo el problema de maximizar, se denomina a este caso problema no acotado, ya que siempre es posible encontrar puntos en F que maximizan la función objetivo con valores superiores a cualquier valor considerado Problema Infactible Considérese el siguiente problema de P.L. (ejemplo 4): 10

12 Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2 s.a. 2x 1 + x 2 2 3x 1 + 4x 2 12 Aplicando el método gráfico de resolución se tendría la situación descrita en la Figura 5 donde se tiene que: Figura 5: Restricciones, puntos extremo y F en el ejemplo 4 El segmento que une a los puntos A (x 1 = 0, x 2 = 2) y B (x 1 = 1, x 2 = 0) es la representación gráfica de la recta 2x 1 + x 2 = 2, relacionada con la restricción 2x 1 + x 2 2. Téngase en cuenta que los puntos (x 1 = x 1, x 2 ) que cumplen con la restricción 2x 1 + x 2 2 son los que están por debajo de la recta. El segmento que une a los puntos C (x 1 = 0, x 2 = 3) y D (x 1 = 4, x 2 = 0) es la representación gráfica de la recta 3x 1 + 4x 2 = 12, relacionada con la restricción 3x 1 + 4x Téngase en cuenta que los puntos (x 1, x 2 ) que cumplen con la restricción 3x 1 + 4x 2 12 son los que están por encima de dicha recta. La Región Factible, F, en este caso no existe (se habla de que en un caso de este tipo F = ), dado que no hay puntos que satisfagan al mismo tiempo todas las restricciones del problema, por lo que se dice que el problema es infactible, es decir, que no tiene solución. 5. Formulación General de un Problema de P.L. La Programación Lineal es una técnica matemática de gran potencia debido, entre otras causas, a que es capaz encontrar los valores óptimos de las 11

13 variables objetivo, aún cuando el número de variables que se tengan en el problema sea superior a dos. Así un Problema de P.L. con n variables de decisión y m restricciones sería formulado de forma general como: Optimizar (Max. ó Min.) Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n s.a Ejemplo a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 11 x 1 + a 22 x a 2n x n b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x i 0 i = 1, 2,..., n Un dietista desea obtener la dieta de coste mínimo con unos determinados requisitos vitamínicos para un grupo de niños que va a asistir a un campamento de verano. El especialista estima que la dieta debe contener un máximo de 32 unidades de vitamina A, al menos 25 unidades de vitamina B, y 30 exactamente de C, y a lo sumo 14 de vitamina D. La tabla nos da la información acerca del número de unidades de las distintas vitaminas por unidad de alimento consumido para seis alimentos elegidos, denominados 1, 2, 3, 4, 5 y 6, así como su coste por unidad: Vitaminas Alimentos A B C D Coste por Unidad Se desea formular un problema de P.L. para conocer la cantidad de cada alimento que hay que preparar y que satisfaga los requisitos propuestos con coste mínimo. La formulación de este problema sería:. Minimizar la Función Objetivo Z dada por: Z = 10x x x x x x 6 Variables de decisión: x i cantidad del alimento i que usa en al dieta con i = 1, 2,..., 6. 12

14 Restriciones: x 1 + x 2 + 3x 4 + 2x 5 + x 6 32 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 + x 5 25 x 2 + 2x 3 + 2x 5 + 2x 6 = 30 x 1 + x 4 + 2x 5 + 2x 6 14 x i 0 i = 1, 2,..., 6 Por tanto la forumlación del problema es determinar (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) tal que: Min Z = 10x x x x x x 6 s.a. x 1 + x 2 + 3x 4 + 2x 5 + x 6 32 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 + x 5 25 x 2 + 2x 3 + 2x 5 + 2x 6 = 30 x 1 + x 4 + 2x 5 + 2x 6 14 x i 0 i = 1, 2,..., 6 La resolución de un problema de este tipo, en el cual hay más de dos variables de decisión, se llevaría a cabo utilizando la técnica matemática conocida con el nombre de Método o Algoritmo del Simplex, cuya aplicación de modo exahustivo sin medios informáticos escapa de los objetivos del tema. No obstante, se detallan en el siguiente apartado algunas ideas que utiliza dicho algortimo para resolver los problemas de P.L El Algoritmo del Simplex El algoritmo fue desarrollado por el norteamericano George Dantzig a partir de 1947 para resolver el problema surgido con la distribución de los recursos militares de los aliados finalizada la Segunda Guerra Mundial. Partiendo de un problema P.L. en forma de maximización, la esencia del método consiste en partir de un vértice inicial de la región factible, y si en dicho vértice la función objetivo no toma su máximo valor, Dantzig probó que existe al menos una arista con origen en ese punto, a lo largo del cual la función no disminuye su valor. En dicha arista encontraremos un nuevo vértice, en el cual si la función objetivo no toma su valor óptimo nos desplazaremos por la arista correspondiente hasta un nuevo vértice, y en número finito de pasos llegaremos a la solución óptima. La principal ventaja de uso del método es que no es necesario calcular todos los vértices de la región factible para determinar el óptimo, y además se pueden programar los pasos del algoritmo para ejecutarlos en un PC (aunque existen programas informáticos especifícos que aplican el algoritmo). 13

15 Como ya se dijo al final del apartado anterior, y debido a la fuerte carga de cálculo matricial que conlleva el algortimo, no se estudia la aplicación del mismo sin medios informáticos. De cara a resolver los problemas propuestos, y los que han sido resueltos a lo largo del curso, el alumno podrá, si está interesado, usar la siguiente dirección web en la que encontrará más información acerca del método simplex, así como una aplicación on-line para resolución de problemas de P.L., con el algoritmo del simplex y también con el método gráfico descrito en el apartado Problemas propuestos En este apartado se proponen al alumno resolver diferentes problemas mediante la aplicación del método gráfico. El recurso de la web puede servir como apoyo para plantear el problema y comprobar la solución obtenida. 1. Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = 3x 1 + 2x 2 s.a. 2x 1 + x x 1 + x 2 80 x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = 6x x 2 s.a. 5x 1 + 2x x 1 + 5x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Min. Z = 2x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 4 x 1 x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = 2x 1 + x 2 s.a. 2x 1 + 3x x 1 + x

16 5. Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Min. Z = 3x 1 2.5x 2 s.a. 2x 1 + 4x x 1 + 2x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Min. Z = 4x 1 + x 2 s.a. 3x 1 + x 2 = 6 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Min. Z = 2x 1 + x 2 s.a. x 1 + 2x 2 2 x 2 2 3x 1 + x 2 = 6 8. Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = x 1 + 3x 2 s.a. x 1 + x 2 2 x 1 + x 2 2 2x 1 + x 2 = 6 9. Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Min. Z = x 1 x 2 s.a. x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 6 4x 1 + x 2 = 4 15

17 10. Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = 6x x 2 s.a. x 1 + 2x x 1 2x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Min. Z = 40x x 2 s.a. x 1 8 x x 1 + 3x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = 3x 1 + 2x 2 s.a. 6x 1 + 4x x 1 + 3x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = 2x 1 + 3x 2 s.a. x 1 + x 2 3 x 1 2x Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = 4x 1 + 3x 2 s.a. x 1 + x 2 3 2x 1 x 2 3 x

18 15. Encontrar los valores de (x 1, x 2 ), tales que: Max. Z = 15x x 2 s.a. 2x 1 + x x 1 + x x Un nutricionista diseña dos menús para un hospital: uno que se denominará A, que es de mejor calidad que otro que se denominará B. El beneficio neto de venta es de 2 euros para el menú A, y de 1.5 euros para el menú B. El tiempo empleado en elaborar un menú de tipo A, es dos veces superior al empleado para el menú de tipo B, y si todos los menús elaborados fueran de tipo B, se podrían elaborar hasta un tope de 1000 diarios. El abastecimiento de alimentos es suficiente como para elaborar hasta 800 menús al día. Se puede elaborar cada día como máximo 400 menús de tipo A y 700 de tipo B. Formule un problema de P.L. para el nutricionista con el objetivo de maximizar beneficios, y resuelva mediante el método gráfico. 17. En una granja de pollos se administra una dieta para engordar con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 euros y el del tipo Y es de 3000 euros. Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? Formule un problema de P.L. para minimizar costes, y resuelva mediante el método gráfico. 17