Programación Lineal. Julio Yarasca. 13 de diciembre de 2015 CEPREUNI. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

Transcripción

1 Programación Lineal Julio Yarasca CEPREUNI 13 de diciembre de 2015 Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

2 Introducción Figura: George Dantzing Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

3 Conjunto Convexo Conjunto Convexo Un conjunto C R 2 es convexo si para cada par de puntos del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto. 1 C es convexo si dados dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 en C, entonces λx 1 + (1 λ)x 2 C para todo λ [0, 1]. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

4 Conjunto Convexo Conjunto Convexo Un conjunto C R 2 es convexo si para cada par de puntos del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto. C S x 2 x 2 x 1 x 1 Conjunto convexo Conjunto no convexo 1 1 C es convexo si dados dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 en C, entonces λx 1 + (1 λ)x 2 C para todo λ [0, 1]. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

5 Propiedades de los conjuntos convexos 1 Si S, T son conjuntos convexos, entonces S T es un conjunto convexo. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

6 Propiedades de los conjuntos convexos 1 Si S, T son conjuntos convexos, entonces S T es un conjunto convexo. 2 Si S 1, S 2,, S n son conjuntos convexos, entonces n S i := S 1 S 2 S n i=1 es un conjunto convexo. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

7 Unión? Veamos que la unión de dos conjuntos convexos no necesariamente es un conjunto convexo, sean los conjuntos A y B A B claramente convexos pero tenemos que la unión A B, no es un conjunto convexo. A B x 1 x 2 Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

8 Ejemplos Ejemplo: Semiplano El siguiente conjunto es un conjunto convexo S = { (x, y) R 2 / ax + by c } Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

9 Ejemplos Ejemplo: Semiplano El siguiente conjunto es un conjunto convexo S = { (x, y) R 2 / ax + by c } ax + by c Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

10 Ejemplo: Poliedro Sea U el conjunto solución del sistema de inecuaciones x + y 100 x + 4y 160 x + 2y 110 x 0 y 0 es un conjunto convexo. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

11 Problema de Programación lineal Un problema de programación lineal PPL (en dos variables) consiste en maximizar o minimizar (es decir, optimizar ) una función f (llamada función objetivo) de la forma z = f (x, y) = ax + by sujeta a las restricciones (s.a) y a 1 x + b 1 y c 1 a 2 x + b 2 y c 2 (1). a n x + b n y c n { x 0 (2) y 0 llamadas restricciones de vínculo y de no negatividad, respectivamente, al conjunto solución de (1) y (2) se le conoce como región admisible. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

12 Ejemplo Sea el PPL máx s.a Graque la región admisible. f (x, y) = 4x + y x + y 6 x + 2y 8 x 0 y 0 Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

13 Ejemplo Sea el PPL máx s.a Graque la región admisible. f (x, y) = 4x + y x + y 6 x + 2y 8 x 0 y 0 (0, 6) ( 4 3, 14 ) 3 región admisible (0, 0) (6, 0) Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

14 Puntos del conjunto admisible Una solución factible o admisible de un PPL, es todo par ordenado (x, y) que pertence a la región admisible. Una solución óptima de un PPL, es una solución factible que optimiza la función objetivo. Si (x 0, y 0 ) es una solución óptima de un PPL, f (x 0, y 0 ) es llamado valor óptimo. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

15 Teorema Teorema Fundamental de la Programación Lineal Si un PPL tiene valor óptimo, tal valor es alcanzado por lo menos en un vértice de la región admisible; y si este valor óptimo se alcanza en dos vértices A, B tal valor se logra en todo el segmento de extremos A y B. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

16 Teorema Teorema Fundamental de la Programación Lineal Si un PPL tiene valor óptimo, tal valor es alcanzado por lo menos en un vértice de la región admisible; y si este valor óptimo se alcanza en dos vértices A, B tal valor se logra en todo el segmento de extremos A y B. Este teorema nos brinda una herramienta para poder resolver los problemas de programación lineal. Método Analítico Consiste basicamente de dos pasos 1 Gracar la región admisible y encontrar los vertices. 2 Evaluar la función objetivo en cada vertice y encontrar cual maximiza o minimiza la función. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

17 Ejemplo Sea el PPL máx s.a f (x, y) = 4x + y x + y 100 x + 4y 160 x + 2y 110 x 0, y 0 Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

18 Ejemplo Sea el PPL La región admisible es máx s.a f (x, y) = 4x + y x + y 100 x + 4y 160 x + 2y 110 x 0, y 0 (0, 40) Region Admisible (60, 25) (90, 10) vértices (x, y) f(x,y)=4x+y (0; 0) 0 (0; 40) 40 (60; 25) 265 (90; 10) 360 (100; 0) 400 (0, 0) (100, 0) Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

19 Ejemplo Sea el PPL La región admisible es máx s.a f (x, y) = 4x + y x + y 100 x + 4y 160 x + 2y 110 x 0, y 0 (0, 40) Region Admisible (60, 25) (90, 10) vértices (x, y) f(x,y)=4x+y (0; 0) 0 (0; 40) 40 (60; 25) 265 (90; 10) 360 (100; 0) 400 (0, 0) (100, 0) Por lo tanto el máximo se obtiene en el punto (100, 0) Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

20 Región acotada Región admisible acotada Una región admisible es acotada si alrededor del origen existe una cirfunferencia que lo contenga. Sea el PPL máx s.a f (x, y) = 4x + y x + y 6 x + 2y 8 x 0 y 0 (0, 6) ( 4 3, 14 ) 3 Región admisible acotada (6, 0) (0, 0) Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

21 Sea el PPL máx s.a f (x, y) = 4x + y 4y x 32 x + 2y 12 x 0 y 0 (8,10) (0,6) Región admisible no acotada (0,0) Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

22 Teorema Teorema de representación En un PPL si la región admisible es no vacía entonces el conjunto de sus vértices es un conjunto no vacío y nito. Como cololario tenemos 1 En un PPL si la región admisible es acotada y no vacía, entonces el problema tiene solución. Propiedad Sobre cualquier región admisible tenemos máximo ax + by = mínimo (ax + by) Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

23 Método geométrico Sea el problema máx F (x, y) = ax + by sobre cualquier región admisible. 1 Gracamos la región admisible. 2 Gracamos la rectas ax + by = k y las movemos en la direción (a, b) tanto como sea posible. En caso de un problema de minimización las rectas las movemos tanto como sea posible en la direción ( a, b), es decir en la direción opuesta. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

24 Ejemplo Sea el problema máx s.a f (x, y) = x + 2y x 2y 10 x + 4y 10 x 0 y 0 Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

25 Ejemplo Sea el problema máx s.a Entonces la región admisible es: f (x, y) = x + 2y x 2y 10 x + 4y 10 x 0 y 0 (2, 6) (0, 5) región admisible (0, 0) (5, 0) Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

26 Gracamos las rectas x + 2y = z y la movemos hasta en la direción 2 (1, 2) tanto como sea posible. (2, 6) (1, 2) (0, 5) (0, 0) (5, 0) Por lo tanto la solución es el punto (2, 6) 2 En el caso de un problema de minimización es en la dirección opuesta. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

27 Otra forma 1 Gracamos la región admisible. 2 Gracamos la rectas con dirección ( b, a) que pasan por los puntos extremos 3. 3 Se observa en qué vértice la función objetivo se hace máxima (o mínima) solo teniendo en cuenta cuál de las rectas corta en un punto mayor (o menor) al eje y. 3 Es decir, sea (x0, y 0 ) una punto extremo, gracamos la recta ax + by = ax 0 + by o Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

28 Ejemplo En el problema anterior máx s.a f (x, y) = x + 2y x 2y 10 x + 4y 10 x 0 y 0 Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

29 Ejemplo En el problema anterior máx s.a f (x, y) = x + 2y x 2y 10 x + 4y 10 x 0 y 0 (0, 7) (2, 6) ( 2, 1) (0, 5) (0, 2,5) Por lo tanto la solución es (2, 6) (0, 0) (5, 0) Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

30 Bibliografía 1 Programación y ujos de redes, Mokhtar Bazaraa. 2 Que es la programación lineal, Barsov. 3 Técnicas de Cálculo para Sistemas de Ecuaciones, Programación Lineal y Programación Entera, Jose Luis de la Fuente O'Connor. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21

31 Bibliografía 1 Programación y ujos de redes, Mokhtar Bazaraa. 2 Que es la programación lineal, Barsov. 3 Técnicas de Cálculo para Sistemas de Ecuaciones, Programación Lineal y Programación Entera, Jose Luis de la Fuente O'Connor. Gracias por su tiempo. Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de / 21