INGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA

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1 INGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA

2 Sesión 4 Objetivos: Aplicar el método simplex a la solución de problemas reales. Contenido: Introducción al método Simplex Requerimiento del método Simplex Forma estándar del método Simplex Variable básica y no básica Variables de holgura y excedentes Forma Estándar y tabla Simplex Algoritmo simplex Variable de entrada y salida Pasos del Método Simplex Ejemplos Ejercicios

3 El método Simplex, debido a George Dantzig provee un sistema rápido y efectivo para resolver un PPL. Introducción El Método Simplex es un procedimiento de cálculo algebraico, iterativo, para resolver Modelos Lineales de cualquier tamaño.

4 El método Simplex es un algoritmo iterativo que permite mejorar la solución con cada paso sucesivo. El algoritmo termina cuando no se puede seguir mejorando mas la solución. Se parte de una solución básica inicial para la función Introducción objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore la anterior solución. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono de soluciones factibles o de las aristas de la región solución, si el número de variables es mayor. Como el numero de vértices y de lados o aristas es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

5 El algoritmo Simplex requiere que el Modelo Lineal, para ser solucionado, Requerimiento cumpla las condiciones de Forma Estándar.

6 a) Una Función Objetivo a optimizar (Maximización o Minimización), b) Todas las restricciones son ecuaciones ( =) con los Forma estándar del método Simplex lados derechos no negativos, en el caso del primal. Las restricciones del tipo o se convierten en ecuaciones sumando una variable de holgura (caso ) o restando una variable de exceso (caso ) en el lado izquierdo de la restricción. c) Variables de decisión no negativas, si son irrestrictas sustituir por xi xi, donde xi, xi >=0.

7 Variable básica y no Básica SOLUCIÓN BÁSICA: Una solución básica es aquella que es factible o se encuentra en uno de los vértices de la región solución. Con m ecuaciones y n variables una solución básica se determina haciendo n-m variables iguales a cero. En general existen n!/[m!(n-m)!] soluciones básicas posibles. VARIABLES NO BÁSICAS: Son las n -m variables que hemos hecho igual a cero. VARIABLES BÁSICAS: Son m variables restantes diferentes de cero. La solución básica será factible si todos los valores de las variables básicas son no negativos. Si alguna de las variables es negativa entonces la solución será infactible o no factible.

8 Una variable básica tiene coeficiente 1 positivo en una restricción y no existe en las demás. Variable básica y no Básica El Sistema Canónico en un Modelo Lineal significa que debe existir una variable básica en cada restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que satisface todas las restricciones.

9 Variables de holgura y excedente En términos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relación a un máximo disponible, o utilizado por encima de un mínimo disponible. Esto es así cuando la restricción es de un recurso disponible. Cuando la restricción es de una condición o requerimiento, representan la cantidad de esa condición o requerimiento que se obtiene por encima de un mínimo o que se deja de tener con relación a un máximo.

10 Max Z = cx Sujeto a : Ax = b Forma Estándar y Tabla Simplex x 0 b 0 Tabla Simplex es un resumen detallado de toda la información del modelo para trabajar más fácilmente con él.

11 El Método Simplex funciona, en forma general, de la siguiente forma: Calcula una solución posible inicial y determina sí esa solución es óptima. Si no lo es, se mueve a un punto extremo adyacente, en el conjunto Algoritmo Simplex convexo de soluciones posibles, y calcula la nueva solución en ese punto. De nuevo determina si esa solución es o no óptima; si no lo es, repite el proceso anterior. Así continúa sucesivamente hasta encontrar un punto extremo cuyo valor objetivo no pueda ser mejorado y allí concluye, determinando así que ha encontrado la solución óptima.

12 Condición de optimalidad: La variable de entrada en un problema de maximización (minimización) es Variable de Entrada y de Salida la variable no básica que tenga el coeficiente más negativo (más positivo) en el renglón de Z. Los empates se rompen de forma arbitraria. Se llega al óptimo en la iteración en la que todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón de z son no negativos (no positivos).

13 Condición de Factibilidad: En los problemas de maximización y Variable de Entrada y de Salida minimización, la variable de salida es la variable básica asociada a la mínima razón no negativa, con denominador estrictamente positivo. Los empates se rompen en forma arbitraria.

14 Paso 0: Determinar la solución básica factible de inicio. Paso 1: Seleccionar una variable de entrada aplicando la condición de optimalidad. Determinar si no hay variable Pasos del método Simplex de entrada, la última solución es la óptima. Paso 2: Seleccionar una variable de salida aplicando la condición de factibilidad. Paso 3: Determinar si la nueva solución básica con los cálculo adecuados de Gauss Jordan. Ir a paso 1

15 Ejemplos

16 Ejemplos

17 Ejercicios

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