MÉTODO SIMPLEX REVISADO O FORMA MATRICIAL

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Adrián Martínez Páez
hace 6 años
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1 MÉTODO SIMPLEX REVISADO O FORMA MATRICIAL Algoritmo del método simplex que mejora la eficiencia de los cálculos, se realizan los mismos pasos del método simplex visto, sólo se diferencia en la manera de determinar las variables entrante y saliente. Usa la representación matricial, por lo que sus cálculos requieren de conocimientos de operaciones matriciales. Tiene la ventaja que sólo se realizan los cálculos necesarios, es decir, en cada iteración se determinan los elementos necesarios para identificar las variables que entra y la que sale, sin obtener todos los elementos de la tabla. Max. Z=C X (A,I)=b X Donde: X=(x1,x2,,xn) T Vector columna formado por todas las variables incluyendo las variables de holgura, exceso y/o artificiales necesarias. C=(c1,c2,,cn) (A,I): Matriz de los coeficientes de las restricciones, colocando las variables básica de la solución inicial a la derecha en el orden necesario para que se forme la matriz identidad. b : Vector columna del lado derecho de las restricciones. Ejemplo: Forma Estándar Max. Z=c1x1+c2x2+x3+x4+x5 a11 x1+a12x2+x3 = b1 a21 x1+a22x2 +x4 = b2 a31 x1+a32x2 +x5 = b3 x1,x2,x3,x4,x5 Max. Z=(c1,c2,,,)(x1,x2,x3,x4,x5) T = (x1,x2,x3,x4,x5) T Se define: B: Base asociada a la solución básica. En la solución básica inicial B=I B -1 : Inversa de la base, en la solución inicial como B=I su inversa es B -1 =I. X B : Vector de las variables básicas actuales. X B =(x3, x4, x5) T C B : Coeficientes de la función objetivos de cada una de las variables básicas actuales. C B =(,, ) Pi: Cada uno de los vectores columnas de la matriz (A,I). i=1,2, n

2 Procedimiento Paso 1: Determinar el vector entrante, Pj, (asociado con la variable entrante) 1.- Cálculo de los valores duales: Y=C B B Para cada vector no básico Pj, calcular zj-cj =YPj-cj Si el problema es de maximizar (minimizar), se selecciona el vector entrante Pj que tenga el zj-cj más negativo (positivo). Los empates se rompen arbitrariamente. Entonces, si todos los zj-cj son positivos (negativos), se tendrá la solución óptima que está dada por: X B =B -1 b y Z=C B X B. Paso 2: Determinar el vector saliente, Pr (asociado con la variable que sale) 1.- Calcular los valores de las variables básicas. X B =B -1 b 2.- Calcular los coeficientes de las restricciones de la variable entrante. α j = B -1 Pj 3.- Calcular la razón mínima. El vector saliente Pr (maximizar o minimizar) está asociado con la razón mínima. =min, > Si todos los, el problema no tiene solución acotada. Paso 3: Determinar la base siguiente. Dada la base inversa anterior B -1, se puede encontrar la base inversa siguiente aplicando la forma producto para la matriz inversa. Procedimiento del cálculo matricial que permite obtener una nueva base a partir de la inversa de otra base, siempre y cuando sólo difieran en un vector columna. Este cálculo se ajusta al caso del método simplex, ya que las bases sucesivas de cada iteración difieren exactamente en una columna debido al cambio del vector saliente por el vector entrante. Forma producto para la matriz inversa. Dada la base inversa B -1, el vector de los coeficientes de la variable entrante α j, donde (α j ) r es el elemento asociado con la variable que sale (obtenida de θ). = 1.- Se construye un vector columna ε, de la siguiente forma: = Se Construye la matriz E. Usando vectores columna unitarios e i, que tienen un 1 en la posición i y cero en las demás posiciones. E=(e 1, e 2,, e r-1, ε, e r+1,,, e m ) 3.- Se calcula la inversa siguiente: B -1 sig=eb Haga B -1 = B -1 sig ir al paso 1.

3 Ejemplo: Max. Z=2x1+3x2 x1 + 3 x2 6 3 x1 + 2 x2 6 x1,x2 Forma Estándar Max. Z=2 x1+ 3 x2+x3+x4 x1+ 3 x2+x3 = 6 3 x1+ 2 x2 +x4 = 6 x1,x2,x3,x4 Max. Z=(2,3,,)(x1,x2,x3,x4) T = (x1,x2,x3,x4) T Iteración 1 X B =(x3, x4) T y C B =(, ) 1.- = = 1 1 = 2.- zj-cj para los vectores no básicos P1,P = = = 2 3= 2 3 z2-c2 =-3 es el más negativo, por lo tanto P2 es el vector entrante. 1.- = = = Coeficientes de las restricciones de la variable de entrada x2. = 2= =3 2 =min 6 3,6 2 =min 2,3 =2 P3,P4 El vector que sale es P3, r= Construir ε. = Construir E. = Calculo de B -1 sig. = = = =.= Iteración 2 X B =(x2, x4) T y C B =(3, ) 1.- = = = 1

4 2.- zj-cj para los vectores no básicos P1,P = = =1 1 2 = 1 1 z1-c1 =-1 es el más negativo, por lo tanto P1 es el vector entrante. 1.- = = =2 2 = 1= = =min 2 1 3, 2 73 =min6,6 7 =6 7 P2,P4 El vector que sale es P4, r= Construir ε. = = Construir E. = Calculo de B-1 sig. = = = =.= Iteración 3 X B =(x2, x1) T y C B =(3, 2) 1.- = = = zj-cj para los vectores no básicos P1,P = = =57 37 =57 37 Todos son positivos por lo tanto es la solución óptimo. = 2 1 = = = = = =36+12 = Solución: x1=6/7; x2=12/7; z=48/7

5 Ejemplo: Variables artificiales. Max. Z=x1+x2 x1 + 2 x2 6 2 x1 + x2 9 x1,x2 Técnica M Forma Estándar Max. Z= x1+ x2+x3+x4 Mx5 x1 + 2 x2 + x4 = 6 2 x1 + x2 -x3 + x5 = 9 x1,x2,x3,x4,x5 Max. Z=(1,1,,,-M)(x1,x2,x3,x4,x5) T = (x1,x2,x3,x4,x5) T Solución inicial = 4 5 = = =6 9 = = 6 9 = 9 Iteración 1 X B =(x4, x5) T y C B =(, -M) 1.- = = 1 1 = 2.- zj-cj para los vectores no básicos P1,P2,P = = = = Z1-c1 = -2M-1 es el más negativo, por lo tanto P1 es el vector entrante. 1.- = = =6 9 = 1= =1 2 =min 6 1,9 2,=min 6,4.5 =4.5 P4,P5 El vector que sale es P5, r=2.

6 1.- Construir ε. = Construir E. = Calculo de B -1 sig. = = = =.= Iteración 3 X B =(x4, x1) T y C B =(, 1) 1.- = = = zj-cj para los vectores no básicos P2,P3, P = = = = = z2-c2 = z3-c3= 1 2 se rompe arbitrariamente el empate, se elige P3 como vector entrante. 1.- = = = = 3= = =min 3 2, =min3 =3 12 P4, P1 El vector que sale es P4, r= Construir ε. = Construir E. = Calculo de B -1 sig. = = = =.= 2 1 1

7 Iteración 4 X B =(x3, x1) T y C B =(, 1) 1.- = = = zj-cj para los vectores no básicos P2,P4, P = = =2 1 1 =1 1 Todos son positivos, este es el óptimo. Solución óptima. = 3 1 = = =3 6 = = =6 x1=6;x2=; z=6. Técnica de dos Fases Fase I: Forma Estándar Min. r= x5 x1 + 2 x2 + x4 = 6 2 x1 + x2 -x3 + x5 = 9 x1,x2,x3,x4,x5 Min. r=(,,,,1)(x1,x2,x3,x4,x5) T = (x1,x2,x3,x4,x5) T Solución inicial = 4 5 = = =6 9 = = =9 Iteración 1 X B =(x4, x5) T y C B =(, 1) 1.- = = = zj-cj para los vectores no básicos P1,P2,P = = =2 1 1 =2 1 1 z1-c1 = 2 es el más positivo, por lo tanto P1 es el vector entrante.

8 1.- = = =6 9 = 1= =1 2 =min 6 1,9 2,=min 6,4,5 =4,5 P4,P5 El vector que sale es P5, r= Construir ε. = Construir E. = Calculo de B -1 sig. = = = =.= Iteración 2 X B =(x4, x1) T y C B =(, ) 1.- = = = 2.- zj-cj para los vectores no básicos P2,P3, P = = = 1= 1 No hay positivos, por lo tanto es óptimo. Solución óptima. = 4 1 = = = = = = Como la solución de la primera fase es cero, indica que se tiene solución factible, por lo tanto se pasa a la fase II. Fase II. Retomando la función objetivo del problema. Max. z = x1 +x2 y eliminando la variable artificial x 5 porque es No Básica, tenemos la siguiente solución. = 4 1 = = =3 2 92

9 = = =9 2 Iteración 3 X B =(x4, x1) T y C B =(, 1) 1.- = = = zj-cj para los vectores no básicos P2,P = = = = z2-c2=z3-c3= 1 2 Se rompe el empate arbitrariamente, se selecciona P3 como vector entrante. 1.- = = = = 3= = =min 3 2, =min3 =3 12 P4, P1 El vector que sale es P4, r= Construir ε. = Construir E. = Calculo de B -1 sig. = = = =.= Iteración 4 X B =(x3, x1) T y C B =(, 1) 1.- = = = zj-cj para los vectores no básicos P2,P = = =2 1 1 =1 1 Todos son positivos, este es el óptimo. Solución óptima. = 3 1 = = =3 6 ; = = =6

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