Kg P1 Kg P Unidades Vitamina A

Transcripción

1 Dualidad El concepto de dualidad desempeña importantes papeles dentro de la programación lineal (también en la no lineal), tanto desde un punto de vista teórico como práctico. Todo programa lineal lleva asociado otro programa lineal conocido como su programa dual; el programa inicial se conoce también como programa primal. Para comprender el concepto de dualidad y sus posibles interpretaciones, pueden analizarse los siguientes ejemplos. Ejemplo primal: Una granja utiliza dos preparados alimentícios (P1 y P2) para la cría del ganado. El coste por kilogramo de esos dos preparados es de 2 unidades monetarias y 3 unidades monetarias respectivamente. Por otra parte, los aportes vitamínicos de cada kilo de los preparados se expresan en la siguiente tabla: Unidades Vitamina A Unidades Vitamina B Unidades Vitamina C Kg P1 Kg P2 de 5 3 de de Los expertos en nutrición animal recomiendan que cada animal reciba al menos las siguientes unidades diarias de cada una de las vitaminas: Unidades diarias de Vitamina A Unidades diarias de Vitamina B Unidades diarias de Vitamina C El objetivo de los responsables de la granja es decidir las cantidades diarias de cada uno de los dos preparados que deben suministrarse a cada animal, de forma que, por un lado se cumplan las recomendaciones de los dietistas, y por otro se minimizen los costes de alimentación del ganado. Dicho objetivo supone resolver el siguiente programa lineal: min 2x1+3x2 5x1+3x2 >= x1+3x2 >= 15 x1+1.3x2 >= 8 x1,x2 >= 0

2 donde x1 y x2 representan las cantidades diarias, en kilos, suministradas a cada animal de los preparados P1 y P2 respectivamente. El mínimo del problema anterior se alcanza sobre el punto: x1 = x2 = siendo por tanto el coste mínimo de unidades monetarias por animal y día. Ejemplo dual: Piénsese ahora en una empresa de productos alimentícios para ganado, que desea suministrar a la granja del ejemplo anterior tres tipos de pastillas vitamínicas. Esta empresa debe convencer a los responsables de la granja para que aporten las vitaminas que el ganado necesita mediante sus pastillas, y no mediante los preparados que hasta ahora utilizaban. Para ello el precio de venta de las pastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1 y P2. Sean z1, z2 y z3 los precios por unidad de las vitaminas A, B y C respectivamente. El objetivo de la empresa es fijar unos precios que consigan maximizar sus beneficios pero que además resulten atractivos para los responsables de la granja. Cada kilogramo del preparado P1 aportaba 5 unidades de vitamina A, 1.5 unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 5z1+1.5z2+z3. A la granja no le resultarían rentables las pastillas a no ser que 5z1+1.5z2+z3 <= 2 De la misma forma, otra restricción que debería plantearse la empresa es: 3z1+3z2+1.3z3 <= 2 Por supuesto, los precios de las pastillas vitamínicas deben ser positivos, por tanto se tienen además las restricciones z1,z2,z3 >= 0 Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas, comprarán justamente las necesarias para aportar las necesidades mínimas del ganado de cada una de las vitaminas. Es decir, por cada animal y día se comprarían 20 unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 8 de vitamina C. Por tanto los ingresos de la empresa por la venta de las pastillas serían de V(z1,z2,z3) = 20z1+15z2+8z3 por animal y día. Para establecer los precios, la empresa debería plantearse el programa lineal

3 max 20z1+15z2+8z3 5z1+1.5z2+z3 <= 2 3z1+3z2+1.3z3 <= 3 z1,z2,z3 >= 0 La solución de dicho programa se alcanza sobre el punto z1 = 0 z2 = z3 = siendo entonces el valor máximo V(0,0.381,1.428) = unidades monetarias. Observar como uno de los precios ha resultado ser nulo. Esto significa que la granja con los preparados P1 y P2 solo debe preocuparse de aportar al ganado las unidades necesarias de vitaminas B y C, ya que con ello conseguiría también la aportación necesaria de vitamina A. Es la razón por la cual la granja no necesita comprar unidades adicionales de vitamina A. En estos dos ejemplos se observa una relación interesante entre los problemas primal y dual. Como puede observarse: Uno de ellos es de minimización, el otro en cambio es de maximización. Los coeficientes en la función objetivo y los elementos de la derecha de las restricciones, intercambian su papel. La matriz de coeficientes en las restricciones del problema dual es la traspuesta de la del problema primal. Las restricciones del problema primal son de tipo >=, en cambio en el dual son de tipo <=. Cada restricción en el problema primal se corresponde con una variable en el dual. El punto óptimo del programa dual se corresponde con las variables duales (multiplicadores de Kuhn-Tucker) del programa primal. Otro aspecto importante es que, aunque el punto óptimo es diferente, los valores óptimos de los dos problemas son los mismos. La resolución del programa dual puede interpretarse como la asignación a cada recurso de un precio o valor, que coincide con el incremento que provoca en el valor óptimo del problema primal un aumento de una unidad en el recurso. La construcción realizada en los ejemplos anteriores puede generalizarse para cualquier programa lineal: Definición:

4 Dado un programa lineal de la forma min cx Ax >= b x >= 0 su programa dual es max b'z A'z <= c' z >= 0 Donde A', b' y c' son los traspuestos de A, b y c respectivamente. En esta definición no es necesario que todos los elementos del vector b sean mayores o iguales que cero. Pero no solamente pueden construirse los programas duales para programas de la forma anterior; en general se puede para cualquier programa lineal (también hay una teoría de dualidad para programas no lineales), pero teniendo en cuenta lo siguiente: Una restricción de igualdad en el programa primal hace que la correspondiente variable dual pueda tener cualquier signo. En cambio, una restricción de desigualdad del tipo >= en el primal implica que la variable dual sea mayor o igual que cero. Si las variables del primal son mayores o iguales que cero, las restricciones del dual son del tipo <=. Cuando las variables del primal no están sometidas a ninguna limitación sobre su signo, las restricciones del dual son de igualdad. Ejemplo: Programa primal min x1+x2-x3 2x1+x2 >= 3 x1-x3 = 2 x3 >= 0 Programa dual max 3z1+2z2 2z1+z2 = 1 z1 = 1 -z2 <= -1 z1 >= 0 La importancia del programa dual queda de manifiesto en el siguiente resultado.

5 Teorema fundamental de dualidad: Dado un programa P y su dual D, se cumple necesariamente una de las siguientes afirmaciones: Los dos programas tienen soluciones óptimas y los valores de sus respectivas funciones objetivo en el óptimo coinciden. Uno de los programas tiene óptimo no acotado y el otro no tiene ninguna solución factible. Los dos programas son infactibles (no tienen soluciones factibles). A partir de este teorema se puede deducir el valor óptimo de un programa lineal, o si dicho programa es factible, analizando la forma de su programa dual. En algunos casos el estudio del programa dual puede resultar más sencillo que el del primal. Sitio web: Teoría de la Dualidad. Asociada a cualquier estructura canónica de programación lineal Que se denomina el problema primario, se define la siguiente estructura (D 1 ) Min G = b T Y Que se denomina el problema Dual. Al siguiente tabla proporciona la descripción de cada uno de los elementos del problema primario y dual. Problema Elemento Dimensión Característica Primario X c Vector columna con n componentes. Vector renglón con n componentes. Vector de variables de actividad primaria Vector de precios unitarios

6 b A Vector columna con m componentes. Matriz de m por n. primarios Vector de disponibilidad de recursos primarios Matriz de coeficientes tecnológicos Z Escalar. Función objetiva primaria 0 Vector columna con n ceros Y Vector columna con m componentes Vector de variables de actividades duales c T Transpuesta del vector c Vector de disponibilidad de recursos duales Dual b T Transpuesta del vector b Vector de precios unitarios duales A T Transpuesta de la matriz A Matriz de coeficientes tecnológicos G Escalar Función objetiva dual. 0 Vector columna con m ceros A continuación se listan algunas formas de dualidad. Forma 2. Dado el problema primario (P 2 ) su dual es (D 2 )

7 Prueba. El problema primario (P 2 ) puede escribirse como Máx -Z = -cx Y aplicando la definición de dualidad se tiene Que es equivalente a Máx G = b T Y Ejemplo: Sea el programa primario Máx Z = 3 X 1 +5X 2

8 Se comprueba que el dual es La forma del primario es Máx Z = cx Cuya forma del dual correspondiente (D 1 ) es Min G = b T Y Como (D 2 ) Ejecutando las operaciones matriciales indicadas en (D 2 ) se obtiene la forma dual deseada. Sitio web:

9 El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. El método símplex además de resolver un problema de PL llegando a una solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones. La dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método. En la mayoría de los procedimiento de PL, el dual se define para varias formas del primal, dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de las variables y del sentido de la optimización. La experiencia nos indica que en ocasiones, los principiantes se confunden con los detalles de esas definiciones. Más importante aún es que el uso de esas definiciones múltiples puede conducir a interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla símplex, sobre todo en lo que respecta a los signos de las variables. El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal, llamado precisamente dual. La relación entre el problema dual y su asociado, es decir el problema original llamado primal, presenta varias utilidades: Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresión de la PL. El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas de PL, por ejemplo: más restricciones que variables. El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los análisis marginales están siempre involucrados implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de PL. La forma estándar general del primal se defina como; para maximizar o minimizar. sujeto a;

10 Cómo convertir un problema primal a dual? Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma: 1. Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización y viceversa. 2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual. 3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual. 4. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual. 5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. 6. Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual. PROBLEMA PRIMAL EN FORMA CANONICA: MAX Z= CX : AX b X 0 PROBLEMA DUAL EN FORMA MIN Z= BY : AY C Y 0 Ejemplo. Si el problema primal es: MAX Z= 45X1 + 17X2 + 55X3 : X1 + X2 + X3 200

11 9X1 + 8X2 + 10X X1+ 7X X Xj 0 El problema dual será: MIN Z= 200Y Y Y3 : Y1 + 9Y2 + 10Y3 45 Y1 + 8Y2 + 7Y3 17 Y1 + 10Y2 + 21Y3 55 Yj 0 FORMA DE PRESENTAR EL PROBLEMA DUAL MIN = 2X1-3X2 : X1,2 0 1X1 + 2X2 12 4X1-2X2 3 6X1-1X2 = Llevar el problema a su equivalente de maximización, multiplicando la función objetivo por 1: MAX -2X1 + 3X2 2. Convertir las restricciones en una restricción equivalente multiplicando por 1 ambos lados: -4x1 + 2x Para las restricciones de igualdad, obtener 2 restricciones de desigualdad, una de forma y la otra de forma ; después regresar al punto anterior y cambiar la restricción a la forma : 6X1 1X2 10

12 6X1 1X2 10 6X1 1X2 10-6X1 + 1X2-10 Así el problema primal se ha replanteado en la forma equivalente: MAX Z= -2X1 + 3X2 : 1X1 + 2X2 12-4X1 + 2X2-3 6X1 1X2 10-6X1 + 1X2-10 X1, Teniendo el problema primal convertido a la forma canónica de un problema de maximización, es fácil llevarlo al problema dual: MIN 12Y1 3Y2 + 10Y3 : Y1 4Y2 + 6Y3 6Y3-2 restricción 2Y1 + 2Y2 1Y3 + 1Y3 3 Y 3 y Y 3 ambas se refieren a la tercera del problema primal. Y1, 2, 3, 3 0 Sitio web: