Optimización y Programación Lineal
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- Alejandra Montes de la Cruz
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1 Optimización y Programación Lineal Método Simplex: Minimización 3 de enero de Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de / 4
2 Minimización Minimización En la definición del Simplex, éste se vió para maximizar un PL. Es fácil utilizarlo para minimizar. Existen dos estrategias posibles. Cambiar la función objetivo z por z y utilizar el Simplex sin modificación. Min z = f (x) Max w = f (x) Modificar la estrategia de selección de la variable entrante: aquélla con el coeficiente negativo más grande, por: aquélla con el coeficiente positivo más grande. En este caso, se corresponde con aquella variable con el factor de disminución más grande. Para determinar la variable básica saliente se sigue el mismo proceso que en el Simplex de maximización. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de / 4
3 Ejemplo Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia : Minimice z = 3 x + 8 x sujeto a con x, x. 4 x + x 3 x + 3 x 6 Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 3 / 4
4 Ejemplo Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia : Minimice z = 3 x + 8 x sujeto a con x, x. Solución La forma estándar queda: 4 x + x 3 x + 3 x 6 sujeto a con x, x, s, s. Maximice w = z = ( 3 x + 8 x ) 4 x + x + s = 3 x + 3 x + s = 6 Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 3 / 4
5 Ejemplo La versión matricial de Maximice w = z = ( 3 x + 8 x ) sujeto a 4 x + x + s = 3 x + 3 x + s = 6 con x, x, s, s, queda: w x x s s RHS VB 3 8 w 4 3 s 3 6 s la ventaja de tener los lados derechos mayores o iguales que cero y desigualdades del tipo es que tenemos una SBF: w =, s = 3, s = 6, x = y x =. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 4 / 4
6 Ejemplo Revisando la Tabla Simplex w x x s s RHS VB 3 8 w 4 3 s 3 6 s observamos que en el renglón cero hay una variable no básica (x ) con coeficiente negativo ( 3): esto indica que si se aumenta el valor de x, entonces el valor de w aumentará: por consiguiente la solución básica factible que se tiene no es óptima. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 5 / 4
7 Ejemplo Revisando la Tabla Simplex w x x s s RHS VB 3 8 w 4 3 s 3 6 s observamos que en el renglón cero hay una variable no básica (x ) con coeficiente negativo ( 3): esto indica que si se aumenta el valor de x, entonces el valor de w aumentará: por consiguiente la solución básica factible que se tiene no es óptima. Escogemos la variable no básica que tiene el coeficiente negativo mayor en el renglón cero (En caso de empate, podemos romperlo escogiendo la más a la izquierda). En nuestro caso x es la variable no básica entrante. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 5 / 4
8 Ejemplo Nuestra meta es subir el valor de x lo más posible conservando una SBF. Para ello debemos escoger cual es la variable básica a salir. Revisando la Tabla Simplex w x x s s RHS VB 3 8 w 4 3 s 3/4 3 6 s 3 siendo x variable no básica (x = ), vemos que los renglones y representan: 4 x + s = s = 3 4 x x + s = 6 s = 6 x Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 6 / 4
9 Ejemplo Nuestra meta es subir el valor de x lo más posible conservando una SBF. Para ello debemos escoger cual es la variable básica a salir. Revisando la Tabla Simplex w x x s s RHS VB 3 8 w 4 3 s 3/4 3 6 s 3 siendo x variable no básica (x = ), vemos que los renglones y representan: 4 x + s = s = 3 4 x x + s = 6 s = 6 x Por tanto, de la primera relación se tiene que x puede subir hasta 3.5 = 3/4 mientras que de la segunda vemos que x puede subir hasta 3 = 6/. Elegimos subir x hasta 3 lo que hará que s valga. s es la variable básica saliente. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 6 / 4
10 Ejemplo Para cambiar la variable básica s por la variable no básica x hacemos sobre la Tabla Simplex w x x s s RHS VB 3 8 w 4 3 s 3 6 s las operaciones:.- R 3 R 3,.- R R 3 R 3, 3.- R R 4 R 3 para obtener: Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 7 / 4
11 Ejemplo Para cambiar la variable básica s por la variable no básica x hacemos sobre la Tabla Simplex w x x s s RHS VB 3 8 w 4 3 s 3 6 s las operaciones:.- R 3 R 3,.- R R 3 R 3, 3.- R R 4 R 3 para obtener: w x x s s RHS VB w 5 s 3 3 x La cual representa la SBF w = 9, x = 3, x =, s =, s =. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 7 / 4
12 Ejemplo Al revisar la Tabla del Simplex: w x x s s RHS VB w 5 s 3 3 x observamos que las variables no básicas tienen coeficiente positivo en el renglón cero: es decir, que aumentando su valor harían que w disminuyera. Por tanto, la SBF es óptima. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 8 / 4
13 Ejemplo Al revisar la Tabla del Simplex: w x x s s RHS VB w 5 s 3 3 x observamos que las variables no básicas tienen coeficiente positivo en el renglón cero: es decir, que aumentando su valor harían que w disminuyera. Por tanto, la SBF es óptima. La regla es que: si las variables no básicas tienen coeficiente positivo en el renglón cero de la tabla Simplex, entonces la SBF actual es óptima (En problemas de maximización) Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 8 / 4
14 Ejemplo Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia : Minimice z = x 3 x sujeto a con x, x. x + x 5 x + x Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 9 / 4
15 Ejemplo Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia : Minimice z = x 3 x sujeto a con x, x. Solución La forma estándar queda: x + x 5 x + x sujeto a con x, x, s, s. Minimice z = x 3 x x + x + s = 5 x + x + s = Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 9 / 4
16 Ejemplo La versión matricial de Minimice z = x 3 x sujeto a x + x + s = 5 x + x + s = con x, x, s, s, queda: z x x s s RHS VB 3 z 5 s s la ventaja de tener los lados derechos mayores o iguales que cero y desigualdades del tipo es que tenemos una SBF: z =, s = 5, s =, x = y x =. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de / 4
17 Ejemplo De la matriz z x x s s RHS VB 3 z 5 s s 5 = 5/ = / deducimos que: La variable no básica entrante es x (La variable no-básica con el coeficiente positivo más grande (3) en el renglón cero, en el caso de minimización). Y que la variable básica saliente es s (La variable básica que impone una mayor restricción al crecimiento de la variable entrante: la deja crecer sólo hasta ). Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de / 4
18 Ejemplo Para cambiar la variable básica s por la variable no básica x hacemos sobre la Tabla Simplex z x x s s RHS VB 3 z 5 s s las operaciones:.- R 3 R 3,.- R R R 3, 3.- R R R 3 para obtener: Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de / 4
19 Ejemplo Para cambiar la variable básica s por la variable no básica x hacemos sobre la Tabla Simplex z x x s s RHS VB 3 z 5 s s las operaciones:.- R 3 R 3,.- R R R 3, 3.- R R R 3 para obtener: z x x s s RHS VB 3 3 z 5 s x La cual representa la SBF z = 3, x =, x =, s = 5, s =. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de / 4
20 Ejemplo De la matriz z x x s s RHS VB 3 3 z 5 s x = 5/(/) = /(/) deducimos que la variable no básica entrante es x y que la variable básica saliente es s. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 3 / 4
21 Ejemplo Para cambiar la variable básica s por la variable no básica x hacemos sobre la Tabla Simplex z x x s s RHS VB 3 3 z 5 s x las operaciones:.- R R,.- R R / R 3, 3.- R 3 R 3 / R 3 para obtener: Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 4 / 4
22 Ejemplo Para cambiar la variable básica s por la variable no básica x hacemos sobre la Tabla Simplex z x x s s RHS VB 3 3 z 5 s x las operaciones:.- R R,.- R R / R 3, 3.- R 3 R 3 / R 3 para obtener: z x x s s RHS VB 35 z x 5 x La cual representa la SBF z = 35, x =, x = 5, s =, s =. La cual es óptima. Método Simplex: Minimización () Optimización y Programación Lineal 3 de enero de 4 / 4
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