La programación lineal surge como la necesidad de optimizar lo mejor posible,

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Silvia Figueroa Quintana
hace 6 años
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1 Programación lineal La programación lineal surge como la necesidad de optimizar lo mejor posible, operaciones principalmente económicas para así maximizar los beneficios obtenidos. Esto se realiza con la optimización de una función llamada objetivo aplicándole las diversas restricciones que pueda tener. Historia En el siglo XVIII el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier empezó a resolver de forma un poco intuitiva sistemas de inecuaciones mediante lo que en un futuro sería la programación lineal. Años más tarde, en 1939, el matemático ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitch desarrolló una monografía llamada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez, se crea una teoría matemática definida con la que resolver un amplio abanico de problemas. Sin embargo, no fue hasta después de la Segunda Guerra Mundial, en 1947, cuando el matemático George Dantzig postuló el denominado algoritmo Simplex en el que se basa la programación lineal. Esto se creó junto a investigadores de los Estados Unidos para resolver problemas de índole militar aunque poco a poco fue evolucionando a aplicaciones económicas.

2 Resolución de inecuaciones lineales con 2 variables Una inecuación lineales con 2 variables tiene la siguiente forma: ax + by < c Donde a y b son números reales cualesquiera y el símbolo < puede ser > o bien,. Para resolver esta inecuación, representamos en primer lugar la ecuación: ax + by = c Ejemplo: 5x + 10y > 25 5x + 10y = 25 Ahora bien, esta recta divide el plano en dos zonas, pero sólo una es la solución de la inecuación. Para conseguir esta solución basta con tomar un punto cualquiera del plano que no esté en la recta y comprobarlo en la inecuación.

Ejemplo: En la anterior inecuación 5x + 10y > 25 Cogemos el punto (2,2) por lo que resolvemos la inecuación: 5

3 Ejemplo: En la anterior inecuación 5x + 10y > 25 Cogemos el punto (2,2) por lo que resolvemos la inecuación: > > > 25 Vemos que se cumple por lo que toda esa región del plano cumple la inecuación

Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables Al igual que el caso anterior, consiste en resolver cada inecuación del sistema por separado y

4 Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables Al igual que el caso anterior, consiste en resolver cada inecuación del sistema por separado y comprobar qué región cumple las tres inecuaciones. Ejemplo: 5x + 10y > 25 { 7x + 2y 15 6x + 4x < 23 Y esta es la parte que cumplen las tres ecuaciones:

5 Resolución de problemas de optimización Ahora bien, esto es necesario aplicarlo a la resolución de problemas de optimización, es decir, sacar el máximo beneficio posible en procesos de fabricación, etc Ejemplo: Una fábrica de hamburguesas quiere hacer hamburguesas con carne de vaca y carne de cerdo. 1 kilo de carne de vaca tiene un 80% de carne, un 20% de grasa y un precio de 0,80 /Kg. Un kilo de cerdo tiene un 68% de carne, un 32% de grasa y un precio de 0,80 /kg. Si se producen un máximo de 100kg de hamburguesas y su grasa tiene que ser menor o igual que el 25%, cuál es el menor coste posible? Paso 1: Se eligen las incógnitas X= Kg de carne de vaca Y= Kg de carne de cerdo Paso 2: Elegir la función objetivo La función objetivo en este caso es minimizar el coste de producción de carne de hamburguesas f(x, y) = 0,80x + 0,60y Paso 3: Ahora hay que encontrar todas las restricciones Si se produce un máximo de 100 kg; x + y 100 Si el porcentaje máximo de grasa es del 25%; 20x + 32y 25 (x + y) ---> 5x + 7y 0 Y como no puedes usar kilos de carne negativos; x 0 y 0 Así pues, el sistema de inecuaciones es el siguiente: x + y 100 5x + 7y 0 x 0 y 0

6 Paso 4: Ahora se resuelve el sistema por los métodos anteriores: Como veis, se forma un triángulo que es la solución del sistema. Ahora es necesario calcular cada uno de los vértices del triángulo: Vértice A: Se puede calcular gráficamente: (0,0) Vértice C: También se puede calcular gráficamente: (100,0) Vértice B: Este vértice es el punto de corte entre la primera y la segunda inecuación y para calcularlo basta con hacer un sistema de ecuaciones entre ellas: x + y = 100 5x + 7y = 0 Este sistema se resuelve y da lugar a y= 41,67; x= 58,33 Paso 5: Calcular la función objetivo Para calcular la función se usan los valores conseguidos con los vértices del triángulo y se comprueba con cuál de ellos se obtiene el menor coste. f(0,0) = 0 0, ,60 = 0

7 f(100,0) = 100 0, ,60 = 80 f(58 33,41 67) = 58,33 0, ,67 0,60 = 71,67 La primera función da el menor coste pero no se produce nada, por lo que no es útil. Y comparando las otras dos, se llega a la conclusión de que son necesarios 58,33 kilos de carne de vaca y 41,67 kilos de carne de cerdo para minimizar el coste de producción. David Montesinos Navarrete

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