APUNTE DE PROGRAMACION LINEAL ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. AÑO: 2010

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1 Pagina APUNTE DE PROGRAMACION LINEAL ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. AÑO: 00 Muchos problemas de administración y economía están relacionados con la optimización (maximización o minimización) de una función sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades. La función por optimizar es la función objetivo. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivo. El sistema de igualdades o desigualdades a las que está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las limitaciones sobre recursos como materiales y mano de obra) impuestas a la solución (o soluciones) del problema. Los problemas de esta naturaleza se llaman problemas de programación matemática. En particular, aquellas donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal. Un problema de programación lineal Ejercicio : Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades lineales. Como ejemplo de un problema de programación lineal en que la función objetivo debe maximizarse, considere el siguiente problema de producción con dos variables: Un granjero tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? Cuál es ésta utilidad máxima? Maiz: Utilidad: $40 por ha. Trabajo: hs por ha. Trigo: Utilidad: $30 por ha. Trabajo: hs por ha. Solución: Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada. Si llamamos X a las hectáreas de maíz e X a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total Z=40 X +30 X Que es la función objetivo por maximizar. Maíz Trigo Elementos disponibles Horas 800 Hectáreas 480 Utilidad por unidad $40 $30 La cantidad total de tiempo para sembrar maíz y trigo está dada por X +X horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad: En forma análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por X +X, que no puede exceder las hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad. X e X no pueden ser negativas, de modo que X 0 X 0 En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo Z sujeta a las desigualdades. El planteo del problema es: Max Z=40 X +30 X Sa: X + X 800 X + X 480 X,X 0

2 Pagina Si el problema consiste en Minimizar el modelo seria de la siguiente manera: Ejemplo : Una destilería produce dos tipos de Whisky mezclando solo dos maltas destiladas distintas, A y B. El primero tiene un 70% de Malta A y su costo es de $/litro, mientras que el segundo tiene un 50% de dicha malta y su costo es de 6$/litro. Se debe utilizar como mínimo: malta A 3 litros y B 90 litros. Cuántos litros de cada Whisky debe producir la destilería para minimizar sus costos? El planteo del problema es: Min Z= X +6 X Sa: 0,7 X + 0,5 X 3 0,3 X + 0,5 X 90 X,X 0 Existen distintas formas de formular un problema de PL: Forma Canónica o de Inecuaciones: Por ejemplo si el problema es de maximización con dos variables y tres restricciones el PL se puede formular de la siguiente manera: MAX Z=c X + c X SA: a X +a X b a X +a X b a 3 X +a 3 X b 3 X,X 0 Sistema de inecuaciones o forma Canónica Los coeficientes c se denominan coeficientes del funcional, los coeficientes a coeficientes tecnológicos, SA: sujeto a: y los b son los términos independientes. Forma estándar: MAX Z=c X + c X SA: a X +a X +X 3 =b a X +a X +X 4 =b a 3 X +a 3 X +X 5 =b 3 X,X, X 3,X 4, X 5 0 X 3, X 4, X 5 se llaman variables slacks y se agregan según la cantidad de restricciones Producto Matricial: Y c c c 3 c 4 c 5 matriz A vector X vector B vector C vector X es decir AX=B y CX

3 Pagina 3 Producto Vectorial: MAX Z=c X + c X Ejercicio : Para el ejemplo del granjero formule los cuatro tipos de formas vistas anteriormente. Ejercicio : Para el ejemplo de la destilería formule los cuatro tipos de formas vistas anteriormente. Resolución de problemas: Para resolver el problema de PL se lo puede hacer gráficamente y analíticamente. Cuando tenemos modelos con solo dos variables básicas el problema resulta muy sencillo para resolverlo gráficamente, ya que la interpretación geométrica se produce en el plano, pero cuando tenemos mas de dos variables se lo resuelve con un método no grafico llamado Simplex. Tomando el ejemplo del granjero resolveremos gráficamente. Primero lo que tenemos que hacer es trazar las rectas de las desigualdades (en nuestro ejemplo son ) Luego pintamos la región que aparece entre las rectas y los ejes cartesianos. Siempre se trabaja en el cuadrante positivo, recordemos que las variables son Cada punto de la región S es candidato para resolver este problema y se conoce como solución factible. El objetivo es encontrar el o los puntos óptimos que se encuentren entre las soluciones factibles. Se lo conoce como solución optima S En particular los puntos candidatos para ser solución optima se encuentran en los vértices de la región. (A, B, C y D). S

4 Pagina 4 Luego se traza la recta del funcional Z, anulando Z=0 nos queda 0=40x+30y. Si despejamos y obtenemos y(-40/30)x que pasa por el origen de coordenadas. Por ultimo si proyectamos la recta Z paralelamente hacia arriba, iremos tocando los vértices de la región, primero pasaremos por A, luego por C y en ultimo lugar por B. Es decir que el optimo de todos los candidatos es el punto B que se encuentra mas alejado de la recta Z que pasa por el origen. El punto B es (30,60), por lo tanto la solución optima se obtiene reemplazando en la recta Z. Z= 40(30)+30(60) = 7600 Podria pasar que en otros casos la solución optima coincida con un borde, se dice entonces que tiene infinitas soluciones optimas Resolución Analítica: Para resolver este problema analíticamente, de las infinitas soluciones posibles se deberían calcular solamente aquellas que constituyan bases, y dentro de las soluciones básicas se deberían tomar solamente aquellas que sean factibles. Para empezar debemos escribir el problema de forma canónica: Max Z=40 X +30 X sa: X + X 800 X + X 480 X, X 0 MAX Z=40X + 30X sa: X + X + X 3 =800 X + X + X 4 =480 X,X, X 3,X 4 0 En un problema de PL con n variables (reales y slacks) y m restricciones, se define como solución básica a aquella en la que por lo menos n-m variables son nulas. En nuestro caso n=4 y m=, por lo tanto n-m= son las que deberían ser nulas. A continuación mostramos una tabla para la resolución analítica de nuestro ejemplo: Variables anuladas Sistema de ecuaciones Solución Valor del funcional Punto en la grafica X X X 3 = 800 X 4 = 480 Z = 0 D X X 3 X = 800 X 4 = -30 X X 4 X = 480 X 3 = 30 Z = 4400 A X X 3 X = 400 X 4 = 80 Z = 6000 C X X 4 X 3 X 4 Para llevarlo a forma estándar se agregan las variables slacks X 3, X 4 X = 480 X 3 = -60 X = 30 X = 60 Z = 7600 B

5 Pagina 5 Claramente, como se muestra en la tabla, la solución optima es 7600 (vértice B) con X =30 y X =60. Para el caso de minimización, la grafica se resuelve de la siguiente manera: Supongamos otro ejemplo: Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 400 mg de vitamina B- (tiamina) y 500 mg de vitamina B- (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 0 mg de vitamina B-, 5 mg de vitamina B- y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 0 mg de hierro, 5 mg de vitamina B- y de vitamina B-, y cuesta 8 centavos (tabla ). Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Marca A Marca B Requerimientos mínimos Hierro 40 mg 0 mg 400 mg Vitamina B- 0 mg 5 mg 00 mg Vitamina B- 5 mg 5 mg 500 mg Costo por píldora (US$) 0,06 0,08 Entonces el modelo de PL será: Min Z=6 X +8 X sa: 40X + 0X 400 0X + 5X 0 5X + 5X 500 X,X 0 En particular los puntos candidatos para ser solución optima se encuentran en los vértices de la región. (A, B, C y D). S Si proyectamos la recta Z hacia arriba de manera paralela el primer punto que tocaríamos de la región será B, es decir que es el optimo. El punto B es (30,0) por lo tanto el Z = 6(30)+8(0) Z = 40 Ejercicio 3: Hallar la solución del ejercicio del nutricionista de modo analítico. Ejercicio 4: Hallar la solución del ejercicio de la destilería de modo analítico. Casos especiales en la solución: No siempre obtenemos la solución optima (única), también se puede obtener solución alternativa (mas de una solución), esto ocurre cuando la recta Z (funcional) coincide con dos vértices. Por ejemplo: Al Problema del granjero le hacemos una modificación en el funcional: Max Z=30 X +30 X Para llevarlo a Max Z=30 X +30 X sa: X + X 800 forma estándar se sa: X + X + X 3 =800 X + X 480 agregan las variables X + X + X 4 =480 X, X 0 slacks X 3, X 4 X,X, X 3,X 4 0

6 Pagina 6 La tabla con la solución analítica quedaría de la siguiente manera: Variables anuladas Sistema de ecuaciones Solución Valor del funcional Punto en la grafica X X X 3 = 800 X 4 = 480 Z = 0 D X X 3 X = 800 X 4 = -30 X X 4 X = 480 X 3 = 30 Z = 4400 A X X 3 X = 400 X 4 = 80 Z = 000 C X X 4 X = 480 X 3 = -60 X 3 X 4 X = 30 X = 60 Z = 4400 B Es decir que la solución es alternativa, porque Z=4400 se da en dos de los vértices B y A. Entonces podemos concluir que la solución esta en la recta y = 480 X. Ejercicio 5: Hallar la solución de este último ejercicio gráficamente.

7 Pagina 7 TRABAJO PRACTICO Nº 6: PROGRAMACION LINEAL ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. AÑO: 00 Ejercicio : Resolver Gráficamente y Analíticamente los siguientes Programas Lineales a) Max z = x + x sa: x + x 4 x + 5x x c) Min z x + x sa: x + x 3x x sol:.8574 b) Max sa: d) Max sa: z = x + x x + x 4 x + x sol: recta X =4-X = z = 9x + x 4 x + 5x 5x + 0 x sol: sol: 4.5 Ejercicio : a) Resolver gráficamente y analíticamente el ejercicio d) cambiando el funcional Z por 6X + 0X Sol: recta X =(-4X )/5 b) Resolver gráficamente y analíticamente el ejercicio d) cambiando el funcional Z por X - X Sol: recta X =-(-0X )/5 Ejercicio 3: Plantear y resolver el siguiente problema de minimización: Una empresa produce sacos para la preparación de cemento usando los ingredientes A y B. Cada kilo de ingrediente A cuesta $ 6 y contiene 4 unidades de arena fina, 3 de arena gruesa y 6 de pedregullo. Por su parte cada kilo de ingrediente del B cuesta $7 y contiene 3 unidades de arena fina, 5 de gruesa y de pedregullo. Cada saco debe contener por lo menos unidades de arena fina, 0 de gruesa y 9 de pedregullo. Sol: $ 8.09 Ejercicio 4: Plantear y resolver el siguiente problema de maximización: Estudiantes de Turismo necesitan ganar dinero y deciden pedir trabajo en una agencia para realizar encuestas, la misma contrata a dos tipos de equipos de jóvenes: Tipo A: parejas (un chico y una chica) y Tipo B: cuatro jóvenes (3 chicas y un chico). Los estudiantes interesados están conformados. Como deberán distribuirse para sacar el mayor provecho económico, sabiendo que disponemos de 0 chicos y 0 chicas? Sol: $ 4000 Ejercicio 5: Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 0% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Resolverlo Graficamente únicamente. Sol: 0700 Ejercicio 6: En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 50 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 50 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 5 tartas de cada tipo. Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Resolver gráficamente únicamente. Sol: $ 45000