EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. RECUPERACIÓN

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1 EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. RECUPERACIÓN 1.- Ejemplo resuelto Un herrero dispone de 80 kg. de acero y 120 kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 120 euros y 90 euros para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 de aluminio, y para la de montaña 2 kg. De los dos metales. Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? SOLUCIÓN: Llamemos: x= n: de bicicletas de paseo vendidas. y= n: de bicicletas de montaña vendidas. Tabla de con los datos del enunciado: Número Acero Aluminio Precio Paseo x x 3x 120x Montaña y 2y 2y 90y 80 kg 120 kg 120x + 90y Función objetivo: f(x, y)= 120x+90y máxima. Restricciones: x 0 y 0 3x+ 2y 120 x+ 2y 80 Zona de soluciones factibles: Se representan los semiplanos que son solución de cada una de las inecuaciones que constituyen las restricciones del programa lineal. La intersección de los cuatro semiplanos corresponde al cuadrilátero ABCD que es la zona de soluciones factibles o región factible del programa lineal. Soluciones básicas: son los vértices de la región factible. A(0, 40) B (20, 30) (coordenadas del punto de intersección de las Ejercicios de Programación Lineal - 1 -

2 rectas: 3x + 2y = 120, x+ 2y = 80). C(40,0) D(0, 0) Búsqueda de la solución óptima, que maximiza a la función objetivo. a) Método analítico Se calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. Para ello, puede elaborarse una tabla como la siguiente: Vértices x y f(x,y) = 120x + 90y A B C D Una vez completa la tabla, se observa que los valores que maximizan la función objetivo son (20, 30), luego se concluye que ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña con lo que obtiene unos ingresos máximos de 5100 euros. b) Método gráfico Para optimizar la función objetivo por el método gráfico se traza, n primer lugar, la recta de ecuación: 120x + 90y = 0 A continuación, se trazan paralelas a dicha recta por cada uno de los vértices de la región factible (rectas (1), (2) y (3) en la gráfica). Se observa la ordenada en el origen de cada una de estas rectas, la que tenga la ordenada más alta corresponde al vértice cuyas coordenadas maximizan la función objetivo (en el ejemplo es la recta (3) que pasa por el vértice B(20, 30)). La que tenga la ordenada en el origen más pequeña corresponderá, por el contrario, al vértice cuyas coordenadas minimizan la función objetivo. 2.- Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 60 y a no fumadores al precio de 36 Al no fumador se le deja llevar 50 kg. de peso y al fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg. Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio? 3.- Una fábrica de tableros de madera pintados produce dos tipos de tableros: Normales, llevan una mano de imprimación y otra de pintura. Extras, llevan una mano de imprimación y tres de pintura. Ejercicios de Programación Lineal - 2 -

3 Se dispone de imprimación para m 2 y pintura para m 2. En los tableros normales se ganan 2 por m 2 y en los tableros extras 3 por m 2. Qué cantidad de tableros de cada tipo conviene fabricar para que las ganancias sean máximas? 4.- Ejercicio resuelto Dos yacimientos de oro, A y B, producen al año 2000 y 3000 kg de este mineral, respectivamente, que debe distribuirse en tres puntos de elaboración: C, D y E, que admiten 500, 3500 y 1000 kg anuales de mineral, respectivamente. El coste del transporte en euros por kg. Viene dado en la siguiente tabla: C D E A B Cómo ha de distribuirse el mineral para que el transporte sea el más económico posible? SOLUCIÓN: Elaboramos la siguiente tabla C D E A x y 2000-(x+y) B 500-x 3500-y x+y-1000 Donde x representa el número de kilogramos del yacimiento A que se deposita en C e y el número de kilogramos del yacimiento A que se depositan en D. Como A produce 2000 kilogramos en total, los depositados en E serán: 2000-(x+y). Para hallar los kilogramos del yacimiento B depositados en C utilizamos la condición de que admite 500 kilogramos, de forma análoga para D que admite 3500 kg. Para calcular los kilogramos de B depositados en E, podemos proceder de dos formas diferentes: a) 1000 (2000 (x+y)) = x+y-1000 b) 3000 (500-x) (3500-y) = x+y-1000 Para hallar la función objetivo utilizamos la tabla dada en el enunciado, que proporciona los costes de transporte por kilogramo, y obtenemos: f( x, y) = 6x+ 12y+ 18(2000 ( x+ y)) + 9(500 x) + 11(3500 y) + 12( x+ y 1000) Simplificando: Ejercicios de Programación Lineal - 3 -

4 f ( xy, ) = (9x+ 5 y) El conjunto de restricciones vendrá dado por el hecho de que todas las cantidades depositadas han de ser valores no negativos, luego: x 0 y x y x y 0 x + y o bien: x y x+ y x y x + y La solución gráfica del sistema dará la región factible que, en este caso, corresponde al cuadrilátero ABCD, que se muestra en la gráfica. Una vez halladas las coordenadas de los vértices de la región factible, cuyos valores se muestran en la gráfica adjunta, podemos obtener la solución analítica elaborando la siguiente tabla: Vértices x y (9x+5y) A B C D Luego la función objetivo se minimiza para los valores x = 500, y = 1500, es decir, se han de depositar C D E A B º.- (Cantabria, septiembre 1996) Una empresa fabrica dos productos A y B. Se sabe que la producción de B no supera en 1000 unidades a la de A; además la producción de ambos no supera las 5000 unidades, y del producto B se elaboran, como mínimo, 2000 unidades. El coste de la elaboración de A es un tercio mayor que el de B. Cuántas unidades ha de elaborar de cada producto si se desea que el coste sea mínimo?. Para responder a estas cuestiones: Ejercicios de Programación Lineal - 4 -

5 1 Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. 2. Dar la función objetivo. 3. Determinar el número de unidades que elabora en cada caso. 6º.- (Cantabria, septiembre 1997) Una entidad financiera capta depósitos y presta dinero. La captación de depósitos lleva una hora para convencer al cliente y otra hora de trabajo burocrático. El préstamo de dinero lleva una hora para convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrático. El máximo número de horas de trabajo disponible es de 40 horas para convencer a los clientes y 60 horas para el trabajo burocrático. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que el de captar depósitos. Cuántas operaciones de cada tipo le conviene realizar para obtener el máximo beneficio?. Seguir los siguientes pasos: 1. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. 2. Dar la función objetivo. 3. Cuántas operaciones realiza de cada tipo?. 7º.- (Cantabria, junio 1997) Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos productos está definida por las siguientes condiciones: - La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. - La producción es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. 1. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. 2. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. 3. Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio. 8º.- (Cantabria, junio 1998) Se desea realizar una mezcla de dos sustancias A y B, que ha de contener como mínimo 15 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de A y B están en relación de 5 a 1 y contienen una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y B están en relación de 5 a 1 y contiene una unidad de B. El primer proveedor vende cada lote a 1000 ptas. precio que es un tercio de a lo que vende el segundo el suyo. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos. Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo?. Cuál es el coste mínimo? 8.- (Cantabria, septiembre 1998) Maximizar y minimizar la función z = 3x + 4y en el recinto definido por: Ejercicios de Programación Lineal - 5 -

6 x 0 y 0 4x + 2y 16 3x + 6y 18 2x + 5y 30 7x + 2y (Cantabria, septiembre 1999) Un comerciante desea comprar dos tipos de lavadoras, A y B. Las tipo A cuestan 270 euros y las de tipo B, 450 euros. Dispone de 6300 euros y de sitio para 20 lavadoras y, al menos, ha de comprar una de cada tipo. - Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo que en cada lavadora gana el 20% del precio de compra? Nota: Se recuerda que el número de lavadoras de cada tipo ha de ser entero (Cantabria, septiembre 2000) Un empresario tiene dos centros en los que sirve comida rápida. En uno de los centros tardan 14 minutos en preparar los platos precocinados y 4 minutos en hacer bocadillos y ño abre 10 horas al día. En el otro centro tardan 6 minutos tanto en la preparación de platos precocinados como en la de los bocadillos, abriéndolo 9 horas al día. Si el empresario obtiene una ganancia de 1,50 por plato precocinado y 0,50 por bocadillo, cuántos platos precocinados y cuántos bocadillos debe vender para obtener la máxima ganancia? 11.- (Cantabria, junio 2001) Las siguientes desigualdades definen un recinto en el plano x + 3y 150 5x + y 200 3x + 4y 240 x 1 y 1 1. Determinar los vértices del recinto. 2. Si la función objetivo es 0,75x + y, alcanza un máximo?, es único?, alcanza un mínimo?, es único? (Cantabria, junio 2002) En una pequeña empresa se fabrican sólo dos tipos de aparatos, A y B. Como máximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos uno de tipo B. Se quieren obtener unas ventas superiores a 600 euros, teniendo en cuenta que los precios a los que vende los artículos A y B son 300 y 100 euros, respectivamente (Cantabria, septiembre 2002) Una empresa fabrica agua de colonia de dos tipos: A y B. La colonia A lleva un 10% de extracto de rosas, un 20% de alcohol y el resto de agua. La B lleva un 30% de extracto de rosas, un 120% de alcohol y el resto agua. Se dispone de 1800 litros de extracto de rosas y 1600 de alcohol. La empresa vende a 1 euro el litro del producto B y a medio euro el litro de producto A. Hallar el número de litros de cada producto que ha de fabricar para que el importe de la venta sea máximo. Ejercicios de Programación Lineal - 6 -

7 14.- (Cantabria, septiembre 2003) Maximice la función f ( xy, ) = 3x+ 2y, sujeta a las siguientes restricciones: x 6 ; y 4; x y ; x+ y 14 ; x 0 y represente el conjunto de soluciones factibles Se desea realizar una mezcla con dos sustancias A y B, que ha de contener como mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de B y A están en la relación de 4 a 1 y contiene una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y B están en la relación de 4 a 1 y contiene una unidad de B. El primer proveedor vende cada lote a 1000 pesetas, precio que es la mitad de a lo que vende el segundo el suyo. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos. Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo?. Cuál es ese coste? Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles: clásico ( C) y funcional (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Indicar cuál es la región factible. c) Si el beneficio empresarial B es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación: B = 3C + 2F, cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar los beneficios?. Cuál es el beneficio máximo? Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 12 unidades vitamina C cada día. Hay dos productos P1 y P2 que en cada frasco contienen las siguientes unidades de esas vitaminas: A B C P P Si el precio de un bote de P1 es de 0,50 y el de un bote P2 es de 0,80, averigua cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio. Ejercicios de Programación Lineal - 7 -

8 18.- Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 7,20. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 9. Debido a una mala previsión, se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y de azúcar y les quedan en el almacén 10 kilos de azúcar y 120 huevos para la preparación de las citadas tartas. a) Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?. Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas?. A cuánto asciende dicho ingreso? Un empresario posee dos restaurantes. En el primero se emplea una hora en elaborar una comida y otra hora en servirla. En el segundo se emplea una hora en elaborar una comida y dos en servirla. El máximo número de horas de trabajo disponibles es de 40 horas para elaborar comidas y 60 para servirlas. El beneficio obtenido en el segundo restaurante es 1/3 mayor que en el primero. Cuántas comidas le conviene elaborar y servir en cada restaurante para obtener el máximo beneficio?. Seguir los siguientes pasos: 1.- Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. 2.- Dar la función objetivo. 3.- Cuántas comidas elabora y sirve cada restaurante? 20.- Ejercicio resuelto (Cantabria, junio 2004) Un fabricante de coches lanza una oferta especial de dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 9000 euros y el modelo B un tercio más caro. La oferta está limitada: por las existencias que son 20 coches del modelo A y 10 del B y por el deseo de vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de euros. 1. Cuántos coches de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos? 2. Cuál es el importe de la venta? SOLUCIÓN Sea x el número de coches del tipo A e y el número de coches vendidos del tipo B Tendremos. El precio de venta de los coches de tipo A será: 9000x El precio de venta de los coches de tipo B será: ( )y = 12000y Restricciones: Ejercicios de Programación Lineal - 8 -

9 x 20 y 10 x y 9000x y x 0 y 0 Representando cada una de ellas, obtenemos la región factible que será: el pentágono ABCDE. ( 10,10) C ( ) D ( ) E ( 4,0) B. 20,10 ; 20,0 y Coordenadas de los vértices: A es la intersección de las rectas: x = y 9000x y = 36000, cuya solución es: A, 7 7. B es la intersección de x = y, por lo tanto: y = 10 Hallamos el valor de la función objetivo f ( xy, ) = 9000x yen cada uno de dichos vértices: x y f(x,y) A 1,71 1, B C D E Vemos entonces que los ingresos se maximizan en C, es decir, cuando vende 20 coches del modelo A y 10 coches del B 2. El importe de la venta es euros. Ejercicios de Programación Lineal - 9 -

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