EJERCICIO 1. Sean las variables de decisión: x= n: de impresos diarios tipo A repartidos. y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.

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1 EJERCICIO 1 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Sean las variables de decisión: x= n: de impresos diarios tipo A repartidos. y= n: de impresos diarios tipo B repartidos. La función objetivo es: f(x, y)=5x+7y Las restricciones: La zona de soluciones factibles es:

2 Vértices: A(0, 100) B intersección de s,t: C intersección de r,t: D (120, 0) Siendo los valores de la función objetivo:

3 EJERCICIO 1 PROBLEMA DE AUTOEVALUACION: El director de servicio de agua de una ciudad encuentra una forma de proporcionar al menos 10 millones de litros de agua potable al dia (10mld). El suministro puede ser proporcionado por el deposito local o por medio de unas tuberías desde una ciudad vecina (por bombeo). El deposito local tiene un rendimiento diario de 5 millones de litros de agua diarios (5mld), que no puede ser sobrepasado. La tubería no puede abastecer mas de 10 millones de litros diarios (10mld), debido a su diámetro. Por otra parte. Por acuerdo contractual, se bombearía como mínimo 6 millones de litros diarios (6mld). Finalmente el agua del deposito cuesta $ 300 por millón de litros de agua (ml) y $ 500 por tubería (por bombeo). cómo podrá el director minimizar los costos de suministro diario de agua?. SOLUCION: I).- Formular el Problema (Fase I). a).- Determinar el objetivo del Problema : minimizar los costos. b).- Definir las variables del Problema: Z = Costos X 1 = Cantidad de litros de agua abastecidos por el deposito local: C 1 = $300 / millón de litros X 2 = Cantidad de litros de agua abastecidos por tubería (bombeo): C 2 = $ 500/ Millon de litros. c).- Establecer restricciones del problema: 1).- Requerimiento mínimo de abastecimiento de 10 millones de litros de agua diarios. 2).- Capacidad máxima del deposito local de 5 millones de litros de agua diarios. 3).- Capacidad máxima de tubería de 10 millones de litro de agua diarios. 4).- Requerimiento mínimo por contrato de la tubería de 6 millones de litros de agua diarios. II).- Construir el modelo del problema (Fase II). a).- Función Objetivo : Min Z = 300X X 2. b).- Sujeta a las Restricciones: 1. X 1 + X 2 10 mld (Para satisfacer el requerimiento mínimo de litros de agua de la ciudad). 2. X 1 5 mld ( Capacidad del deposito). 3. X 2 10 mld ( Capacidad de la tubería) 4. X 2 6 mld (Requerimiento de suministro de la tubería). c).- No negatividad: X 1 0 ; X 2 0. III).- Convertir el sistema de restricciones a un sistema de ecuaciones (en forma directa). SISTEMA DE RESTRICCIONES SISTEMA DE ECUACIONES 1. X 1 + X X 1 + X 2 = 10

4 2. X X 1 = 5 3. X X 2 = X X 2 = 6 5. X 1 0 ; X 2 0 IV).- Encontrar los puntos vértices P( X 1, X 2 ), de cada ecuación. 1. X 1 + X 2 = 10 Si X 1 = 0 por lo tanto X 2 = 10 : P 1 (0, 10). Si X 2 = 0 por lo tanto X 1 = 10 : P 2 (10, 0). 2. X 1 = 5 por lo tanto X 2 = 0 : P 3 (5, 0) 3. X 2 = 10 por lo tanto X 1 = 0 : P 4 (0, 10) 4. X 2 = 6 por lo tanto X 1 = 0 : P 5 (0, 6). V) Eligiendo una escala, trazar cada una de las restricciones (1/2 CMS =1 unidad) X2>=0 X1<=5 X2>= P4 P5 P1 P8 P10 P9 P7 P3 P2 0 P X2>=6 X1 + X2>=10 X1>=0 Coordenadas (gráficamente) P1 (0,10) P7 (5,5) P2 (10,0) P8 (4,6) P3 (5,0) P9 (5,6) P4 (0,10) P10 (5,10) P5 (6,10) P6 (0,0) VI) Limitar de acuerdo al tipo de restricción.

5 X2>=0 ( ) X1<=5 ( ) X2>=0 ( ) P4 P5 P1 P8 P10 P9 P7 P3 P2 0 P X2>=6 ( ) X1 + X2>=10 ( ) X1>=0 ( ) VII) Encontrar el área de solución, definida por el conjunto convexo. Como podemos observar en las graficas, el área 1, es en la que es en la que converge todas las flechas (conjunto convexo). P1 (0,10) P10 (5,10) AREA DE SOLUCION P8 (4,6) P9 (5,6) VIII) Sustituir los puntos vértices del área de solución en la función objetivo. De acuerdo a la grafica, los puntos vértices del área de solución son: P 1 (0, 10) ; P 8 (4, 6) ; P 9 (5, 6) y P 10 (5, 10) P(X 1, X 2 ) ; Min Z = 300 X X 2

6 P 1 (0, 10) ; Z 1 = 300(0)+500(10) = Z 1 =$5000 P 8 (4, 6) ; Z 8 = 300(4)+500(6) = Z 8 =$4200 P 9 (5, 6) ; Z 9 = 300(5)+500(6) = Z 9 =$4500 P 10 (5, 10) ; Z 10 = 300(5)+500(10) = Z 1 =$6500 Optimo mínimo Como podemos observar el punto P 8 (4, 6), arroja el valor mínimo de Z = $4200 Solución optima: X 1 = 4 mld ; X 2 = 6 mld y Z Min= $4200 IX)Probar factibilidad: Si X 1 =4 y X 2 =6 1.- X 1 +X X X 1 0 y X (Cumple) 4 0 y 6 0 (Cumple) (Cumple) 2.- X X (Cumple) 6 6 (Cumple) X)Conclusión: El director deberá suministrar 4 millones de litros de agua diarios a través del deposito local y 6 millones de litros de agua diarios a través de las tuberías (Por bombeo); para satisfacer el requerimiento mínimo de 10 millones de litros de agua diarios a un costo mínimo de $4200.

7 EJERCICIO 2 Resolver mediante el método gráfico el siguiente problema: Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a: 2x + y 18 2x + 3y 42 3x + y 24 x 0, y 0 1. Inicialmente dibujamos el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable x, y al otro la y, como se puede ver en la figura. 2. Marcamos en ellos una escala numérica apropiada de acuerdo con los recorridos de las variables en relación con las restricciones del problema. A continuación dibujamos las restricciones. Comenzando con la primera, dibujamos la recta que se obtiene al considerar la restricción como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la región que delimita ésta restricción viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el proceso de la misma forma con la segunda y tercera restricción, y delimitan la región de color AZUL y ROJO respectivamente. La región factible es la intersección de las regiones delimitadas por la terna de restricciones y por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por la región de valores admisibles limitada por ambos ejes coordenados. La región factible está representada por el polígono convexo O-F-H-G-C, que aparece de color VIOLETA.

8 3. Ya que la región factible es no vacía (problema factible), procedemos a determinar sus puntos extremos, candidatos a soluciones óptimas, que son los puntos O-F-H-G-C de la figura. Finalmente, evaluamos la función objetivo (3x + 2y) en esos puntos, resultado que se recoge en la tabla siguiente. Como el punto G proporciona el mayor valor al objetivo Z, tal punto constituye la solución óptima, que indicaremos x = 3 y = 12, con valor óptimo Z = 33. Punto extremo Coordenadas (x,y) Valor bjetivo (Z) O (0,0) 0 C (0,14) 28 G (3,12) 33 H (6,6) 30 F (8,0) 24

9 COMPARACION DEL MÉTODO GRÁFICO CON EL MÉTODO SIMPLEX Las sucesivas tablas que hemos construido durante el método simplex van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteración (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice (0,0) que es el valor que contienen las variables básicas, siendo el resultado 0. Tabla I. Iteración nº Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P P P Z

10 A continuación se desplaza por la arista (0,0) F, calculando el valor de la función Z, hasta llegar a F. éste paso se traduce como la segunda iteración en el Método Simplex, aportando la Tabla II, en la que se ha calculado el valor que corresponde al vértice F(8,0): Z = f(8,0) = 24. Tabla II. Iteración nº Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P / /3 P / /3 P / /3 Z

11 Sigue por la arista FH, hasta llegar a H, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En ésta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice H(6,6): Z = f(6,6) = 30. Tabla III. Iteración nº Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P P P Z

12 Se Continúa haciendo cálculos a través de la arista HG, hasta llegar al vértice G. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV, concluyendo con la misma y advirtiendo que ha terminado (comprobando antes que la solución no mejora al desplazarse por la arista GC). Tabla IV. Iteración nº Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P /2 0 0 P /4 0 1 P /4 0 0 Z /4 0 0

13 El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice G). Además, se puede comprobar que el valor de la función en el vértice C (0,14), no supera el valor 33.

14 EJERCICIO 2 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. OBJETIVO : Maximizar el ingreso total. VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X 1 ). Cantidad de liquidaciones (X 2). RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones. Maximizar Sujeto a:

15 La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

16 EJERCICIO 3 Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a y Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? Sean las variables de decisión: x= n: de bicicletas de paseo vendidas. y= n: de bicicletas de montaña vendidas. Tabla de material empleado: Acero Aluminio Paseo 1 3 Montaña 2 2 Función objetivo: f(x, y)= x y máxima. Restricciones:

17 soluciones factibles: Zona de Vértices del recinto (soluciones básicas): A(0, 40) B intersección de r y s: C(40,0) Valores de la función objetivo en los vértices: Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para obtener un beneficio máximo de Bolívares.

18 EJERCICIO 3 Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. Solución Organizamos los datos en una tabla: días Alta Calidad Baja calidad Coste diario calidad media Mina A x 1x 3x 5x 2000x Mina B y 2y 2y 2y 2000y La función objetivo C(x, y)=2000x y Las restricciones son: La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r 1 x + 2y=80, r 2 3x + 2y= 160 y r 3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que determina el sistema de restricciones:

19 Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén dentro de la región factible). r 1 r 2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo) r 2 r 3 que nos da el punto (20, 50) r 1 r 3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible. En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico) Lo comprobamos aplicando el método analítico: C(0, 100)= = C(20, 50)= = = C(40, 20)= = = coste mínimo C(80, 0)= =160000

20 EJERCICIO 4 En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Solución En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos: Tipo Nº Bizcocho Relleno Beneficio T. Vienesa x 1.x 0,250x 250x T. Real y 1.y 0,500y 400y Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema): Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible: Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200 x Y Para x + y =150 x Y La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125 Al eje Ox y =125 Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La región factible la hemos coloreado de amarillo:

21 Encontremos los vértices: El O (0,0), el A (125, 0) y el D (0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados) Se observa que la restricción y Resolviendo el sistema: es redundante (es decir sobra ), por reducción obtenemos y=50, x=100 Otro vértice es el punto C(100, 50) Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema: X+y=150 X=125 Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25) Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100), Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200 x Y

22 Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 ) Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vértices La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos f(125,0)= f(125,25)= = f(100,50)= = f(0,100)= El máximo beneficio es y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales

23 EJERCICIO 4 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Sea x = nº electricistas y = nº mecánicos La función objetivo f (x, y)=250x+ 200y, las restricciones La región factible sería para estas restricciones: Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20). Por tanto:

24 20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) = =9000

25 EJERCICIO 6 Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B inversión rendimiento Tipo A x 0,1x Tipo B y 0,08y ,1x+0,08y Condiciones que deben cumplirse (restricciones): R 1 R 2 R 3 R 4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r 1 r 2 (paralela a OY ) r 3(paralela a OX) r 4 x y x y x y x y

26 La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E A (0, 60000), B (120000, 60000), C (130000, 65000), D (130000, 80000) y E (0, ) La función objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima. Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)

27 EJERCICIO 6 Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. a) Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global??a cuánto ascenderá a) Sean las variables de decisión: x= cantidad invertida en acciones tipo A y= cantidad invertida en acciones tipo B Las restricciones son: Puede invertir en cada una de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada uno de los puntos de la zona sombreada de la siguiente gráfica:

28 b) La función de beneficios es: Y los vértices de la zona sombreada son: A intersección de r,t: B intersección de t,u: C intersección de s,u, o sea C(7, 3) D(7, 0) E(2, 0) Los valores de f en esos puntos son: Ha de invertir, pues 5 millones de bolívares en A y 5 millones en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones, o sea bolívares

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