4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD

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1 4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD El problema de programación lineal se puede considerar como modelo de asignación de recursos, en el que el objetivo es maximizar los ingresos o las utilidades, sujetos a recursos limitados. Si se aprecia el problema desde este punto de vista, el problema dual asociado ofrece interpretaciones económicas interesantes del modelo de programación lineal de asignación de recursos. Para formalizar la descripción se considerará la siguiente representación de los problemas generales primal y dual, en donde el primal asume el papel de un modelo de asignación de recursos: Primal Dual Maximizar z = n j=1 c jx j Minimizar w = m i=1 b iy i n j=1 a ijx j b i, 1 = 1, 2,..., m m i=1 a ijy i c j, 1 = 1, 2,..., n x j 0, j = 1, 2,..., n y i 0, i = 1, 2,..., m Desde el punto de vista de modelo de asignación de recursos, el problema primal tiene n actividades económicas y m recursos. El coeficiente c j del primal representa la utilidad por unidad de actividad j. El recurso i, cuya disponibilidad máxima es b i, se consume con la tasa de a ij unidades por unidad de actividad j Interpretación económica de variables duales En la sección se indicó que para dos soluciones factibles primal y dual cualquiera, los valores de las funciones objetivo, cuando son finitos, deben satisfacer la siguiente desigualdad: z = n c j x j j=1 m b i y i = w La igualdad estricta, z = w, es válida cuando las soluciones primal y dual son óptimas ambas. Examinemos primero la condición óptima z = w. Como el problema primal rep- i=1 1

2 resenta un modelo de asignación de recursos, se puede imaginar que z representa la utilidad monetaria. Como b i representa la cantidad disponible de unidades del recurso i, la ecuación z = w se puede expresar en forma dimensional como sigue: $ = i (unidades del recurso i) ($ por unidad del recurso i) Eso quiere decir que las variables duales y i representan el valor por unidad del recurso i. (En la sección se obtuvo esta misma interpretación, por vía gráfica, sin usar la dualidad.) En las publicaciones, las variables y i se conocen con el nombre abstracto de precios duales. Otros nombres (que de igual manera no sugieren nada) son precios sombra y multiplicadores símplex. Con la misma lógica, la desigualdad z < w asociada con dos soluciones asociadas, primal y dual, se interpreta como sigue: (Utilidad) < (Valor de los recursos) Según esta relación, siempre que los ingresos totales por todas las actividades sean menores que el valor de los recursos, las soluciones primal y dual correspondientes no son óptimas. La optimalidad (retorno máximo) sólo se alcanza cuando se han explotado los recursos por completo, lo que sólo puede suceder cuando los datos (valor de los recursos) son iguales a los resultados ($ de utilidad). En términos económicos se dice que el sistema permanece inestable (no óptimo) cuando los datos (valor de los recursos) son mayores que el resultado (retorno o ingreso). La estabilidad sólo se obtiene cuando las dos cantidades son iguales. Ejemplo El modelo de Reddy Mikks (ejemplo 2.1-1) y su dual son los siguientes: Primal de Ready Mikks Dual de Ready Mikks Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 Minimizar w = 24x 1 + 6y 2 + y 3 + 2y 4 6x 1 + 4x 2 24 (recurso 1, M1) 6y 1 + y 2 y 3 5 x 1 + 2x 2 6 (recurso 2, M2) 4y 1 + 2y 2 + y 3 + y 4 4 x 1 + x 2 1 (recurso 3) y k 0, k x 2 2 (recurso 4) x k 0, k Solución óptima: Solución óptima: x 1 = 3, x 2 = 1.5, z = 21 y 1 = 0.75, y 2 = 0.5, y 3 = y 4 = 0, w = 21 2

3 En resumen, el modelo de Reddy Mikks maneja la producción de dos clases de pintura (para exteriores y para interiores) usando dos materias primas, M1 y M2 (recursos 1 y 2) y las condiciones del mercado representadas por las restricciones tercera y cuarta. El modelo busca determinar las toneladas de pinturas para exteriores y para interiores que maximicen la utilidad (expresada en miles de dólares). La solución dual óptima indica que el valor por unidad de la materia prima M1 (recurso 1) es y 1 = 0.75 (o sea, $750 por tonelada), y por unidad de materia prima M2 (recurso 2) es y 2 = 0.5 (es decir, $500 por tonelada). En la sección mostramos en forma gráfica que esos mismos resultados son válidos para los intervalos (20, 36) y (4, 6.67), para los recursos 1 y 2, respectivamente (esos intervalos también se deducirán en forma algebraica en la sección 4.5.1). Así, la materia prima M1 se puede aumentar desde su consumo actual de 24 toneladas, hasta un máximo de 36 toneladas, con un aumento correspondiente en la utilidad de 12 $750 = $9000. De igual forma, el límite para la materia prima M2 puede aumentarse desde 6 toneladas hasta un máximo de 6.67 toneladas, con un aumento correspondiente en la utilidad de 0.67 $500 = $335. Se pueden mostrar interpretaciones parecidas si bajan las cantidades de materia prima respecto a los niveles actuales, pero dentro de los intervalos de aplicabilidad indicados. La explicación no quiere decir que los recursos mencionados no se puedan cambiar a valores fuera de los intervalos citados. Sólo indica que la utilidad por unidad, para cada recurso, sólo se aplica dentro de los márgenes especificados. Para los recursos 3 y 4, que representan los requerimientos del mercado, los precios duales (ambos valores duales óptimos) son cero, lo que indica que sus recursos asociados son abundantes. De aquí que su valor por unidad es cero Interpretación económica de restricciones duales Se pueden interpretar las restricciones duales, usando la fórmula 2 de la sección 4.2.4, que indica que en cualquier iteración primal (Coeficiente objetivo de x j ) = m i=1 a ijy i c j De nuevo se aplicará el análisis dimensional para interpretar esta ecuación. La utilidad c j por unidad de actividad j está en $ por unidad. En consecuencia, para tener consistencia, la cantidad m i=1 a ijy i también debe estar en $ por unidad. Además, como c j representa una utilidad, la cantidad m i=1 a ijy i, que aparece en la ecuación con signo contrario, debe representar un costo. Al mismo tiempo, como a ij es la cantidad del 3

4 recurso i que usa la actividad j, las variables duales y i deben representar al costo imputado por unidad de recurso i y se puede considerar que la cantidad m i=1 a ijy i es el costo imputado de todos los recursos necesarios para producir una unidad de actividad j. La condición de optimalidad de maximización del método símplex indica que un aumento en la cantidad de una actividad, j no usada (no básica) puede mejorar la utilidad sólo en caso de que su coeficiente objetivo ( m i=1 a ijy i c j ) sea negativo. En función de la interpretación anterior, esta condición establece que Costo imputado de recursos por unidad de actividad j < ( Utilidad por unidad de actividad j Así, la condición de optimalidad de maximización indica que es económicamente bueno aumentar una actividad a un valor positivo si su utilidad unitaria es mayor que su costo imputado unitario. Para que el lector se familiarice con la notación normal que se usa en las publicaciones presentaremos la definición que representa el costo imputado de los recursos usados, por unidad de actividad j. La notación (z j c j ) es el coeficiente objetivo de x j en la tabla símplex y se llama con frecuencia costo reducido de la actividad j. En realidad, en algunos libros se usa (z j c j ) para calcular en forma directa el coeficiente de la ecuación objetivo (en lugar de usar operaciones de fila de Gauss-Jordan). El uso de (z j c j ) en los cálculos símplex es, en realidad, una parte del método símplex revisado que describiremos más adelante. Ejemplo TOYCO arma tres juguetes: trenes, camiones y coches, con tres operaciones. Los límites diarios de tiempo disponible para las tres operaciones son 430,460 y 420 minutos, respectivamente, y las utilidades por tren, camión y coche de juguete son $3, $2 y $5, respectivamente. Los tiempos de armado por tren, en las tres operaciones son 1, 3 y 1 minutos, respectivamente. Los tiempos respectivos por camión y por coche son (2, 0, 4) y (1, 2, 0) minutos (un tiempo de cero indica que no se usa la operación). Si x 1, x 2 y x 3 representan la cantidad diaria de unidades armadas de trenes, camiones y coches, y si el modelo de programación lineal correspondiente, y su dual son los siguientes: 4 )

5 Primal de TOYCO Dual de TOYCO Maximizar z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 Minimizar z = 430y y y 3 x 1 + 2x 2 + x (operación 1) y 1 + 3y 2 + y 3 3 3x 1 + 2x (operación 2) 2y 1 + 4y 3 2 x 1 + 4x (operación 3) y 1 + 2y 2 5 x k 0, k y k 0, k Solución óptima: Solución óptima: x 1 = 0, x 2 = 100, x 3 = 230, z = $1350 y 1 = 1, y 2 = 2, y 3 = 0, w = $1350 La solución primal óptima indica producir camiones de juguete x 2 = 100 y coches de juguete x 3 = 230, pero no armar trenes x 1 = 0, porque no son rentables. Suponga que la competencia obliga a TOYCO a producir también trenes de juguete. Cómo se puede hacer la producción? Si se considera el problema desde el punto de vista de la interpretación de z 1 c 1 para x 1, los trenes de juguete tienen atractivo económico sólo si z 1 < c 1 Así, TOYCO puede aumentar la utilidad por unidad de c 1 aumentando el precio unitario de venta, o disminuyendo el costo imputado z 1 de los recursos usados z 1 (= y 1 + 3y 2 + y 3 ). Podría no ser posible aumentar la utilidad por unidad, porque TOYCO desea permanecer competitivo en el mercado. Es más plausible una disminución en z 1, porque implica hacer mejoras en las operaciones de ensamble, que principalmente reduzcan su uso unitario de tiempos disponibles para las operaciones. Si r 1, r 2 y r 3 representan las proporciones con las que se reducen los tiempos unitarios de las tres operaciones, el problema requiere determinar r 1, r 2 y r 3 de tal modo que el nuevo costo imputado z 1 de las tres operaciones sea menor que la utilidad unitaria c 1 ; esto es, 1(1 r 1 )y 1 + 3(1 r 2 )y 2 + 1(1 r 3 )y 3 < 3 Para los valores dados de y 1 = 1, y 2 = 2 y y 3 = 0, esta desigualdad se reduce a ( compruébelo!) r 1 + 6r 2 > 4 Así, todos los valores de r 1 y r 2 entre 0 y 1 que satisfagan r 1 + 6r 2 > 4 deben hacer que los trenes de juguete sean rentables. Sin embargo podrá ser que no se pueda alcanzar este objetivo, porque requiere reducciones en los tiempos de las operaciones 1 y 2, 5

6 que no parecen prácticas. Por ejemplo, aun reducciones hasta de 50% en esos tiempos (esto es, r 1 = r 2 = 0.5) no satisfacen la condición dada. 4.4 OTROS ALGORITMOS SÍMPLEX PARA PROGRAMACIÓN LINEAL En el algoritmo símplex que presentamos primero, el problema se inicia en una solución básica factible. Las iteraciones sucesivas siguen siendo básicas y factibles, pero avanzan hacia la optimalidad, hasta llegar al óptimo en la última iteración. A veces se llama método símplex primal a este algoritmo. Ahora introduciremos dos algoritmos más: el símplex dual y el símplex generalizado. En el símplex dual, la programación lineal se inicia en una solución básica que es (mejor que la) óptima, pero no es factible, y las iteraciones sucesivas siguen siendo básica y (mejores que la) óptima, a medida que se acercan a la factibilidad. En la última iteración se encuentra la solución factible (óptima). En el método símplex generalizado se combinan los métodos símplex primal y dual en un solo algoritmo. Maneja problemas que comienzan siendo no óptimos y no factibles a la vez. En este algoritmo se asocian las iteraciones sucesivas con soluciones básicas (factibles o no factibles). En la iteración final la solución es óptima y factible al mismo tiempo (suponiendo, claro está, que exista una). Se pueden aplicar los tres algoritmos, el primal, el dual y el generalizado con eficacia en los cálculos del análisis de sensibilidad, lo que se indicará en la sección Método dual símplex Como en el método símplex (primal), la base el método símplex dual es que cada iteración siempre esté asociada a una solución básica. Las condiciones de optimalidad y factibilidad se establecen para preservar la optimalidad de las soluciones básicas y al mismo tiempo mover las iteraciones de la solución hacia la factibilidad. Condición dual de factibilidad. La variable de salida x r es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se rompen en forma arbitraria). Si todas las variables básicas son no negativas, termina el algoritmo. Condición dual de optimalidad. La variable de entrada se determina entre las variables no básicas, como la que corresponde a 6

7 mín no básica x j { } z j c j, α rj < 0 donde z j c j es el coeficiente objetivo de la fila z en la tabla, y α rj es el coeficiente negativo de restricción de la tabla, asociado con la fila de la variable de salida x r, y con la columna de la variable x j no básica. Los empates se rompen arbitrariamente. Observe que la condición de optimalidad dual garantiza que se mantendrá la optimalidad en todas las iteraciones. Para el inicio de una programación lineal que sea óptima y no factible a la vez, se deben satisfacer dos requisitos: α rj 1. La función objetivo debe satisfacer la condición de optimalidad del método símplex regular. 2. Todas las restricciones deben ser del tipo ( ). Por la segunda condición se requiere convertir toda ( ) a ( ), sólo multiplicando ambos lados de la desigualdad ( ) por 1. Si en la programación lineal hay restricciones (=) se puede reemplazar la ecuación con dos desigualdades. Por ejemplo, equivale a o bien x 1 + x 2 = 2, x 1 + x 2 1, x 1 + x 2 1, x 1 + x 2 1, x 1 x 2 1, Después de convertir todas las restricciones en ( ), la programación lineal tendrá una solución de inicio no factible si, y sólo si al menos uno de los lados derechos de las desigualdades es estrictamente negativo. En caso contrario, si z es óptima y ninguno de los lados derechos es negativo no habrá necesidad de aplicar el método símplex dual, porque la solución de inicio ya es óptima y factible. 7

8 Ejemplo Minimizar z = 3x 1 + 2x 2 3x 1 + x 2 3 (1) 4x 1 + 3x 2 6 (2) x 1 + x 2 3 (3) x k 0, k En este ejemplo se multiplican por 1 las dos primeras desigualdades para convertirlas a restricciones ( ). Así, la tabla de inicio es: Básica x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Solución z x x x La tabla comienza óptima (todas las z j c j 0 en la fila z) y la solución básica de inicio es no factible (x 3 = 3, x 4 = 6, x 5 = 3). Según la condición dual de factibilidad, x 4 (= 6) es la variable de salida. La tabla siguiente muestra cómo se usa la condición dual de optimalidad para determinar la variable de entrada. Variable x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Fila de z (z j c j ) Fila de x 4, α 4j Razón, z j c j α 4j, 3 2 α4j < Las razones indican que x 2 es la variable de entrada. Observe que una variable x j es candidata para entrar a la solución básica sólo que su α ij sea estrictamente negativa. Eso quiere decir que no se deben tener en cuenta las variables x 3, x 4 y x 5. La siguiente tabla se obtiene con las conocidas operaciones de fila. 8

9 Básica x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Solución z 1/ /3 0 4 x 3 5/ /3 0 1 x 2 4/ /3 0 2 x 5 1/ /3 1 1 Razón 1/5 2 Esta tabla muestra que sale x 3 y entra x 1, y así se obtiene la siguiente tabla: Básica x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Solución z 0 0 1/5 3/5 0 21/5 x /5 1/5 0 3/5 x /5 3/5 0 6/5 x /5 2/5 1 6/5 Esta última tabla es factible (y óptima) por lo que se termina el algoritmo. La solución correspondiente es x 1 = 3/5, x 2 = 6/5 y z = 21/5. Para reforzar la comprensión del método símplex dual por parte del lector, la figura 4.2 muestra en forma gráfica la trayectoria seguida por el algoritmo para resolver el ejemplo Se inicia en el punto extremo A (que es no factible y mejor que el óptimo), pasa a B (que todavía es no factible y mejor que el óptimo) y por último se vuelve factible en C. En este punto termina el proceso, con C como solución óptima factible. 9

10 10

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