SOLO ENUNCIADOS. PROGRAMACIÓN LINEAL (Parte I)

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1 DP. - AS Matemáticas ISSN: X SOLO ENUNCIADOS. PROGRAMACIÓN LINEAL (Parte I) 001 Una fábrica de vidrio reciclado va a producir 2 tipos de copas: unas sencillas que vende a 450 cada caja y otras talladas a 600 cada caja. Las máquinas condicionan la producción, de modo que no pueden salir al día más de 400 cajas de copas sencillas, ni más de 300 cajas de copas talladas. Por razones de stock no se pueden fabricar más de 500 cajas en total. Suponiendo que siempre se producen cajas completas y que es vendida toda la producción: (a) Cuántas cajas se pueden producir de cada clase? Plantea el problema y representa gráficamente su (b) Cuántas cajas de cada clase convendrá producir para obtener máximos ingresos? (c) A cuánto ascenderán dichos ingresos? 002 Un panadero elabora dos tipos de pan, de 250 g y de 300 g, respectivamente. Obtiene un beneficio de 0.25 por cada pan de 250 gramos, y de 0.4 por cada pan de 300 gramos. Si dispone de 100 Kg de masa, y el número de panes pequeños debe ser, al menos, igual al de panes grandes. (a) Cuántos de cada tipo puede hacer? Plantea el problema y representa gráficamente (b) Cuántos de cada tipo debe hacer para obtener beneficio máximo? (c) A cuánto ascenderá dicho beneficio? 003 María distribuye su tiempo entre discoteca y cine. Cada vez que va a la discoteca gasta por término medio 6, mientras que si va al cine su gasto es de 4. En cierto mes su presupuesto de ocio asciende a 120 y desea ir a la discoteca al menos tantas veces como al cine. (a) Cuántas veces puede ir a cada sitio? Plantea el problema algebraicamente y dar su representación gráfica. (b) Puede ir 10 veces a cada uno de los sitios? Gasta todo su presupuesto? (c) Si decide ir a la discoteca solamente, Cuántas veces podrá hacerlo como máximo? (d) Si María quiere maximizar el número total de veces que puede acudir a divertirse, determinar, gráficamente, cuántas veces irá a la discoteca y al cine PAU - Universidad de Oviedo J Propuesta a los Centros En la confección de una dieta, generalmente, entran 2 compuestos A y B. El médico da las siguientes pautas a la farmacia: (A) Al menos ha de contener un gramo de cada compuesto. (B) Nunca puede haber más de 7 gramos del producto B. (C) El compuesto no puede contener más de 10 gramos de estos dos productos en total. (D) Del producto A tiene que haber, como máximo, 5 gramos más que del producto B. La farmacia, para obtener el máximo beneficio, le encarga a un empleado que dice saber mucho de Matemáticas que averigüe qué cantidad de cada uno de los Ilustración: Rosa Hernado Sanz productos ha de echar, teniendo en cuenta que tanto el gramo de producto A como el gramo de producto B dejan un beneficio de 10. El mencionado dependiente coge su calculadora gráfica, abre el armario y comprueba que la farmacia sólo dispone en estos momentos de 7 gramos del producto B. Piensa un poco, hace operaciones y da su resultado: Hay que echar 6 gramos de producto A y 4 gramos de producto B!. (a) Sabía realmente Matemáticas el empleado? (b) A cuánto ascendería dicho beneficio? 005 Una empresa utiliza dos tipos de operarios para producir dos tipos de artículos. El artículo A, del que deben salir diariamente al menos 100 unidades, puede obtenerse a partir del operario X a razón de 20 unidades diarias, y del operario Y a razón de 16 unidades diarias. Las cifras correspondientes al artículo B son, respectivamente, 50 y 100, pero se requiere un mínimo de 800 unidades de B fabricadas por día. El sueldo de un operario X es de 2000, y el de un operario Y es de El estado, por otra parte, no acepta contrataciones que no incluyan un mínimo de dos operarios X y 4 operarios Y. En estas condiciones, y si se quiere cubrir la producción, cuántos operarios se deben contratar para que los sueldos de adquisición sean mínimos? 1

2 Abel Martín 006 El profesor de Matemáticas quería ponerles hoy un problema complicado, donde tuviesen que utilizar la cabeza: Tenéis que calcular dos números positivos cuya suma no supere en ningún caso las 2 unidades y que verifiquen que la suma del doble de uno de ellos y el otro sea como mínimo 5. Entre todos ellos, tenéis que buscar a continuación cuál es el máximo valor que puede alcanzar la expresión 3x + 7y. Cuando los obtengáis os daré tantos miles de euros como valga el mayor Dijo el profesor mientras se reía, quizás porque pensaba que ningún alumno lo acertaría. Podrías ayudarnos a averiguar dichos números? Cuánto dinero nos tendrá que dar el "desprendido" profesor? 007 Diego desea repartir su tiempo de vacaciones entre dos lugares (A y B). El día de estancia en A le cuesta 100 mientras que en B 200. Su presupuesto global para todas las vacaciones son 2000 y no desea pasar más de 10 días en A. (a) Cuántos días puede pasar en cada sitio? Plantea algebraicamente el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones? (b) Si desea disfrutar del mayor número de días de vacaciones posible, cuántos pasará en cada uno de los lugares? Agotará el presupuesto? 008 Pablo dispone de 120 para gastar en libros y discos. A la tienda donde acude, el precio de los libros es de 4 y el de los discos es de 12. Suponiendo que desea comprar como mucho el doble número de libros que de discos, se pide: (a) Cuántos libros y cuántos discos puede comprarse? Plantear el problema y representar gráficamente (b) Contestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 discos. En caso afirmativo, indicar si gasta todo su presupuesto. (c) Puede adquirir 15 libros y 5 discos?; Cuánto dinero le sobra? Razonar la respuesta. (d) Si desea sacar la mayor cantidad de unidades posibles, cuántos libros y discos adquirirá? 009 Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1.5 millones de PTAS y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 6 millones. (a) Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su conjunto de soluciones. (b) Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? Cuál es su importe? 010 Una fábrica de muebles produce camas y armarios. En el área de montaje se tarda media hora en armar una cama y 45 minutos en montar un armario. En el área de pintado y barnizado se invierte un tiempo de media hora en cada caso. En ambas plantas se trabaja como máximo 40 horas a la semana, pero se dispone de un tiempo impredecible para poner el sistema en funcionamiento y para dejar la maquinaria en condiciones al acabar la jornada de trabajo. Por otra parte, por razones de mercado, el número de camas no debe ser superior al número de armarios. (a) Cuántas camas y armarios se pueden producir semanalmente? Plantear el problema y representar gráficamente Se pueden producir semanalmente 19 camas y 30 armarios? Y 25 camas y 21 armarios? Y 10 camas y 20 armarios? (b) Si el beneficio obtenido por la venta de cada cama es de 45 y por cada armario es de 210, determina el número de muebles de cada clase que se deben fabricar semanalmente para que los beneficios obtenidos sean máximos. 011 Un taller de bisutería produce sortijas sencillas que vende a 4.5 y sortijas adornadas a 6. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sencillas, ni más de 400 adornadas, ni tampoco más de 500 en total. Suponiendo que es vendida toda la producción: (a) Cuántas sortijas de cada clase se pueden producir? Plantear el problema y representar gráficamente (b) Cuántas de cada clase producirán para obtener la máxima ganancia? (c) A cuánto ascenderá dicha ganancia? 2 La Programación Lineal (Parte I)

3 DP. - AS Matemáticas ISSN: X 012 Una empresa familiar ha comprado una máquina preparada para fabricar figuras decorativas utilizando nuevos materiales reciclados. Estas figuras son de 2 tipos, unas más baratas que venden a 200 /unidad y otras con mayor número de complementos, que venden a 500 /unidad. Por razones de stock no se pueden fabricar más de 12 en total y por razones de mercado, ha de fabricar, como mínimo, tantas caras como baratas. Suponiendo que es vendida toda la producción: (a) Cuántas figuras de cada clase se pueden producir? Plantear el problema y representar gráficamente (b) Cuántas de cada clase se producirán para obtener máximos ingresos? (c) A cuánto ascenderán dichos ingresos? 013 Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 y el de uno pequeño, 60. (a) Cuántos autocares de cada tipo se pueden utilizar? Plantear el problema y representar gráficamente (b) Calcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. 014 Una fábrica de embalajes elabora dos series de productos, cartón y plástico. Para su confección se requieren dos máquinas, A y B. Cada serie de cartón necesita 2 horas de trabajo de la máquina A y 1.5 horas de trabajo de la máquina B. Cada serie de plástico, por su parte, 1.5 horas y 1 hora, respectivamente. Cada máquina está en funcionamiento, a lo sumo, 40 horas a la semana. Por cada serie del artículo de cartón se obtiene un beneficio de 500, mientras que por cada serie del artículo de plástico éste es de 750. (a) Cuántas series de cartón y cuántas de plástico pueden fabricarse semanalmente? Plantear el problema y representar gráficamente (b) Y cuántas deben fabricarse semanalmente para obtener un beneficio máximo? 015 Una persona decide invertir su dinero de dos formas distintas en un banco: una cantidad a plazo fijo, con un rendimiento del 5.25%, y en bonos, cuyo rendimiento es del 9%. Existen unos topes legales que impiden invertir más de en bonos, aunque le obligan en el banco a una inversión mínima a plazo fijo de de. Si dispone de de, deseando colocar a plazo fijo, al menos, tanto dinero como en bonos. Cuánto debe invertir en cada modalidad para que el rendimiento obtenido sea el máximo? 016 Un agricultor dispone de 1200 para invertir en un invernadero de 70 m2, donde desea cultivar fresas de dos calidades, baja y alta. Cada m2 de cultivo de fresa de baja calidad le supone al agricultor un gasto de 30 y 6 días de trabajo, mientras que por cada m2 del cultivo de fresa de alta calidad le supone 40 y 3 días de trabajo. Si el agricultor puede trabajar los cultivos durante 180 días como máximo al año, (a) Qué superficie puede dedicar a cada tipo de explotación? Plantear el problema y representar gráficamente (b) Qué superficie debe dedicar a cada tipo de explotación para obtener un beneficio máximo, sabiendo que los beneficios que obtiene por cada m2 de fresa de baja calidad son de 300 y 150 por m2 si la fresa es de alta calidad? 017 Un pastelero artesanal elabora diariamente sólo dos tipos de tartas A y B. Como máximo puede hacer tres tartas de cada tipo pero, obligatoriamente, tiene que hacer como mínimo una de tipo B. Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unos beneficios de al menos 60 teniendo en cuenta que cada tarta A le reporta unas ganancias de 30 y cada tarta B Una fábrica de coches y camiones dispone de tres talleres dedicados respectivamente a la fabricación de motores, a la fabricación de carrocerías y al montaje. En el taller de motores se tarda 1 hora en fabricar el motor de un coche y 2 horas en fabricar el de un camión. En el taller de carrocerías se tarda 6/5 de hora en fabricar una carrocería de coche y 8/5 de hora en fabricar una carrocería de camión. Finalmente, en el taller de montaje se invierte 5/4 de hora en montar un coche y 3/2 de hora en montar un camión. El beneficio obtenido es de 4000 por cada coche y 6000 por cada camión. Cada taller puede trabajar como máximo 200 horas al mes. Suponiendo que la fábrica puede vender toda la producción, cuántos coches y camiones ha de producir por mes para obtener el máximo beneficio? 3

4 Abel Martín 019 Un granjero se dedica a la cría de pavos. La dieta de un animal debe contener al menos calorías y no más de 2 500; asimismo, debe contener por lo menos 5 unidades de hierro. Para componer la dieta el granjero puede comprar dos tipos de pienso (A y B), cuyos contenidos en calorías y hierro (por cada 100 gr.) se indican en la tabla siguiente: Fe (unidades) Calorías Pienso A Pienso B Si el precio del Kg de pienso A es de 1 y el del B es 2, (a) Qué cantidades puede utilizar de cada pienso? Plantear el problema y representar gráficamente su (b) Qué cantidad debe utilizar de cada pienso con el fin de que la alimentación de los pavos le resulte lo más barata posible. Cuál es su coste? (c) El contenido en hierro de la dieta es el mínimo exigido?; y el contenido en calorías es máximo? Razonar las respuestas Prueba Acceso CF Grado Superior - Oviedo J2000 Un profesional tiene trabajo en dos ciudades A y B. Su domicilio dista de A 30 Km y 20 de B. se ha comprometido a trabajar al menos 5 días al mes en cada lugar. No quiere trabajar más de 22 días al mes y además en sus desplazamientos no desea hacer más de 1100 km al mes. En A cobra 120 diarias y en B 100. (a) Escribe las restricciones y dibuja la zona de posibles soluciones. (b) Entra dentro de las condiciones trabajar 17 días en A y 5 en B? (c) Cuántos días deberá trabajar en cada sitio para obtener mayores ingresos? PAU - Universidad de Andalucía La región factible de un problema de programación lineal es la intersección del primer cuadrante con los tres semiplanos definidos por las siguientes inecuaciones: x y x y x y + 1 ; + 1 ; (a) Dibuje dicha región y determine sus vértices. (b) Calcule el mínimo de la función objetivo F(x, y) = 4x + 5y en el recinto anterior. (c) Calcule el máximo de la función objetivo F(x, y) = 4x + 5y en el recinto anterior PAU - Universidad de Oviedo J1995 Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno básico y otro de lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 1 millón de PTAS y el del modelo de lujo 1.5 disponiendo para esta operación de lanzamiento de un presupuesto de 60 millones. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al menos tantos coches del modelo básico como del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de 45 coches del básico. (a) Cuántos coches puede fabricar de cada modelo? Plantear el problema y representar gráficamente su (b) Cuántos le interesa si su objetivo es maximizar el número total fabricado? Agota el presupuesto disponible? PAU - Universidad de Oviedo S1995 Un agricultor estima que el cuidado de cada m 2 plantado de lechugas requiere semanalmente 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de 40 m 2 de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de ambas verduras, queriendo plantar al menos 3 m 2 más de repollo que de lechuga. El m 2 de lechuga le reporta un beneficio de 500 PTAS mientras que el de repollo 650, planificando obtener en conjunto al menos PTAS de beneficio. (a) Qué extensión de terreno puede plantar con cada verdura? Plantea el problema y representar gráficamente (b) Cuánto le interesa plantar de cada una si su objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cuidado sea mínimo? PAU - Universidad de Oviedo J1996 Cierta persona dispone de 10 millones de euros como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción tanta cantidad de dinero como a la B. (a) Qué cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y representar gráficamente 4 La Programación Lineal (Parte I)

5 DP. - AS Matemáticas ISSN: X (b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B, qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?; a cuánto ascenderá? PAU - Universidad de Oviedo S1996 Una agencia de viajes realiza a 20 clientes las siguientes ofertas: un viaje a la ciudad A por 500 u otro a la ciudad B por 750 (cada cliente podrá elegir, si le interesa, sólo una de las dos ofertas). Por razones de programación, la agencia necesita reunir al menos 8 y no más de 12 clientes interesados en el viaje a B. (a) Cuántos viajes podrá programar la agencia a cada ciudad? Plantear el problema y representar gráficamente (b) Cuántos clientes deberán estar interesados en ir a cada sitio para que la agencia maximice sus ingresos?; a cuánto ascenderán éstos? PAU - Universidad de Oviedo J1997 Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco grabado por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es 17.5 y 18, respectivamente, siendo editadas 1500 copias del disco más caro. Para cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y por razones de imagen le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro como del más barato. (a) Cuántas copias de cada disco puede vender? Plantea el problema y representa gráficamente su conjunto de soluciones. (b) Cuántas copias deberá vender de cada uno para maximizar sus ingresos Cuál será su importe? PAU - Universidad de Oviedo S1997 En una granja dedicada a la cría de cerdos, la dieta alimenticia de los animales consiste en dos tipos de pienso, cuyo precio ( /kg) es 2 para el pienso A y 3 para el pienso B. Un animal debe consumir diariamente al menos 2 kg de pienso. Por otra parte, debido a su valor energético, es aconsejable que coma al menos medio kg de la variedad B. Además, el coste de la dieta no puede superar los 6 por día. (a) Qué cantidades de cada tipo de pienso pueden ser utilizadas para componer la dieta? Plantear el problema y representar gráficamente el (b) Si se desea que la dieta resulte lo más barata posible, cuáles serán las cantidades adecuadas?; qué coste tiene esa dieta? PAU - Universidad de Oviedo J1998 Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 12. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 15. Debido a una mala previsión se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y azúcar, y elaborados ya todos los demás productos que ofertan, les quedan en el almacén 10 kilos de azúcar y 120 huevos para la elaboración de las citadas tartas. (a) Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? Plantear el problema y representar gráficamente el (b) Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas? A cuánto asciende dicho ingreso? PAU - Universidad de Oviedo S1998 Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 7.6 y el de cada novedad 3.7. Se desea un coste total que no supere los 945. Por otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean al menos la mitad que las novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100 unidades. (a) De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido? Plantear el problema y representar gráficamente el (b) Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, de cuántas unidades de cada tipo ha de constar el pedido? cuál es entonces el coste del pedido PAU - Universidad de Oviedo J1999 Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando 2 posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de 1 millón de PTAS por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de PTAS por cuña. No obstante, no pueden gastar más de 100 millones de PTAS para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en el número de copias que se venderán por anuncio de televisión, y en copias por cuña radiofónica emitida. (a) De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear el problema y representar gráficamente el 5

6 Abel Martín (b) Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de copias posible? se llegan a gastar los 100 millones de PTAS? PAU - Universidad de Oviedo S1999 Por motivos de ampliación de plantilla, una empresa de servicios de traducción quiere contratar, a lo sumo, 50 nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada traductor de una lengua es de 2000, y de 3000 a los que son de más de una lengua. Como poco, y por motivos de demanda, dicha empresa tiene que contratar a la fuerza a un traductor de más de una lengua. La política de selección de personal de la compañía obliga también a contratar al menos tantos traductores de una lengua como de más de una. Sabiendo que el objetivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de , y que los beneficios que aportan los traductores de una lengua son de 4000 /traductor, y de 8000 /traductor los de más de una lengua: (a) Cuántos traductores de cada tipo puede contratar? Plantea el problema y representa gráficamente el (b) Cuántos contratará para minimizar el gasto en salarios? qué beneficios totales tendrá la empresa en este caso? PAU - Universidad de Oviedo - J2000 Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, "clásico" (C) y "funcional" (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. (a) Plantear el problema y representar gráficamente el (b) Qué combinaciones de muebles puede fabricar? (c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación Bº= 3C + 2F, cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? cuál es el beneficio máximo? SELECTIVIDAD - Universidad de Oviedo - J2000 Una copistería de reciente apertura ofrece al público dos tipos de fotocopias: en blanco y negro y en color. Cada fotocopia le supone un cierto coste: 1 PTA por copia para las de blanco y negro, y 3 PTAS por copia para las de color. Asimismo, cada copia en blanco y negro produce un beneficio de 2 PTAS y cada una en color un beneficio de 10. El número de copias en blanco y negro por día es como mínimo igual al número de copias en color, y la copistería tiene que servir a una empresa diariamente al menos 100 en color. Además, por razones técnicas no puede incurrir en unos costes mayores de PTAS por día. (a) Cuántas copias de cada clase se pueden hacer al día? Plantea el problema y representa gráficamente el (b) Cuántas unidades de cada tipo han de hacer para maximizar los beneficios diarios? Cuál es el máximo beneficio diario? PAU - Universidad de Oviedo - S2000 Una fábrica de confección de ropa especializada en faldas y pantalones recibe una partida de tela de metros. Para la confección de los pantalones se precisan dos metros de tela y uno, para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de confeccionar al menos el doble de pantalones que de faldas. (a) Plantear el problema y representar gráficamente el (b) Cuántas faldas y pantalones puede ofertar? (c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 50 y cada falda a 30 cuántas faldas y pantalones debe vender para maximizar sus ingresos? cuál es el ingreso máximo que puede obtener? SELECTIVIDAD - Universidad de Oviedo - S2000 Una empresa fabricante de aviones comerciales producirá este año 2 tipos de modelos. El modelo D-12, cuya venta le proporcionaría unos ingresos de 100 millones de por unidad, y el C-15, que le proporcionaría 120 millones por unidad. Dicha compañía puede hacer frente como mucho a una producción total de 100 unidades pero sabe que del modelo D-12 habrá una demanda de al menos 20 unidades y debe ser cubierta, y que no puede producir más unidades del C-15 que del D-12. (a) Qué cantidad de cada modelo se puede fabricar? Plantea el problema y representa gráficamente el (b) Qué combinación de unidades de cada modelo debe fabricar para obtener los mayores ingresos posibles caso de vender toda la producción? A cuánto ascenderían dichos ingresos? 6 La Programación Lineal (Parte I)

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